รากอนันต์

  • การแก้สมการรูทซ้อนรูทยาวๆ

    วันนี้จะพาพวกเรามาแก้สมการแบบรูทซ้อนรูท แบบซ้อนกันยาวๆหลายๆชั้นหรืออาจจะเรียกให้มันเป็นทางการหน่อยก็คือ รากอนันต์ นั่นเองครับ บางคนอาจจะคิดว่ายากนะ แต่จริงแล้วไม่ยาก แต่ต้องมองให้ออก ผมมีตัวอย่างเกี่ยวกับการแก้สมการรูทซ้อนรูท หรือการหาค่าจำนวนที่ติดรูทซ้อนกันหลายๆชั้นมาให้ดู ไปดูตัวอย่างกันเลย

    1.จงหาค่าของ  \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}}\)

    วิธีทำ 

    มาดูวิธีการทำครับ

    ผมกำหนดให้

     \[\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}}=x\]     จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}x&=&\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}}\\x&=&\sqrt{6+x}\\x^{2}&=&6+x\\x^{2}-x-6&=&0\\(x-3)(x+2)&=&0\\so\\x=3 \quad or\quad x=-2\end{array}

     แต่เนื่องจาก \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}}\geq 0\)   เสมอ

    ดังนั้น  \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}}=3\)

    ข้อนี้ตอบ \(3\) นะคับ


    แถมให้อีกข้อครับ

    2. จงหาค่าของ \(\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{\cdots}}}}}}\)

    วิธีทำ  

    วิธีการคิดทำคล้ายๆกับข้อข้างบนครับ คือ

    กำหนดให้

    \(\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{\cdots}}}}}}=A\)  จะได้

    \begin{array}{lcl}A&=&\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{\cdots}}}}}}\\A^{2}&=&6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{\cdots}}}}}}\\A^{2}&=&6A\\A^{2}-6A&=&0\\A(A-6)&=&0\\so\\A=0\quad or\quad A=6\end{array}

    แต่ถ้าเราดูดีๆจะเห็นว่า   \(\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{\cdots}}}}}}\) ไม่ทางเท่ากับ \(0\) แน่นอนจริงไหม  ดังนั้น

     \(\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{\cdots}}}}}}=6\)

    เป็นไงบ้างครับ เอาแค่สองข้อไปก่อนเดี๋ยววันหลังจะมาเขียนเพิ่มให้ครับ ทำความเข้าใจข้อง่ายๆ ถ้าเข้าใจแล้วยากๆ ก็ทำได้ อีกอย่างหนึ่งที่ยากให้อ่าน เพราะออกข้อสอบ o-net ทุกปีคือ รูทซ้อนรูท แต่เป็นการซ้อนกันที่ไม่ใช่แบบอนันต์ไปอ่านตามลิงค์นี้ครับ รูทซ้อนรูท