วันนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับตัวกลางเรขาคณิตนะครับ หลังจากที่เราเรียนเกี่ยวกับตัวกลางเลขคณิตไปแล้ว ตัวกลางเรขาคณิตความหมายก็คล้ายกับตัวกลางตัวกลางเลขคณิตเลยครับ ก็คือสมมติผมมีลำดับเรขาคณิตคือ
2,4,8 ตัวกลางเรขาคณิตของลำดับเรขาคณิตนี้คือ ตัวที่อยู่ตรงกลางก็คือ 4 นั่นเองครับ
2,4,8,16 ตัวกลางเรขาคณิตของลำดับเรขาคณิตนี้คือ ตัวที่อยู่ตรงกลางซึ่งมีสองตัวนั่นคือ 4 และ 8
เอาละต่อไปเราก็ไปดูตัวอย่างที่ยากขึ้นครับ
ปล.ก่อนที่จะศึกษาเรื่องตัวกลางเรขาคณิต อย่างน้อยต้องมีความรู้เรื่องลำดับเรขาคณิต ก่อนนะครับทุกคน
1.จงหาตัวกลางเรขาคณิตระหว่างจำนวนต่อไปนี้
1) 4 และ 36
วิธีทำ ผมให้ \(x\) เป็นตัวกลางเรขาคณิตที่อยู่ระหว่าง 4 และ 36 นั่นคือเราจะได้ลำดับเรขาคณิตดังต่อไปนี้
\(4,x,36\) จากสมบัติของลำดับเรขาคณิตคือมีอัตราส่วนร่วม(r) เท่ากันซึ่งก็คือ
\begin{array}{lcl}\frac{x}{4}&=&\frac{36}{x}\\x^{2}&=&36\times 4\\x^{2}&=&144\\x&=&\pm\sqrt{144}\\x&=&\pm 12\end{array}
ดังนั้นตัวกลางเราขาคณิตระหว่าง 4 และ 36 คือ 12 หรือ -12 ก็ได้ครับ
2) \(b\) และ \(b^{5}\)
วิธีทำ ผมให้ \(x\) เป็นตัวกลางเรขาคณิตที่อยู่ระหว่าง \(b\) และ \(b^{5}\) นั่นคือจะได้ลำดับเรขาคณิตต่อไปนี้
\(b,x,b^{5}\) เราสามารถใช้สมบัติของลำดับเรขาคณิตเพื่อหาค่า \(x\) ได้ดังต่อไปนี้
\begin{array}{lcl}\frac{x}{b}&=&\frac{b^{5}}{x}\\x^{2}&=&b^{5}\times b\\x^{2}&=&b^{6}\\x&=&\pm\sqrt{b^{6}}\\x&=&\pm b^{3}\end{array}
2. ถ้าตัวกลางเรขาคณิตระหว่าง 3 กับ \(x\) คือ \(\pm 15\) แล้ว จงหาค่า \(x\)
วิธีทำ จากโจทย์เราจะได้ลำดับเรขาคณิตดังต่อไปนี้ครับ
\(3,15,x\) อีกอันคือ \(3,-15,x\) เราก็หาค่า \(x\) ครับ ก็ทำเหมือนข้อข้างบนเลย
จาก \(3,15,x\) จากสมบัติของลำดับเรขาคณิตจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{15}{3}&=&\frac{x}{15}\\x&=&\frac{15}{3}\times 15\\x&=&75\end{array}
จาก \(3,-15,x\) จากสมบัติของลำดับเรขาคณิตจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{-15}{3}&=&\frac{x}{-15}\\x&=&\frac{-15}{3}\times (-15)\\x&=&75\end{array}
ดังนั้น \(x=75\) นั่นเองครับ
4. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 2 จำนวนระหว่าง 6 กับ 48
วิธีทำ เราให้ \(r\) คืออัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตนี้ ดังนั้นจากโจทย์เราจะได้ว่า
\(6,6r,6r^{2},48\) ทำการคำนวณหาค่า \(r\) ออกมาก่อนเราก็จะได้ตัวกลางเรขาคณิต 2 จำนวนนี้มาคำนวณกันเลยครับ จากสมบัติของลำดับเรขาคณิตจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{6r}{6}&=&\frac{48}{6r^{2}}\\r&=&\frac{8}{r^{2}}\\r^{3}&=&8\\r&=&2\end{array}
นั่นคือ \(r=2\) นั่นเอง ตัวกลางเรขาคณิต 2 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 6 และ 48 คือ
\(6r=(6)(2)=12\)
\(6r^{2}=(6)(2^{2})=24\)
นั่นคือตัวกลางเรขาคณิต 2 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 6 และ 48 คือ 12 และ 24 นั่นเองครับ
5. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 4 จำนวนที่อยู่ระหว่าง \(3\) กับ \(384\sqrt{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ ผมจะใช้สูตรในการหาตัวกลางเรขาคณิตเลย นะครับ ไม่ทำเหมือนข้อข้างบนแล้ว เพราะข้อข้างบนมีแค่สองตัวทำแบบธรรมดามันง่าย แต่นี่มีทั้งหมด 4 ตัว ใช้สูตรในการทำง่ายกว่าครับ สูตรในการหาตัวกลางเรขาคณิตก็คือ
\[r^{k+1}=\frac{b}{a}\]
เมื่อ \(r\) คืออัตราส่วนร่วมของดับนี้
\(b\) คือ ตัวเลขตัวสุดท้ายของลำดับ อย่างเช่นข้อนี้ \(b=384\sqrt{2}\)
\(a\) คือ คือ ตัวเลขตัวแรกของลำดับ อย่างเช่นข้อนี้ \(a=3\)
\(k\) คือ จำนวนตัวเลขที่เป็นตัวกลางเรขาคณิต ในข้อนี้ \(k=4\)
เริ่มทำกันเลย แทนค่าลงไปในสูตรเลยครับ
\begin{array}{lcl}r^{k+1}&=&\frac{b}{a}\\r^{4+1}&=&\frac{384\sqrt{2}}{3}\\r^{5}&=&128\sqrt{2}\\r^{5}&=&2^{7}2^{\frac{1}{2}}\\r^{5}&=&2^{7+\frac{1}{2}}\\r^{5}&=&2^{\frac{15}{2}}\\r&=&2^{\frac{15}{2}\times \frac{1}{5}}\\r&=&2^{\frac{3}{2}}\\r&=&\sqrt{2^{3}}\\r&=&\sqrt{8}\\r&=&2\sqrt{2}\end{array}
ยังไม่เสร็จนะครับ ตอนนี้เราได้อัตราส่วนร่วมหรือว่า \(r=2\sqrt{2}\) ซึ่งจากโจทย์ลำดับเรขาคณิตนี้
\(a_{1}=3\) ดังนั้นพจน์ที่สองหรือตัวที่อยู่ถัดมาคือ
\(a_{2}=a_{1}r=(3)(2\sqrt{2})=6\sqrt{2}\)
\(a_{3}=a_{2}r=(6\sqrt{2})(2\sqrt{2})=24\)
\(a_{4}=a_{3}r=(24)2\sqrt{2}=48\sqrt{2}\)
\(a_{5}=a_{4}r=(48\sqrt{2})(2\sqrt{2})=192\)
\(a_{6}=384\sqrt{2}\)
เพราะฉะนั้นเราจะได้ลำดับเรขาคณิตดังนี้คือ \(3,6\sqrt{2},24,48\sqrt{2},192,384\sqrt{2}\) นั่นก็คือตัวกลางเรขาคณิต 4 ตัวที่อยู่ระหว่าง \(3\) และ \(384\sqrt{2}\) คือ \(6\sqrt{2},24,48\sqrt{2},192\)
6. จงหาตัวกลางเรขาคณิต 3 จำนวน ที่อยู่ระหว่าง \(-5\) กับ \(-405\)
วิธีทำข้อนี้ใครจะใช้สูตรหรือหาแบบธรรมดาก็ได้นะครับ แต่ผมขอใช้สูตรทำให้ดูอีกสักข้อนะครับผม
จากสูตร
\[r^{k+1}=\frac{b}{a}\]
จากโจทย์จะได้ว่า
\(k=3\)
\(a=-5\)
\(b=-405\)
แทนค่าลงไปในสูตรจะได้
\begin{array}{lcl}r^{3+1}&=&\frac{-405}{-5}\\r^{4}&=&81\\r^{4}&=&3^{4}\\r&=&\pm 3\end{array}
ปล. อย่าลืมนะว่า \(r^{4}=81\) คืออะไรเอ่ยคูณกัน 4 ตัวแล้วได้ 81 จะเห็นว่า \(3\times 3\times 3\times 3=81\) หรือ \(-3\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81\) ดังนั้น \(r=\pm 3\)
ดังนั้น ได้ว่า \(r=\pm 3\)
เพื่อจะไม่ให้เรางงผมจะแบ่งกรณีแสดงให้ดูคือ กรณีที่ 1 คือ \(r=3\) กรณีที่ 2 คือ \(r=-3\)
จากโจทย์จะได้ว่า
กรณีที่ 1 คือ \(r=3\)
\(a_{1}=-5\)
\(a_{2}=a_{1}r=(-5)(3)=-15\)
\(a_{3}=a_{2}r=(-15)(3)=-45\)
\(a_{4}=a_{3}r=(-45)(3)=-135\)
\(a_{5}=-405\)
ในกรณีที่ \(r=3\)จะได้ลำดับเรขาคณิตคือ \(-5,-15,-45,-135,-405\) ดังนั้นตัวกลางเรขาคณิต 3 จำนวนที่อยู่ระหว่าง -5 และ -405 คือ \(-15,-45,-135\)
กรณีที่ 2 คือ \(r=-3\)
\(a_{1}=-5\)
\(a_{2}=a_{1}r=(-5)(-3)=15\)
\(a_{3}=a_{2}r=(15)(-3)=-45\)
\(a_{4}=a_{3}r=(-45)(-3)=135\)
\(a_{5}=-405\)
ในกรณีที่ 2 คือ \(r=-3\)จะได้ลำดับเรขาคณิตคือ \(-5,15,-45,135,-405\) ดังนั้นตัวกลางเรขาคณิต 3 จำนวนที่อยู่ระหว่าง -5 และ -405 คือ \(15,-45,135\)
มีทุกเรื่องให้อ่านครับ ลองค้นหาดู ฝากแชร์ ให้เพื่อนๆดูด้วยคับ
สนับสนุนเว็บไซต์