ระบบสมการเชิงเส้น

1.2)

\begin{array}{lcl}x+2y-z&=&3\\3x+y&=&6\\2x+y&=&1\end{array}

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x+2y-z&=&3\quad...(1)\\3x+y&=&6\quad...(2)\\2x+y&=&1\quad...(3)\end{array}

นำ (2)-(3)  จะได้

\begin{array}{lcl}(3x+y)-(2x+y)&=&6-1\\x&=&5\end{array}

ต่อไปก็เอาค่า x ที่เราได้ไปแทนในสมการ (3) เพื่อหาค่า y  จะได้

\begin{array}{lcl}2(5)+y&=&1\\y&=&-9\end{array}

ตอนนี้ x=5,y=-9 เอาไปแทนในสมการ (1) เพื่อหาค่า z จะได้

\begin{array}{lcl}5+2(-9)-z&=&3\\-13-z&=&3\\-z&=&16\\z&=&-16\end{array}

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-9,-16)\)

1.3)

\begin{array}{lcl}2x-3y+z&=&8\\-x+4y+2z&=&-4\\3x-y+2z&=&9\end{array}

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}2x-3y+z&=&8\quad...(1)\\-x+4y+2z&=&-4\quad...(2)\\3x-y+2z&=&9\quad...(3)\end{array}

ข้อนี้ยากหน่อยก็ลองๆทำครับ ทำเรื่อยๆเดี่ยวก็ชำนาญเองครับ

นำ (3)-(2)  จะได้

\begin{array}{lcl}(3x-y+2z)-(-x+4y+2z)&=&9-(-4)\\4x-5y&=&13\quad...(4)\end{array}

นำ \(2\times (1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}4x-6y+2z&=&16\quad...(5)\end{array}

จะเห็นว่าหลังจากเอา 2 คูณสมการ (1) จะเกิดพจน์ 2z ต่อไปดูนะผมจะเอาสมการ (5)-(3) จะได้

\begin{array}{lcl}(4x-6y+2z)-(3x-y+2z)&=&16-9\\x-5y&=&7\quad...(6)\end{array}

สังเกตสมการ (6) กับสมการ (4) นะมีพจน์ -5y เหมือนกันถ้าจับมาลบกันก็จะได้

\begin{array}{lcl}(4x-5y)-(x-5y)&=&13-7\\3x&=&6\\x&=&2\end{array}

ตอนนี้ได้ค่า x  แล้วนะครับ นำค่า x ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการ (4) หรือ (6) ก็ได้เพื่อหาค่า y ออกมาครับผมเอาไปแทนใน (6) แล้วกันครับก็จะได้

\begin{array}{lcl}2-5y&=&7\\-5y&=&5\\y&=&-1\end{array}

ตอนนี้ได้ x=5,y=-1 ต่อไปหาค่า z ครับ เอาค่า x กับ y ที่เราหาได้ไปแทนในสมการ (1),(2),(3)  หรือ (5)  สมการไหนก็ได้ผมเลือกแทนในสมการง่ายๆคือสมการ (1) ก็จะได้

\begin{array}{lcl}2(5)-3(-1)+z&=&8\\10+3+z&=&8\\z&=&8-13\\z&=&-5\end{array}

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-1,-5)\)

ข้อนี้พยายามคิดตามนะครับว่าทำไปต้องเอาสมการนี้มาลบกับสมการนี้ ทำไมต้องเอาเลขนี้มาคูณสมการนี้ทุกอย่างมีเหตุผลนะครับลองๆคิดตามครับ ต้องฝึกทำเยอะๆครับ

1.4)\begin{array}{lcl}2x+2y+3z+2t&=&11\\x+y+2z+2t&=&6\\2y+5z+2t&=&5\\x+y+3z+4t&=&1\end{array}

วิธีทำ ข้อนี้มี 4 สมการเลยครับค่อยๆดูวิธีการทำนะครับ

\begin{array}{lcl}2x+2y+3z+2t&=&11\quad...(1)\\x+y+2z+2t&=&6\quad...(2)\\2y+5z+2t&=&5\quad...(3)\\x+y+3z+4t&=&1\quad...(4)\end{array}

นำ \(2\times (2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}2x+2y+4z+4t&=&12\quad...(5)\end{array}

นำ \((5)-(1)\)  จะได้

\begin{array}{lcl}z+2t&=&1\end{array}

นำ \(2\times (4)\)  จะได้

\begin{array}{lcl}2x+2y+6z+8t&=&2\quad...(7)\end{array}

นำ \((7)-(1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}3z+6t&=&-9\\z+2t&=&-3\quad...(8)\end{array}

สังเกตสมการ \((6)\)  กับ สมการ \((8)\) ก็คือ

\(z+2t=1\)

\(z+2t==3\)

เห็นได้ชัดว่าไม่สามารถหาค่า \(z\) และ \(t\)  ที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริงพร้อมกันดังนั้นระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบครับ