ความชันของเส้นตรง

\[m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]

เลือกใช้ก้อนไหนก็ได้ครับได้คำตอบเท่ากัน

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ

1. จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดต่อไปนี้

1.1 (0,0) และ (2,6)

วิธีทำ  จากสูตร

\(m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)   แทนค่าลงไปเลย

\(m=\frac{0-6}{0-2}=\frac{-6}{-2}=3\)

หรือใครจะใช้สูตรอีกสูตรก็ได้คำตอบเท่ากัน

\(m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

\(m=\frac{6-0}{2-0}=3\)

ดูรูปประกอบด้านล่างครับ

1.2  (5,3) และ (12,7)

วิธีทำ จากสูตร

\(m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)

\(m=\frac{3-7}{5-12}=\frac{-4}{-7}=\frac{4}{7}\)

หรือใครจะใชูสูตรอีกสูตรก็ได้ครับคำตอบเท่ากัน

\(m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

\(m=\frac{7-3}{12-5}=\frac{4}{7}\)

1.3 (t+1,s) และ (2t,s-3)

วิธีทำ 

เลือกใช้สูตรไหนก็ได้นะครับไม่ต้องใช้ทั้งสองสูตรเหมือนข้อข้างบนเพราะความชันของเส้นตรงจะออกมาเท่ากันครับ

\(m=\frac{s-(s-3)}{(t+1)-2t}=\frac{3}{1-t}\)

2. จงหาค่า x ที่ทำให้เส้นตรงที่ผ่านจุด P และจุด Q มีความชันเท่ากับ m ตามที่กำหนดให้

2.1  P(5,2) และ Q(x,6) ; m=4

วิธีทำ  ข้อนี้ก็ไม่มีอะไรมาก  โจทย์เขากำหนดจุดสองจุดบนเส้นตรงมาให้และกำหนดความชันของเส้นตรงมาให้ด้วย แล้วให้พิกัดของจุดที่ขาดหายไป  ก็แค่แทนลงไปในสูตรแล้วแก้สมการหาค่า x  ก็จบครับ จากสูตร

\begin{array}{lcl}m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\end{array}

\begin{array}{lcl}4&=&\frac{2-6}{5-x}\\5-x&=&\frac{-4}{4}\\5-x&=&-1\\-x&=&-1-5\\-x&=&-6\\x&=&6\end{array}

2.2  P(6,-3) และ Q(9,x) ; \(m=\frac{-2}{3}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมครับ เหมือนข้อ 2.1 แทนค่าลงไปในสูตรได้เลยครับ

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\ \frac{-2}{3}&=&\frac{-3-x}{6-9}\\\frac{-2}{3}\times -3&=&-3-x\\2&=&-3-x\\2+3&=&-x\\-x&=&5\\x&=&-5\end{array}

3. จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด  \((a,\frac{a}{b})\)  และ  \((b,\frac{b}{a})\)  เมื่อ \(a\neq 0, b\neq 0\)  และ \(a\neq b\)

วิธีทำ  การทำก็ทำเหมือนเดิมครับแต่คำตอบออกมาจะติดตัวแปรก็เท่านั้นเองครับ มาหาความชันของเส้นตรงกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}{a-b}\\m&=&\frac{\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}}{a-b}\\m&=&\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot \frac{1}{(a-b)}\\m&=&\frac{a+b}{ab}\end{array}

4. กำหนดให้ P(-6,4) , Q(1,4) , R(-1,-1) , และ S(-8,-1) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจงหาความชันของส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นซึ่งแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน

วิธีทำ การทำข้อนี้ควรวาดภาพประกอบครับจะได้เห็นภาพชัดเจนครับ เรามาหาความชันของเส้นตรงกันเลยครับ ดูภาพประกอบนะ

ตามรูปนะครับ จะเห็นว่าเส้นตรงที่แบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆกันคือเส้นสีแดงและเส้นสีเขียว 

เรามาหาความชันของเส้นตรงสีเขียวก่อนครับ ผมให้เส้นตรงสีเขียวนี้มีความชันเป็น  \(m_{1}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{-1-4}{-8-1}\\m_{1}&=&\frac{-5}{-9}\\m_{1}&=&\frac{5}{9}\end{array}

ต่อไปหาความชันของเส้นตรงสีแดง ผมให้เส้นตรงสีแดงมีความชันเป็น  \(m_{2}\) จะได้

\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{-1-4}{-1-(-6)}\\m_{2}&=&\frac{-5}{5}\\m_{2}&=&-1\end{array}

5. จงหาความชันและความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุด \(A(2,10)\quad ,B(5,7)\) และ \(C(2,4)\) เป็นจุดยอด

วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปประกอบจะทำให้เห็นภาพชัดเจน

ดูตามรูปเลยนะคับ ให้ \(m_{AB}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(AB\)

จะได้ \(m_{AB}=\frac{10-7}{2-5}=-1\)

ให้ \(m_{BC}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(BC\)

จะได้ \(m_{BC}=\frac{7-4}{5-2}=1\)

ให้ \(m_{AC}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(AC\)

แต่เนื่องจาก \(AC\) ขนานกับแกน \(Y\) ดังนั้น \(m_{AC}\) ไม่นิยาม

ต่อไปหาความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ก็ใช้ความรู้ของ ระยะห่างระหว่างจุด

จะได้

\begin{array}{lcl}AB&=&\sqrt{(2-5)^{2}+(10-7)^{2}}\\&=&3\sqrt{2}\\\\BC&=&\sqrt{(5-2)^{2}+(7-4)^{2}}\\&=&2\sqrt{2}\\\\AC&=&\sqrt{(2-2)^{2}+(10-4)^{2}}\\&=&6\end{array}

ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีด้าน \(AB\) ยาว \(3\sqrt{2}\) หน่วย และมีความชัน \(-1\)

มีด้าน \(BC\) ยาว \(3\sqrt{2}\) หน่วย และมีความชัน \(1\) และมีด้าน \(AC\) ยาว \(6\) หน่วยและไม่นิยามความชัน

6. กำหนดให้ \(A(-6,-2),\quad B(2,-2),\quad C\) และ \(D\) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้าน \(AB\) เป็นฐานที่ยาวเป็น 2 เท่าของด้านคู่ขนาน \(DC\) มีมุม \(A\) เป็นมุมฉาก และมีพื้นที่ \(24\) ตารางหน่วย จงหาความชันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของด้าน \(BC\)

วิธีทำ อ่านโจทย์แล้ววาดรูปดู เพื่อให้เราเห็นภาพและง่ายต่อการแก้โจทย์คับ ซึ่งถ้าอ่านโจทย์เราจะได้รูปออกมา 2 แบบนะคับ สาเหตุที่ได้รูปออกมา 2 แบบ ก็เพราะว่าด้าน \(CD\) นี้อาจจะอยู่ข้างบน หรือ อยู่ข้างล่างด้าน \(AB\) ก็ได้คับ

ถ้าเราดูดีๆ เราจะเห็นว่า ความยาวของด้าน \(AB\) เท่ากับ 8 ใช้ความรู้เกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในการหา หรือดูจากรูปก็ได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า ความยาวของด้าน \(CD\) เท่ากับ 4  ใช่ไหมดูโจทย์ด้วยนะ จึงได้รูปออกมา แบบนี้ ผมเรียกว่าแบบที่ 1 แล้วกันคับ

ดูรูปประกอบนะคับจะได้ไม่งง

จากพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เท่ากับ 24  จำสูตรในการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูได้ไหม

พท.สี่เหลี่ยมคางหมู = \(\frac{1}{2}\) คูณ ผลบวกด้านคู่ขนาน คูณสุง

จะได้

\begin{array}{lcl}24&=&\frac{1}{2}\times (8+4)\times AD\\AD&=&4\end{array}

ความยาวของด้าน \(AD\) นี้ทำให้เรารู้พิกัดของจุด \(C\) จริงไหม ดูรูปประกอบดีนะคับ เข้าใจรูปจะเข้าใจทุกอย่างเลยโดยไม่ต้องใช้สูตรนับจุดเอา ซึ่งทำให้เราได้ว่า จุด \(C\) มีพิกัดเป็น \(C(-2,-6)\)

ดังนั้นเราสามารถหา ความชันของด้าน \(BC\) ได้แล้ว

ให้ \(m_{BC}\) เป็นความชันของส่วนเส้นตรง \(BC\) จะได้

\begin{array}{lcl}m_{BC}&=&\frac{-2-(-6}{2-(-2)}\\&=&\frac{4}{4}\\&=&1\end{array}

ต่อไป ไปดูรูปแบบที่ 2

พอเราได้รูปแบบที่ 1 แล้ว รูปแบบที่ 2 ก็จะง่ายขึ้นครับจะได้รูปแบบนี้ พวกความยาวก็เท่าเดิมนะ แค่สลับด้าน \(AD\) ขึ้นไปข้างบน

จึงทำให้เราได้พิกุด \(C(-2,2)\) เท่านี้เราก็หาความชันของด้าน \(BC\) ได้แล้วครับ หาเลยคับ

\begin{array}{lcl}m_{BC}&=&\frac{(2-(-2))}{(-2-2)}\\&=&\frac{4}{-4}\\&=&-1\end{array}

ดังนั้น ข้อนี้เวลาตอบ ต้องตอบให้ครบนะคับความชันที่เป็นไปได้ของด้าน \(BC\) คือ \(1\) หรือ \(-1\) 

ข้อแบบถ้าวาดรูปเป็นช่วยได้เยอะเลยคับ

ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง

2. เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(Y\)  ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป

 เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(Y\) มันจะตัดก้บแกน \(X\) ในจุด \((b,0)\) ใดๆ เส้นตรงพวกนี้มันจะสมการเส้นตรงคือ \(x=b\) อย่างเช่นจากรูปข้างบน มันเป็นเส้นตรงที่ขนานแกน \(Y\) และตัดแกน \(X\) ที่จุด \((5,0)\) ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการ \(x=5\) ในเอง

***หมายเหตุ เส้นตรง \(x=5\)  คือเส้นตรงที่ขนานแกน \(Y\) และตัดแกน \(X\) ที่จุด \((5,0)\) เรียก 5 นี้ว่าระยะตัดแกน \(X\)  (x-intercept)

ดังนั้น ถ้าเราไปเจอสมการเส้นตรง 

\(x=7\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(X\) เท่ากับ 7

\(x=\frac{3}{5}\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(X\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\)

3. เส้นตรงที่ได้ขนานทั้งแกน \(X\)หรือแกน \(Y\)  ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป

เส้นตรงที่ไม่ได้ขนานทั้งแกน \(X\) หรือแกน \(Y\) เส้นตรงพวกนี้เราสามารถหาสมการของมันได้จาก นิยามของความชันของเส้นตรง ซึ่งก็คือ ถ้ามีจุด \((x,y)\) และ \((x_{2},y_{2})\) อยู่บนเส้นตรง เราสามารถหาความชัน(m)ของเส้นตรงนี้ได้จาก

\[m=\frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}\]

เอาสมการความชันนี้มาจัดรูปนิดหนึ่งจะได้

\[y-y_{2}=m(x-x_{2})\]

\[y=mx-mx_{2}+y_{2}\]

แต่เนื่องจาก \(-mx_{2}+y_{2}\) มันคือคงตัวค่าหนึ่ง ก็เลยให้ก้อนนี้มีค่าเท่ากับ \(c\) และได้สมการใหม่คือ

\[y=mx+c\quad \cdots (\square )\]

สมการ \(\square\) นี้เป็นสมการเส้นตรงแบบมาตรฐานครับ และเรียกค่าคงตัว \(c\) นี้ว่าระยะตัดแกน \(Y\)

สรุปนิดหนึ่งที่เขียนมา

สมการเส้นตรงจะมีแบบนี้

1. y=a

2. x=b

3. y=mx+c

จากสมการทั้ง 3 ข้อนี้สามารถแปลงให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการเส้นตรงได้คือ

\[Ax+By+C=0\] 

เมื่อ \(B\) และ \(C\) ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

อ่านกันมามากแล้วเราลองทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่า

1. ให้ \(t=\{(x,y)|x-2y=4\}\) จงพิจารณาว่าคู่อันดับต่อไปนี้เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ \(t\) หรือไม่

วิธีทำ ข้อนี้ให้เอาคู่อันดับที่โจทย์กำหนดมาให้ ไปแทนค่าในสมการ \(x-2y=4\) ถ้าแทนแล้วสมการเป็นจริงแสดงว่าคู่อันดับนั้นเป็นสมาชิกที่อยู่ในความสัมพันธ์ \(t\)

1) \(1,0)\) 

เอาคู่อันดับ \((1,0)\) ไปแทนในสมการ \(x-2y=4\) จะได้

\begin{array}{lcl}x-2y&=&4\\1-2(0)&=&4\\1&=&4\end{array}

จะเห็นว่าสมการเป็น เท็จ 

ดังนั้น \((1,0)\) ไม่เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ \(t\)

2) \((0,-2)\) 

เอาคู่อันดับ \((0,-2)\) ไปแทนในสมการ \(x-2y=4\) จะได้

\begin{array}{lcl}x-2y&=&4\\0-2(-2)&=&4\\4&=&4\end{array}

จะเห็นว่าสมการเป็น จริง

ดังนั้น \((0,-2)\) เป็นสมาชิกในความสัมพันธ์ \(t\)

2. จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1) ขนานกับแกน \(X\) และอยู่เหนือแกน \(X\) เป็นระยะทาง \(\frac{3}{7}\) หน่วย

วิธีทำ ข้อนี้อ่านโจทย์รู้เลยคือ เส้นตรงที่ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,\frac{3}{7})\)

ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการเป็น \(y=\frac{3}{7}\) หรือถ้าเขียนเป็นความสัมพันธ์ก็คือ

\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|y=\frac{3}{7}\}\)

2) ขนากับแกน \(X\) และอยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย

วิธีทำ ข้อนี้ให้จินตนาถึงเส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) ดังนั้นเส้นตรงนี้ต้องตัดกับแกน \(Y\) ที่จุด \((0,a)\) ซึ่งมีสมการเป็น \(y=a\) ซึ่งต้องไปหาว่า \(a\) คือตัวอะไร และโจทย์บอกว่าเส้นตรงนี้ อยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย ดังนั้น เส้นตรงนี้ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,3+4)=(0,7)\) นั่นคือ สมการเส้นตรงนี้คือ \(y=7\) นั้นเอง

แต่ยังไม่จบนะคับ เส้นตรงนี้อยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย อาจจะไปทางด้านบนหรือห่างไปทางด้านลางก็ได้ ถ้าห่างไปทางด้านล่าง เส้นตรงนี้จะตัดแกน\(Y\) ที่จุด \((0,3-4)=(0,-1)\) นั่นคือ สมการเส้นตรงนี้คือ \(y=-1\) นั่นเอง

ดังนั้น ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) และอยู่ห่างจาก จุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วยคือ 

\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} |y=7\}\) และ

\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} |y=-1\}\)

เดี่ยววาดรูปให้ดูคับ

3. จงบอกความชัน ระยะตัดแกน \(X\) (x-intercept) และระยะตัดแกน \(Y\) (y-intercept) ของกราฟของแต่ละสมการต่อไปนี้

แนะวิธีการทำข้อนี้

ถ้าเรามีสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป \(Ax+By+C=0\)

ความชันหรือที่เราใช้สัญลักษณ์แทนด้วย \(m\) หาได้จาก

\[m=-\frac{A}{B}\]

ระยะตัดแกน \(X\) หาได้โดยการให้ \(y=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(x\)

ระยะตัดแกน \(Y\) หาได้โดยการให้ \(x=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(y\)

ตัวอย่างเช่น เรามีสมการเส้นตรง \(2x-3y=7\) 

นำสมการมาจัดรูปให้อยู่ในรูปของ \(Ax+By+C=0\) ก่อน จะได้

\(2x-3y-7=0\)

ดังนั้น \(A=2,\quad B=-3,\quad C=-7\) จึงได้ว่าความชันคือ

\(m=-\frac{A}{B}=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3}\)

ระยะตัดแกน \(X\) คือ

\begin{array}{lcl}2x-3y-7&=&0\\2x-3(0)-7&=&0\\2x-0&=&7\\x&=&\frac{7}{2}\end{array}

ระยะตัดแกน \(Y\) คือ

\begin{array}{lcl}2x-3y-7&=&0\\2(0)-3y-7&=&0\\y&=&-\frac{7}{3}\end{array}

แค่นี้คับวิธีการทำ

4. จงแสดงว่าเส้นตรง \(3y=2x-6\) ขนานกับเส้นตรง \(y=\frac{2}{3} x+1\)

วิธีทำ เส้นตรงขนานกันคือเส้นตรงที่มีความชันเท่ากัน

นำสมการเส้นตรง \(3y=2x-6\) มาจัดให้อยู่ในรูป \(Ax+By+C=0\) จะได้

\begin{array}{lcl}3y&=&2x-6\\3y-2x+6&=&0\end{array}

ดังนั้น \(A=-2,\quad B=3\) จึงได้ความชันคือ

\(m=-\frac{A}{B}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}\)

สมการเส้นตรงอีกอันคือ \(y=\frac{2}{3} x+1\) จะเห็นว่าสมการเส้นตรงนี้อยู่ในรูปของ

\(y=mx+c\) แล้ว เมื่อเทียบกันจะได้ \(m=\frac{2}{3}\) 

นั่นก็คือ เส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน เพราะมีความชันเท่ากันคือ \(\frac{2}{3}\)

สมการเส้นตรง

\(y=3x+4\)  ความชัน(m) มีค่าเท่ากับ 3

\(2y=10x-2\)  อันนี้ความชันไม่ใช่ 10 นะครับต้องจัดรูปให้อยู่ในแบบมาตรฐานก่อนก็จะได้

\(y=\frac{10x-2}{2}\\y=5x-1\)

นั่นก็คือมีความชันเท่ากับ 5 นั่นเองครับ

\(2y-8x+2=0\)  อันนี้เป็นสมการเส้นตรงเหมือนกันนะครับแต่ยังไม่ได้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราสามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ครับก็คือ

\(2y=8x-2\)

\(y=\frac{8x-2}{2}\)

\(y=4x-1\)    แล้วความชันมีค่าเท่ากับ 4  นั่นเอง

จากตรงนี้จะเห็นว่าสมการเส้นตรง \(2y-8x+2=0\) ซึ่งถ้าเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปมันก็คือ \(Ax+By+C=0\)  ซึ่งสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป

\[Ax+By+C=0\]   เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปครับ

ผมจะลองจัดสมการให้ดูนะครับจากสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปคือ

\begin{array}{lcl}Ax+By+C&=&0\\By&=&-Ax-C\\y&=&\frac{-A}{B}x-\frac{C}{B}\end{array}

จะเห็นว่าถ้าเรามีสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป ความชันของสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปมีค่าเท่ากับ \(\frac{-A}{B}\)

ตัวอย่าง เช่น

1.1 \(5x+3y+2=0\)  มี A=5,B=3  ดังนั้นความชัน

\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-5}{3}\)   นั่นเองครับ

1.2  \(-4x+6y-4=0\)   มี A=-4,B=6  ดังนั้นความชัน

\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-(-4)}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

สรุป อีกทีหนึ่งนะครับท่านผู้ชม สมการเส้นตรงโดยตามหนังสือทั่วไปนั้นมีจะมีอยู่ 3 แบบคือ

1) \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

สมการนี้เป็นสมการตั้งต้นนะครับ ถ้าโจทย์กำหนดความชันมาให้และกำหนดจุดที่เส้นตรงนั้นผ่าน เราสามารถหาสมการเส้นตรงได้โดยใช้สูตรอันนี้ครับดังที่ผมได้เขียนตัวอย่างให้ดูด้านบนครับ

2) \[y=mx+C\]

สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน   ความชันคือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x

3) \[Ax+By+C=0\] 

สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป    ความชันคือ \(m=\frac{-A}{B}\)

มาลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมครับ

1. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5)  และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\)

วิธีทำ  เส้นตรง \(x+2y+12=0\)  มีความชัน \(m=\frac{-A}{B}=\frac{-1}{2}\)   ดังนั้นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงนี้ต้องมีความชันเท่ากับ  \(\frac{-1}{2}\)   ด้วยครับ จากสมการเส้นตรง

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]  

จะเห็นว่า  \(m=\frac{-1}{2},x_{1}=7,y_{1}=5\)   แทนค่าลงไปเลยครับจะได้

\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{-1}{2}(x-7)\end{array}

จัดสมการนิดหนึ่งเพื่อความสวยงามจะได้

\begin{array}{lcl}2(y-5)&=&-1(x-7)\\2y-10&=&7-x\\x+2y-10-7&=&0\\x+2y-17&=&0\end{array}

ดังนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5)  และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\)  คือ  \(x+2y-17=0\)

2. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4)

วิธีทำ  ผมจะใช้สมการนี้  \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\)  ในการหาคำตอบ ก่อนอื่นต้องหา m หรือความชันของเส้นตรง หากันเลยครับ

\begin{array}{lcl}m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\m&=&\frac{5-4}{3-(-2)}\\m&=&\frac{1}{5}\end{array}   

เมื่อได้ความชันแล้วก็หาสมการเส้นตรงได้ครับเลือกจุดหนึ่งจุด จุดไหนก็ได้ที่เส้นตรงนี้ผ่านผมเลือกจุด (3,5) แล้วกันเพื่อเอาไปแทนในสมการ

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}

จะได้สมการเส้นตรงคือ

\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{1}{5}(x-3)\\y-5&=&\frac{x-3}{5}\\5(y-5)&=&x-3\\5y-25&=&x-3\\5y-x-25+3&=&0\\5y-x-22&=&0\end{array}

ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4) คือ  \(5y-x-22=0\)

3.จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4)  และตั้งฉากกับ(-1,3)  และ (-2,-2)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับพยายามอ่านโจทย์ช้าๆ 

ขั้นตอนแรก  เขาให้เราหาสมการเส้นตรงซึ่งเส้นตรงที่ให้เราหานั้นมันตั้งฉากกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (-1,3)  และ (-2,-2) จากตรงนี้เราสามารถหาความชันได้ใช้ไหมครับ

ความชันของเส้นตรงจุด(-1,3)  และ (-2,-2) คือ

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{3-(-2)}{-1-(-2)}\\m=\frac{5}{1}\\m&=&5\end{array}

อย่าลืมนะเส้นตรงที่เรากำลังหาตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3)  และ (-2,-2)  เนื่องจากเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3)  และ (-2,-2) มีความชันเท่ากับ 5  ดังนั้นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ย่อมมีความชันเท่ากับ  \(-\frac{1}{5}\)   ใกล้ได้คำตอบแล้วครับ

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเส้นตรงที่เราต้องการมีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}{5}\) และผ่านจุด (-1,4)   ดังนั้นเรานำข้อมูลนี่แหละไปหาสมการเส้นตรง  จาก

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]     เมื่อ  \(m=-\frac{1}{5},\quad x_{1}=-1,\quad y_{1}=4\)     แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}y-4=-\frac{1}{5}(x-(-1))\\y-4&=&\frac{x+1}{-5}\\-5(y-4)&=&x+1\\-5y+20&=&x+1\\-5y-x+20-1&=&0\\-5y-x+19&=&0\end{array}

ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4)  และตั้งฉากกับ(-1,3)  และ (-2,-2)  คือ \(-5y-x+20-1=0\)