ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

2. จงหา \(k\) ที่ทำให้ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty,\infty)\)

1) \(f(x)=\left\{\begin{matrix}&7x-2\quad เมื่อ \quad x\leq 1\\&kx^{2}\quad เมื่อ \quad x>1\end{matrix}\right.\)

พิจารณาที่จุด \(x=1\)  จะได้

\(f(1)=7(1)-2=5\)

และ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(7x-2)\\&=&7(1)-2=5\\\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}kx^{2}\\&=&k(1)^{2}=k\end{array}

เนื่องจาก ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่อง เมื่อ

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=f(1)\)

ดังนั้น \(k=5\)

ต่อไปเดี่ยวจะลองนำแบบฝึกหัดจากหนังสือเรียน สสวท มาลองทำดูบางข้อ เพื่อเป็นแนวทางในการทำข้ออื่นต่อไป แบบฝึกหัด 2.2

1. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนดให้หรือไม่

1) \(f(x)=3x-1\) ที่ \(x=0\)

วิธีทำ ข้อนี้ให้ตรวจสอบว่า ฟังก์ชัน \(f\) นี้ ต่อเนื่องที่ \(x=0\) หรือไม่ ข้อนี้อาจจะลองว่ากราฟดูก็ได้ แล้วดูว่าที่ \(x=0\) ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ไหม ถ้าหาได้ ก็จะต่อเนื่อง หรือง่ายสุดก็ตรวจสอบตาม นิยามนี่แหละคับ 

จะเห็นว่า

\(f(0)=3(0)-1=-1\)

และ 

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}3x-1=3(0)-1=-1\)

จะเห็นได้ว่า \(f(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=-1\) ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=0\) นั่นเอง

2)\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{x^{2}-16}{x-4}\quad เมื่อ \quad x\leq 4\\&-\frac{1}{4}\quad เมื่อ \quad x=4\end{matrix}\right.\)

วิธีทำ ข้อนี้ให้ตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=4\) หรือไม่ เริ่มตรวจสอบตามนิยามเลยนะคับ

จะได้

\(f(4)=-\frac{1}{4}\)

และ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}(x+4)\\&=&8\end{array}

ซึ่งจะเห็นได้ว่า

\(f(4)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)\) ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=4\) คับ

3)\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}\quad เมื่อ \quad x\leq 1\\&-\frac{2}{3}\quad เมื่อ \quad x=1\end{matrix}\right.\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องแยกตัวประกอบเป็นนะ พวกการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง และ ผลต่างกำลังสาม ต้องแยกเป็นนะคับไม่งั้นจะทำไม่ได้  เริ่มทำเลย

ข้อนี้เราให้เราตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=1\) หรือไม่ เริ่มทำเลย

จะเห็นว่า

\(f(1)=-\frac{2}{3}\)

และ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+1)}{x^{2}+x+1}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}

ซึ่งจะเห็นได้ว่า

\(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\) 

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=1\)

3. กำหนดให้ \(f(x)=\frac{2}{x-4}\) จงพิจารณาว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่

1) \((-\infty ,4)\)            2)\((4,6]\)            3)\((4,\infty)\)

วิธีทำ 

1) ตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\)  ไหม

การตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\)  ไหม สิ่งที่ต้องทำคือ

ต้องตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-\infty ,4)\)   เริ่มทำเลย

กำหนดให ้ \(c\in (-\infty ,4)\) ดังนั้น \(c<4\) และ \(c\neq 4\)  จึงได้ว่า

\(f(c)=\frac{2}{c-4}\quad (1)\)

ต่อไปหา \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) ได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{c-4}\quad (2)\end{array}

จะเห็นว่า \((1)=(2)\) ซึ่งก็คือ \(f(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) ดังนั้นจึงได้ว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\)  

 2) ตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((4,6]\) ไหม

การตรวจสอบ ต้องทำ 2 ข้อคือ

 2.1)\(f\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((4,6)\)

2.2) \(f(6)\) ต้องมีค่าเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)\)

เรามาตรวจสอบข้อ 2.1) ก่อน

กำหนดให้ \(c\in (4,6)\) จะได้ว่า

\(f(c)=\frac{2}{c-4}\)

ต่อไปหา \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{c-4}\end{array}

จะเห็นได้ว่า

\(f(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) นั่นคือ \(f\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((4,6)\)

ต่อไปตรวจสอบข้อ 2.2) 

จะได้ว่า \(f(6)=\frac{2}{6-4}=1\) และ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{6-4}\\&=&1\end{array}

จะเห็นว่า\(f(6)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)\)

ดังนั้น จาก ข้อ 2.1) และ 2.2) ทำให้ได้ว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((4,6)\)

4. กำหนดให้

\(g(x)=\left\{\begin{matrix}&2x-2\quad เมื่อ \quad x< -2\\&x-4\quad เมื่อ \quad -2\leq x\leq 1\\&4-x\quad เมื่อ \quad x>1\end{matrix}\right.\)

จงพิจารณาว่า \(g\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่

1) \((-\infty ,1]\)            2) \((-2,1]\)             3) \((-2,2]\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดกราฟ แล้วก็ดูจากกราฟถึงจะง่ายนะคับผม ถ้าไม่วาดกราฟบอกเลยยากคับ ก็ใช้โปรดแกรม geogebra วาดก็ได้ หรือว่าวาดมือก็ได้ เพราะฟังก์ชันที่โจทย์ให้มาวาดง่ายคับ ไม่ได้ซับซ้อนเลย ไปดูรูปเลย

1)  ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,1]\)  ไหม

ตรวจสอบ 2 ข้อคือ

1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \(-\infty ,1)\)

1.2) \(g(1)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)  (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)

ซึ่งจากรูปเห็นได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-\infty ,1)\)  และ

\(g(1)=-3\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x-4=-3\)

จะเห็นว่า \(g(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)

ดังนั้นจึงได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,1]\)

2)  ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,1]\)   ไหม

ตรวจสอบ 2 ข้อคือ

1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,1)\)

1.2) \(g(1)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)  (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)

ซึ่งจากรูปเห็นได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,1)\)  และ

\(g(1)=-3\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x-4=-3\)

จะเห็นว่า \(g(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)

ดังนั้นจึงได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2 ,1]\)

3)  ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,2]\)   ไหม

ตรวจสอบ 2 ข้อคือ

1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,2)\)

1.2) \(g(2)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}g(x)\)  (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)

ซึ่งเราจะเห็นว่า \(1\in (-2,2)\)

\(g(1)=-3\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=-3\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=3\)

ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\) ไม่มีค่า

นั้นคือ \(g(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\) จึงได้ว่า \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด\(x=1\) จึงทำให้ \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,2)\)

แบบฝึกหัดลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

7.2)

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&ax^{2}-3&\quad ;x\leq 2\\&ax+2&\quad ;x>2\end{matrix}\right.\)

7.3)

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&4x&\quad ; x\leq -1\\&cx+b&\quad ; -1<x<2\\&-5x&\quad ;x\geq 2\end{matrix}\right.\)