ความต่อเนื่องบนช่วง

ตัวอย่าง  กำหนด \(f(x)=\sqrt{16-x^{2}}\) จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)

วิธีทำ  เขาให้เราแสดงว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)  นั่นคือ เราต้องแสดงตามนิยามข้อ 2. ข้างบนคือ ตามนี้ครับ

2. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\) ก็ต่อเมื่อ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)\)

ก็คือเราต้องแสดงให้เข้าเห็นสองข้อคือ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)  วิธีทำ ก็คือ

กำหนดให้ \(c\in (-4,4)\) จะได้ว่า \(f(c)=\sqrt{16-c^{2}}\) ซึ่งจะเห็นว่า \(f(c)\) หาค่าได้แน่นอนข้างในรูทไม่ติดลบแน่นอนดังนั่น \(f(c)\) ต่อเนื่องทุกจุดในช่วง \((-4,4)\)

ต่อไปแสดงให้เข้าเห็นว่า

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}} f(x)=f(4)\)

จะแสดงนี้ก่อนนะ

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\) ซึ่งจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}\sqrt{16-x^{2}}\\&=&\sqrt{16-(-4)^{2}}\\&=&0\quad \cdots (1)\end{array}

อีกอัน

\begin{array}{lcl}f(-4)=\sqrt{16-(-4)^{2}}=0\quad\cdots (2)\end{array}

จะเห็นได้ว่า \((1)=(2)\) ดังนั้น  \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\)

 ต่อไปจะแสดงนี่

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=f(4)\) ซึ่งจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}\sqrt{16-x^{2}}\\&=&\sqrt{16-(4)^{2}}\\&=&0\quad \cdots (1)\end{array}

อีกอัน

\begin{array}{lcl}f(4)=\sqrt{16-(4)^{2}}=0\quad\cdots (2)\end{array}

จะเห็นได้ว่า \((1)=(2)\) ดังนั้น  \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=f(4)\)

เราได้แสดงให้เห็นตามนิยามแล้ว ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)

มาดูแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสทว. บ้างครับ แบบฝึกหัด 2.2

1. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f,\quad g\quad ,h\) ดังรูป จงพิจารณาว่า \(f,\quad g,\quad h\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงที่กำหนดในต่อละข้อหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) หรือไม่

ต้องไปอ่านนิยามการต่อเนื่องบนช่วงๆดีนะคับ

จากรูปจะเห็นว่า

\(f(1)=2\)  

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-1}}f(x)\) มีค่าน้อยกว่า 1

ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\) 

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ไม่ต่อเนื่องในช่วง \([-1,1]\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,1)\) หรือไม่

จากรูปเห็นชัดเจนว่าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-1,1)\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\) หรือไม่

\(f(1)=2\)  

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-1}}f(x)\) มีค่าน้อยกว่า 1

ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\) 

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ไม่ต่อเนื่องในช่วง \([0,1]\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\) หรือไม่

จากรูปจะเห็นว่าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-1,0)\)

และ \(f(0)=1\)

และ

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=1\)

จะเห็นว่า \(f(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\)

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0)\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) หรือไม่

จากรูปชัดเจนเลยฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(x=0\)

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) เพราะว่าการที่มันจะต่อเนื่องมันต้องต่อเนื่องทุกจุดที่อยู่ในช่วงนะคับ

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,1)\) หรือไม่

จากรูปชัดเจนเลยฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(x=0\)

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) เพราะว่าการที่มันจะต่อเนื่องมันต้องต่อเนื่องทุกจุดที่อยู่ในช่วงนะคับ

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\) หรือไม่

จากรูป ดูจากรูปเอานะจะได้ง่าย

จะเห็นว่า \(g(0)=2\)

และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=1\)

ดังนั้น \(g(0)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)\) 

นั่นก็คือ ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\) หรือไม่

ดูจากรูปเอานะคับง่ายดี

จะเห็นว่า  \(g(0)=2\)

และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)=1\)

ดังนั้น \(g(0)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)\) 

นั่นก็คือ ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\)