ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน จะมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันบนจุด \(x=c\) ซึ่งผมเขียนไว้เยอะแล้วครับสามารถหาอ่านตามลิงค์นี้ครับผม
ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ลิมิตและความต่อเนื่อง
แต่วันนี้เราจะมาเรียนเกี่ยวกับความต่อเนื่องบนช่วงกันครับผม เรามาดูนิยามความต่อเนื่องบนช่วงกันก่อนนะครับแล้วค่อยไปดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับผม
นิยาม
1. \(f\) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วงเปิด \((a,b)\) ก็ต่อเมื่อ \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)
2. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\) ก็ต่อเมื่อ
1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)\)
3. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \((a,b]\) ก็ต่อเมื่อ
1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆ จุดในช่วง \((a,b)\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=f(b)\)
4. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,)\) ก็ต่อเมื่อ
1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\)
ต่อไป ไปดูแบบฝึกหัดความต่อเนื่องบนช่วงกันครับผม
ตัวอย่าง กำหนด \(f(x)=\sqrt{16-x^{2}}\) จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)
วิธีทำ เขาให้เราแสดงว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\) นั่นคือ เราต้องแสดงตามนิยามข้อ 2. ข้างบนคือ ตามนี้ครับ
2. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\) ก็ต่อเมื่อ
1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)\)
ก็คือเราต้องแสดงให้เข้าเห็นสองข้อคือ
1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\) วิธีทำ ก็คือ
กำหนดให้ \(c\in (-4,4)\) จะได้ว่า \(f(c)=\sqrt{16-c^{2}}\) ซึ่งจะเห็นว่า \(f(c)\) หาค่าได้แน่นอนข้างในรูทไม่ติดลบแน่นอนดังนั่น \(f(c)\) ต่อเนื่องทุกจุดในช่วง \((-4,4)\)
ต่อไปแสดงให้เข้าเห็นว่า
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}} f(x)=f(4)\)
จะแสดงนี้ก่อนนะ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\) ซึ่งจะเห็นว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}\sqrt{16-x^{2}}\\&=&\sqrt{16-(-4)^{2}}\\&=&0\quad \cdots (1)\end{array}
อีกอัน
\begin{array}{lcl}f(-4)=\sqrt{16-(-4)^{2}}=0\quad\cdots (2)\end{array}
จะเห็นได้ว่า \((1)=(2)\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\)
ต่อไปจะแสดงนี่
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=f(4)\) ซึ่งจะเห็นว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}\sqrt{16-x^{2}}\\&=&\sqrt{16-(4)^{2}}\\&=&0\quad \cdots (1)\end{array}
อีกอัน
\begin{array}{lcl}f(4)=\sqrt{16-(4)^{2}}=0\quad\cdots (2)\end{array}
จะเห็นได้ว่า \((1)=(2)\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=f(4)\)
เราได้แสดงให้เห็นตามนิยามแล้ว ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)
มาดูแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสทว. บ้างครับ แบบฝึกหัด 2.2
1. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f,\quad g\quad ,h\) ดังรูป จงพิจารณาว่า \(f,\quad g,\quad h\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงที่กำหนดในต่อละข้อหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) หรือไม่
ต้องไปอ่านนิยามการต่อเนื่องบนช่วงๆดีนะคับ
จากรูปจะเห็นว่า
\(f(1)=2\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-1}}f(x)\) มีค่าน้อยกว่า 1
ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\)
ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ไม่ต่อเนื่องในช่วง \([-1,1]\)
พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,1)\) หรือไม่
จากรูปเห็นชัดเจนว่าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-1,1)\)
พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\) หรือไม่
\(f(1)=2\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-1}}f(x)\) มีค่าน้อยกว่า 1
ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\)
ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ไม่ต่อเนื่องในช่วง \([0,1]\)
พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\) หรือไม่
จากรูปจะเห็นว่าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-1,0)\)
และ \(f(0)=1\)
และ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=1\)
จะเห็นว่า \(f(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\)
ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0)\)
พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) หรือไม่
จากรูปชัดเจนเลยฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(x=0\)
ดังนั้น ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) เพราะว่าการที่มันจะต่อเนื่องมันต้องต่อเนื่องทุกจุดที่อยู่ในช่วงนะคับ
พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,1)\) หรือไม่
จากรูปชัดเจนเลยฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(x=0\)
ดังนั้น ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) เพราะว่าการที่มันจะต่อเนื่องมันต้องต่อเนื่องทุกจุดที่อยู่ในช่วงนะคับ
พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\) หรือไม่
จากรูป ดูจากรูปเอานะจะได้ง่าย
จะเห็นว่า \(g(0)=2\)
และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=1\)
ดังนั้น \(g(0)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)\)
นั่นก็คือ ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\)
พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\) หรือไม่
ดูจากรูปเอานะคับง่ายดี
จะเห็นว่า \(g(0)=2\)
และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)=1\)
ดังนั้น \(g(0)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)\)
นั่นก็คือ ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\)
มีทุกเรื่องให้อ่านครับ ลองค้นหาดู ฝากแชร์ ให้เพื่อนๆดูด้วยคับ
สนับสนุนเว็บไซต์