• ความชันของเส้นโค้ง

    ความชันของเส้นโค้ง เราเคยหาความชันของเส้นตรงมาแล้วใช้ไหม ถ้าใครไม่เคยให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ก่อนความชันของเส้นตรง ซึ่งจะเห็นว่าการหาความชันของเส้นตรงนั้นเราต้องอาศัยจุดสองจุด ก็คือรู้จุดสองจุดสามารถหาความชันได้ครับ  ดูรูปประกอบ

    แต่ถ้าเป็นเส้นโค้ง ดูรูปประกอบนะ  เราจะหาความชันของเส้นโค้งไม่ได้ครับถ้าเราเลือกจุดมาเหมือนกับเส้นตรงแล้วมาหาความชันจะได้ความชันไม่เท่ากันแน่นอนครับ ดังนั้นเราจึงมีวิธีการหาความชันของเส้นโค้งซึ่งจะเริ่มศึกษากันในบทความนี้ครับ

    เริ่มกันเลยครับ

    กำหนดให้ \(L\) เป็นเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\)  ต่อไปจะอาศัยความรู้เรื่องลิมิตในการหาความชันของเส้นตรง \(L\)

    กำหนดให้เส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=f(x)\)

    \(P(a,b)\)  และ  \(Q(a+h,b+k)\)  เป็นจุดบนเส้นโค้ง โดยที่ \(h\neq 0\)  ดังรูปที่ 3

    ลากส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  เรียกส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  ว่าเส้นตัดกราฟ

    ความชันของส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  คือ  \(\frac{(b+k)-b}{(a+h)-a}=\frac{k}{h}\)

    เนื่องจาก  \(b+k=f(a+h)\)  และ  \(b=f(a)\) 

    ดังนั้นความชันของส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  คือ  \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

    นั่นคือ  \(\frac{h}{k}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

    เลือกจุด \(Q_{1}\) บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\) และ  \(Q\)

    เลือกจุด \(Q_{2}\)  บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\)  และ \(Q_{1}\)

    เลือกจุด \(Q_{3}\)  บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\)  และ \(Q_{2}\)

    ทำอย่างนี้เรื่อยๆครับจะเห็นได้ว่าจนถือได้ว่า  \(Q_{n}\)  เกือบทับจุด \(P\)

    และเส้นตัดกราฟ \(PQ_{n}\) เกือบจะทับกันเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\)

    ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\) เท่ากับ \(\displaystyle\lim_{h\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  (ถ้าหาค่าลิมิตได้)

    ความชันของเส้นโค้ง ณ  จุดสัมผัส \(P(x,y)\)  หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ  จุด \(P\)

     

    ต่อไปเรามาดูโจทย์เกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งกันครับ

    1. จงหาความชันของเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของสมการ \(y=\frac{1}{x}\) ที่จุด \((3,1)\)

    วิธีทำ  ความชันของเส้นโค้ง ที่จุด \(P(x,y)\) ใดๆ  หาได้จาก

    \(\displaystyle\lim_{h\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  จุด \(P\)  ในข้อนี้มีพิกัดคือ \((3,1)\)  ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3-h)-f(3)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-h}{3(3+h)h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-1}{3(3+h)}\\&=&-\frac{1}{9}\end{array}


    2. ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=x-2x^{2}\)  จงหา

    1)  ความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)

    2)  สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)

    วิธีทำ ทำข้อ 1)  ก่อนครับทำเหมือนเดิมเลย 

    ความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\) หาได้จาก \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)-2(1+h)^{2}-(1-(2)1^{2})}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-3h-2h^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(-3-2h)\\&=&-3\end{array}

    ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)  คือ \(-3\)

    ต่อไปทำข้อ 2)  ครับ จากข้อหนึ่งเราจะได้ว่าเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(-3\)  และ จุด \((1,-1)\) เป็นจุดบนเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งครับจากที่เรารู้มาแล้วว่าสมการเส้นตรงคือ

    \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

    เมื่อ \((x_{1},y_{1})\)  คือจุดบนเส้นตรงในที่นี้ก็คือ  \((1,-1)\) ครับ ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งหรือว่าสมการเส้นตรงนี้ก็คือ

    \[y-(-1)=(-3)(x-1)\]

    จัดรูปให้สวยๆหน่อยๆจะได้

    \[y+1=3-3x\]

    จัดให้สวยขึ้นไปอีกจะได้

    \[y=2-3x\]


    3. จงหาความชันของเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดให้และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น

    1) \(y=x^{2}-3x\)  ที่จุด \((3,0)\)

    วิธีทำ  ข้อนี้เราจะหาความชันของเส้นโค้งโดยนิยามก่อนนะครับยังไม่ใช้การดิฟครับ เราจะได้ความชันของเส้นโค้งตามนิยามคือ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^{2}-3(3+h)-(3^{2}-3(3))}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9+6h+h^{2}-9-3h-9+9}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}+3h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(h+3)\\&=&3\end{array}

    ต่อไปหาสมการที่สัมผัสเส้นโค้งในจุด \((3,0)\)  ความชันของเส้นโค้งที่เราได้มานั้นก็คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนั่นเอง ดังนั้น เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ \(3\) เมื่อเรารู้ความชัน และรู้จุดหนึ่งจุดซึ่งก็คือ \((3,0\) อยู่บนเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง เราก็สามารถหาสมการเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนั้นได้ ซึ่งก็คือ

    \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

    \[y-0=3(x-3)\]

    จัดรูปนิดหนึ่งจะได้

    \[y=3x-9\]

    ต่อไปผมจะไม่หาความชันของเส้นโค้งตามนิยามแล้วนะครับเพราะว่ามันยาวไป ผมจะใช้วิธีการดิฟเอาครับ พอดิฟเสร็จ สมมติเราต้องการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \((a,b)\)  เราก็เอา \(a\)  ไปแทนในตัวแปร x ที่เราดิฟเอาไว้เราก็จะได้ความชันของเส้นโค้งในจุด \((a,b)\)  ครับ ฟังแล้วอาจจะงงเริ่มทำเลยดีกว่าครับ

    2) \(y=\frac{6}{x+1}\)  ที่จุด \((2,2)\)

    วิธีทำ ดิฟเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{6}{x+1})\\&=&\frac{(x+1)(0)-(6)(1+0)}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{-6}{(x+1)^{2}}\end{array}

    ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \((2,2)\)  คือ \(\frac{-6}{(2+1)^{2}}=\frac{-2}{3}\)

    ต่อไปหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง เนื่องจากความชันเส้นโค้งก็คือความชันของเส้นตรงที่สมผัสเส้นโค้ง และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \((2,2)\)  เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้มีสมการเป็น

    \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

    \[y-2=-\frac{2}{3}(x-2)\]  

    จัดสมการนิดหน่อยจะได้

    \[y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}+2\]

    \[y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}\]


    2. ถ้ากราฟของ \(y=ax\) ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของ \(y=3x^{2}+8\)  ที่จุด \((1,11)\) จงหาค่าของ \(a\)

    วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากครับ เราก็แค่ดิฟสมการเส้นโค้งก็จะได้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง อย่าลืมนะครับเส้นสัมผัสเส้นโค้งก็คือเส้นตรงนั่นเองครับและเส้นตรงนี้ขนานกับ กราฟของ \(y=ax\)  ซึ่ง \(y=ax\) ก็คือสมการเส้นตรงนั่นเอง ดังนั้นมันขนานกันความชันย่อมเท่ากัน เริ่มดิฟเลย

    \begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&6x\end{array}

    ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ  \(6(x)=6(1)=6\)   

    นั่นคือ \(a=6\)  นั่นเอง


    3.จงหาสมการเส้นโค้ง \(y=f(x)\) เมื่อกำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆและจุดที่เส้นโค้งผ่านดังนี้

    1) \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\)  จุด \((2,1)\)

    วิธีทำ  เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ คือ

     \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\) ดังน้น สมการเส้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}\int{\frac{dy}{dx}}&=&\int{(x^{2}-3x+2)}dx\\y&=&\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\end{array}

    จะได้สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\)

    ต่อไปหาค่า \(C\) เนื่องจากเส้นโค้งผ่านจุด \((2,1)\) ดังแทน \(x\) ด้วย 2  และแทน \(y\) ด้วย 1 ลงไปในสมการเส้นโค้งเพื่อหาค่า \(C\) จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\\1&=&\frac{2^{3}}{3}-3\frac{2^{2}}{2}+2(2)+C\\1&=&\frac{8}{3}-6+4+C\\C&=&\frac{1}{3}\end{array}

    เมื่อเราได้ค่า \(C\) แล้ว ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ

    \(y=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+\frac{1}{3}\)


    2) \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) จุด \((0,5)\)

    วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ

    \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}\int{\frac{dy}{dx}}&=&\int{(2x^{3}+4x}\\y&=&2\frac{x^{4}}{4}+4\frac{x^{2}}{2}\\y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\end{array}

    จะได้สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\) ต่อไปก็ทำเหมือนข้อข้างบนคือหาค่า \(C\) ครับผม ก็เส้นโค้งเส้นนี้ผ่านจุด  \((0,5)\) ดังนั้นแทน \(x\) ด้วย 0 และแทน \(y\) ด้วย 5 ลงไปในสมการเส้นโค้งจะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\\5&=&\frac{0^{4}}{2}+2(0)+C\\C&=&5\end{array}

    ดังนั้น

    สมการเส้นโค้งคือ

    \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+5\)


    สรุป เกี่ยวกับความชันเส้นโค้งนิดหนึ่งนะครับ 

     ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=f(x)\) เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P(x,y)\) ใดๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \(P\) และมีความชันเท่ากับ \(y^{\prime}\) 

    ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \(P(x,y)\) หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด \(P\)

    ข้อความข้างบนถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆก็คือ  ถ้าเราเอาสมการเส้นโค้งมาดิฟ ค่าที่ดิฟได้จะเป็นความชันของเส้นโค้งนั้นและความชันนี้ยังเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งด้วย  

    ต่อไปลองไปทำโจทย์ที่มันหลากหลายกว่าเดิมครับผม

    1. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(x^{2}-y^{2}=7\) ณ จุดสัมผัส \((4,3)\) 

    วิธีทำ จากสมการเส้นโค้งที่เขากำหนดมากให้คือ \(x^{2}-y^{2}=7\) จัดสมการให้อยู่ในรูป \(y=f(x)\) เพื่อที่จะดิฟง่ายๆหน่อย

    \begin{array}{lcl}x^{2}-y^{2}&=&7\\y^{2}&=&x^{2}-7\\y&=&(x^{2}-7)^{1/2}\end{array}

    ต่อไปหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งโดยการนำสมการเส้นโค้งมาดิฟ จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&(x^{2}-7)^{1/2}\\y^{\prime}&=&\frac{1}{2}(x^{2}-7)^{-1/2}\cdot 2x\\&=&x(x^{2}-7)^{-1/2}\end{array}

    เนื่องเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((4,3)\) ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเสั้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}y^{\prime}&=&x(x^{2}-7)^{-1/2}\\&=&4(4^{2}-7)^{-1/2}\\&=&(4)\cdot 9^{-1/2}\\&=&\frac{4}{3}\end{array}

    ดังนั้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ \(\frac{4}{3}\)

    ต่อไปเราก็หาสมการของเส้นสัมผัสเสันโค้งนี้ อย่าลืมนะเส้นสัมผัสเส้นโค้งจะเป็นเส้นตรง ซึ่งสมการเส้นตรงก็คือ

    \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) เรารู้ว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ \(\frac{4}{4}\) ดังนั้น \(m=\frac{4}{3}\) และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \(4,3\) ดังนัั้นต้องแทน \(x_{1}=4\) และแทน \(y_{1}=3\) จึงได้สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งเป็น

    \begin{array}{lcl}y-3&=&\frac{4}{3}(x-4)\\3(y-3)&=&4(x-4)\\3y-9&=&4x-16\\3y-4x+7&=&0\end{array}

    ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ\(3y-4x+7=0\)


    2.ถ้าความชันของเส้นสัมผัสซึ่งสัมผัสกราฟ \(y=5x^{2}+cx\)  ที่จุด \((3,-12)\) มีค่าเท่ากับ \(8\) แล้ว \(c\) มีค่าเท่าใด

    วิธีทำ  เรานำเส้นโค้งมาดิฟหรือมาหาอนุพันธ์กันเลยเพื่อที่จะได้ความชันออกมา  เริ่มทำเลย

    \begin{array}{lcl}y&=&5x^{2}+cx\\y^{\prime}&=&10x+c\end{array}

    เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเท่ากับ 8 จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}10x+c&=&8\end{array}  และสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด \((3,-12)\) ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}10x+c&=&8\\10(3)+c&=&8\\30+c&=&8\\c&=&-22\quad \underline{Ans}\end{array} 


    3.จุดบนเส้นโค้ง \(y=x^{2}-3x-4\) ที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ \(1\) มีค่าเท่าใด

    วิธีทำ หาจุด\((x,y)\) ใดๆบนเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ \((1)\) ซึ่งเรารู้ว่าความชันของเส้นสัมผัสจะเท่ากับความชันของเส้นโค้งในจุดสัมผัส ซึ่งความชันของเส้นโค้งก็หาได้จากการดิฟสมการเส้นโค้ง นะคับดิฟเลย

    \begin{array}{lcl}y=x^{2}-3x-5\\\frac{dy}{dx}&=&2x-3\\1&=&2x-3\\x&=&2\end{array}

    ดังนั้นเรารู้ค่า\(x=2\) ดังนั้นเอาไปแทนค่าในสมการเส้นโค้งเพื่อหาค่า \(y\) ต่อจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-3x-4\\y&=&2^{2}-3(2)-4\\y&=&-6\end{array}

    ดังนั้นจุดบนเส้นโค้งคือ \((2,-6)\)


    4. เส้นตรง \(L_{1}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(y=\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}-2x+5\) ที่จุด \((-2,\frac{35}{3})\) ถ้าเส้นตรง \(L_{2}\) ตั้งฉากกับเส้นตรง \(L_{1}\) ที่จุด \((0,\frac{23}{3})\) แล้ว จงหาสมการของเส้นตรง \(L_{2}\) 

     วิธีทำ หาความชันของเส้นตรง \(L_{1}\) ก่อนนะคับ หาได้จากการดิฟสมการเส้นโค้งที่จุดสัมผัสนั่นแหละจะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}-2x+5\\\frac{dy}{dx}&=&2x^{2}+4x-2\end{array} แทน \(x\) ด้วย \(-2\) ลงไปสมการเส้นโค้งที่เราดิฟก็จะได้ความชันของเส้นตรง \(L_{1}\)ออกมาครับ ได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&2x^{2}+4x-2\\&=&2(-2)^{2}+4(-2)-2\\&=&-2\end{array}

    ดังนั้น เส้นตรง \(L_{1}\) มีความชันเท่ากับ \(-2\) และเส้นตรง \(L_{1}\) ผ่านจุด \((-2,\frac{35}{3})\) ดังนั้นเส้นตรง \(L_{1}\) จึงมีสมการคือ

    \begin{array}{lcl}L_{1}: y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-\frac{35}{3}&=&(-2)(x+2)\\y-\frac{35}{3}&=&-2x-4\\3y-35&=&-6x-12\\3y+6x-23&=&0\end{array}

    นั่นก็คือ สมการเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(3y+6x-23=0\) ความจริงสมการเส้นตรง \(L_{1}\) ไม่ต้องหาออกมาก็ได้นะ ผมดูโจทย์ผิดนึกว่าให้หาสมการเส้นตรง \(L_{1}\) 

    เขาให้หาสมการเส้นตรง \(L_{2}\) ซึ่งเส้นตรงนี้ตั้งฉากกับเส้นตรง \(L_{1}\) ซึ่งเส้นตรงที่ตั้งฉากกันเอาความชันมาคูณกันจะได้เป็น \(-1\)  ดังนั้นเราจึงได้ว่า เส้นตรง \(L_{2}\) มีความชันเท่ากับ \(2\) และเส้นตรง \(L_{2}\) นี้ผ่านจุด \((0,\frac{23}{3})\) ดังนั้น เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการเป็น

    \begin{array}{lcl}L_{2}:y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-\frac{23}{3}&=&2(x-0)\\3y-23&=&6x\\3y-6x-23&=&0\end{array}

    ดังนั้น เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการคือ \(3y-6x-23=0\)

    ต่อไปมาดูโจทย์เกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งในหนังสือของ สสวท. บ้าง ผมจะทำให้ดูแค่บางข้อพอเป็นตัวอย่างให้ดูเท่านั้นนะคับ เพื่อจะได้ทำข้ออื่นได้

    1. จงหาความชันของเส้นโค้งต่อไปนี้ ณ จุดที่กำหนดให้  และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น

    1)  \(y=x^{2}-3x\) ที่จุด \((3,0)\)

    วิธีทำ 

    \begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-3x\\\frac{dy}{dx}&=&2x-3\end{array}

    ดังนั้น ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (3,0)  คือ \(2(3)-3=3\) 

    ต่อไปเราได้อีกว่า เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด (3,0) ก็มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย 

    ดังนั้น สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-0&=&3(x-3)\\y&=&3x-9\end{array}

    เดี๋ยวผมจะวาดกราฟให้ดูประกอบนะคับ จะได้กราฟ ของเส้นโค้ง และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (3,0) แบบนี้

    2) \(y=5x^{2}-6\)  ที่จุด (2,14)

    วิธีทำ  ทำเหมือนกันกับข้อข้างบนครับ

    \begin{array}{lcl}y&=&5x^{2}-6\\\frac{dy}{dx}&=&10x\end{array}

    ดังนั้น

    เส้นโค้งนี้มีความชันที่จุด (2,14) เท่ากับ 10(2)=20

    เรายังได้อีกว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด (2,14) ก็มีความชันเท่ากับ 20 เช่นเดียวกัน

    ดังนั้น สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-14&=&20(x-2)\\y-14&=&20x-40\\y&=&20x-26\end{array}

    เดี๋ยวผมจะวาดกราฟให้ดูประกอบนะคับ จะได้กราฟ ของเส้นโค้ง และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (2,14) แบบนี้

    3) \(y=x-x^{2}\)  ที่จุดซึ่ง \(x=\frac{1}{2}\)

    วิธีทำ  ทำเหมือนกันกับข้อข้างบนเลย แต่ข้อนี้เขาให้แค่พิกัด \(x\) คือ \(\frac{1}{2}\) เราต้องหาพิกัด \(y\) เองนะคับ ไปดูต่อกันเลย

    \begin{array}{lcl}y&=&x-x^{2}\\\frac{dy}{dx}&=&1-2x\end{array}

    ดังนั้นที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(1-2\frac{1}{2}=0\) ความชันที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) มีค่าเป็น 0 แสดงว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) มีความชันเท่ากับ 0 ด้วย หรือก็คือ เส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ขนานกับแกน \(X\) นั่นเองครับ หรือก็คือสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีสมการอยู่ในรูป \(y=c\) นั่นเองนะ มองภาพออกไหมเอ่ย  เราก็หาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งกันเลย ก็คือ เอาค่า \(x=\frac{1}{2}\) ไปแทนในสมการเส้นโค้ง \(y=x-x^{2}\) จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&x-x^{2}\\&=&\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^{2}\\&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}

    สรุปก็คือ

    เส้นโค้ง \(y=x-x^{2}\) ที่จุดซึ่ง \(x=\frac{1}{2}\) มีความชันเท่า 0 นั่นเองครับ

    และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด \(x=\frac{1}{2}\) มีสมการเป็น \(y=\frac{1}{4}\) นั่นเองครับ ดูรูปประกอบด้านล่างได้เลยคับ


    2. กำหนดให้ \(f(3)=-1\) และ \(f^{\prime}(3)=5\) จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่ \(x=3\)

    วิธีทำ โจทย์ข้อนี้ไม่ได้ให้ความรู้ประโยชน์อะไรเลย เป็นการเล่นลิ้นเล่นคำของผู้ออกโจทย์เฉยๆ

    จากโจทย์เขาให้หาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่ \(x=3\) หรือความหมายอีกอย่างของประโยคนี้ก็คือเส้นสัมผัสเส้นโค้งเส้นนี้มันวิ่ง่ผ่านจุด \(x=3\) 

    และโจทย์บอกอีกว่า \(f^{\prime}(3)=5\) ประโยคนี้มันบอกเราว่าเส้นโค้งนี้มีความชันที่จุด \(x=3\) เท่ากับ 5  เส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีวิ่งผ่านจุด \(x=3\) ด้วย แสดงว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ก็มีความชันเท่ากับ 5 เหมือนกัน

    และอีกประโยคหนึ่งที่โจทย์บอกว่า \(f(3)=-1\) ความหมายก็คือ ถ้า \(x=3\) จะได้ค่า \(y=-1\)

    สรุปก็คือ

    เจ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ 5 และมีวิ่งผ่านจุด \((3,-1)\) ดังนั้นสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้คือ

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-(-1)&=&5(x-3)\\y+1&=&5x-15\\y&=&5x-16\end{array}


    3. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชันเป็น 3 และสัมผัสเส้นโค้ง \(y=-x+x^{2}\) ที่จุด \((a,b)\) แล้ว จงหา \(a\) และ \(b\)

    วิธีทำ ข้อนี้ลองวาดกราฟดูนะคับจะได้มองเห็นภาพ ใครจะวาดกราฟไปวาดตามลิงค์นี้ได้เลยนะคับ วาดกราฟออนไลน์โดยใช้ Geogebra วาดออกมาได้คร่าวๆประมาณนี้คับ 

    ขั้นตอนแรกให้เราไปหาความชันของเส้นโค้งที่จุด \(a\)  ซึ่งจะได้

    \begin{array}{lcl} f(x)&=&-x+x^{2}\\f^{\prime}(x)&=&-1+2x\\\text{ดังนั้น}\quad \text{ความชันเส้นโค้ง ณ จุด a}\\f^{\prime}(a)&=&-1+2(a)\end{array}

    เนื่องจากเส้นตรงนี้ผ่านจุด \(a\) และมีความชันเท่ากับ 3 จึงทำให้ได้ว่าความชันของเส้นโค้งที่จุด \(a\) ก็มีความชันเท่ากับ 3 ด้วยนั่นคือ

    \(2a-1=3\)  ดังนั้น 

    \begin{array}{lcl}2a-1&=&3\\2a&=&3+1\\a&=&\frac{4}{2}\\a&=&2\end{array}

    ตอนนี้เราได้ ค่า \(a=2\) แล้วนะคับ ต่อไปเราก็คือค่าของ \(b\) ถ้าเราดูดีๆเนียะจะเห็นว่าคู่อันดับ \((a,b)\)  ก็คือ

    \(a\) ก็คือพิกัด \(x\)

    \(b\) ก็คือพิกัด \(y\)

    ดังนั้น ถ้าเราอยากรู้ค่า \(b\) ก็คืออยากรู้ค่า\(y\) นั่นเอง จากสมการเส้นโค้ง

    \(y=-x+x^{2}\)  แทน \(2\) ลงไปใน \(x\) จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&-x+x^{2}\\&=&-2+2^{2}\\&=&-2+4\\&=&2\end{array}

    นั่นคือ \(b=2\) นั่นเองคับ

    คำตอบของข้อนี้คือ \(a=2\)  และ \(b=2\) นั่นเองคับ


    4. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) และขนานกันเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=x^{3}\) ที่จุด \((1,1)\)

    วิธีทำ   ลองวาดกราฟคร่าวๆนะคับ การวาดกราฟทำโจทย์ไม่ต้องวาดให้ถูกต้อง 100% ก็ได้นะ วาดพอให้มองเห็นสถานการณ์ที่โจทย์ถามจะได้กราฟ ดังรูปด้านล่าง

    ขั้นตอนแรกหาความชันของเส้นโค้งที่จุด \(1,1)\) ก่อนคับ จะได้ว่า

    \begin{array}f(x)&=&x^{3}\\f^{\prime}(x)&=&3x^{2}\\ \text{ดังนั้น ณ จุด (1,1) เส้นโค้งมีความชัน}\\f^{\prime}(1)&=&3(1)^{2}\\&=&3\end{array}

    เนื่องจากเส้นสัมเส้นโค้งผ่านจุด \((1,1)\) ดังนั้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย จึงทำให้เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย เพราะสองเส้นนี้มีขนานกัน  ดังนั้น ตอนนี้เรารู้ว่า เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีความชันเท่ากับ 3 นั่นคือเราสามารถนำข้อมูลนี้ไปหาสมการเส้นตรงนี้ได้ด้วย

    จากสมการเส้นตรงมีรูปแบบสมการคือ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) จะได้

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-3&=&3(x-2)\\y-3&=&3x-6\\y&=&3x-6+3\\y&=&3x-3\end{array}

    นั้นคือ เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีสมการคือ \(y=3x-3\)

  • ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (65)

    65. สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=\sqrt[3]{x^{2}+2}\) ที่จุด \(x=5\) คือข้อใดต่อไปนี้

    1. \(10x-27y+31=0\)
    2. \(5x-13y+14=0\)
    3. \(27x-10y-105=0\)
    4. \(13x-5y-50=0\)

    วิธีทำ ข้อนี้อยากให้พวกเราไปอ่านเรื่องนี้ก่อน ความชันของเส้นโค้ง  ซึ่งข้อสรุปในการหาความชันเส้นโค้งคือ เอาสมการเส้นโค้งมาดิฟ เมื่อดิฟออกมาแล้วสิ่งที่ได้คือ เป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส ดังรูปด้านล่าง แต่เวลาทำข้อสอบจริงๆไม่มีรูปให้ดูนะคับ ผมเอามาให้ดูเพื่อความเข้าใจยิ่งขึ้น  แต่ที่แน่ๆ ต้องดิฟให้เป็น โดยเฉพาะการดิฟรูท

    เริ่มทำกันเลย ดิฟสมการเส้นโค้งเพื่อหาความชันของเส้นสัมผัส

    \begin{array}{lcl}y&=&\sqrt[3]{x^{2}+2}\\y&=&(x^{2}+2)^{\frac{1}{3}}\\y^{\prime}&=&\frac{1}{3}(x^{2}+2)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x\\y^{\prime}&=&\frac{2x}{3(x^{2}+2)^\frac{2}{3}}\\x=5\\y^{\prime}&=&\frac{2(5)}{3(27)^{2/3}}\\y^{\prime}&=&\frac{10}{27}\end{array}

    นั่นก็คือที่จุด \(x=5\) เส้นสัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(\frac{10}{27}\)  และที่จุดนี้มีค่า \(y\) คือ

    \begin{array}{lcl}y&=&\sqrt[3]{x^{2}+2}\\y&=&\sqrt[3]{27}\\y&=&3\end{array}

    นั่นก็คือ ที่จุด \(x=5,\quad y=3\) เส้นสัมผัสเส้นเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(\frac{10}{27}\) ซึ่งมีสมการคือ 

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-3&=&\frac{10}{27}(x-5)\\27(y-3)&=&27\times \frac{10}{27}(x-5)\\27y-81&=&10(x-5)\\27y-10x-81+50&=&0\\27y-10x-31&=&0\\10x-27y+31&=&0\quad\underline{Ans}\end{array}

  • อินทิเกรต

    วันนี้ผมจะทำการเฉลยแบบฝึกหัดปริพันธ์ไม่จำกัดเขตหรือว่าอินทิเกรตไม่จำกัดเขตนั่นเองครับให้ผู้ที่สนใจได้ดู ได้ศึกษาอ่านเองเพื่อเป็นความรู้พื้นฐาน สำหรับคนที่ไม่มีเงินเรียนพิเศษ จะได้มีเฉลยไว้ดู  สามารถอ่านและศึกษา แบบฝึกหัดพวกนี้เพิ่มเติมได้จากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. และหนังสืออื่นๆที่เกี่ยวกับข้อง จะได้มีความรู้ที่กว้างและทำข้อสอบได้ต่อไป มาดูแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตกันเลยครับ

    1. จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต่อไปนี้

    1) \(\int (x^{4}+3x^{2}+5x)dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int (x^{4}+3x^{2}+5x)dx&=&\int x^{4}dx+\int 3x^{2}dx+\int 5xdx\\&=&\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx+5\int xdx\\&=&\frac{x^{5}}{5}+x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+c\end{array}


    2)\(\int (2x^{3}-3x^{2}+6-2x^{-2})dx\)

    วิธีทำ 

    \begin{array}{lcl}\int (2x^{3}-3x^{2}+6-2x^{-2})dx&=&\int 2x^{3}dx-\int3x^{2}dx+6\int dx-\int 2x^{-2}dx\\&=&2\int x^{3}dx-3\int x^{2}dx+6\int dx-2\int x^{-2}dx\\&=&\frac{x^{4}}{2}-x^{3}+6x+\frac{2}{x}+c\end{array}


    3) \(\int (x^{10}-\frac{1}{x^{3}})dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int (x^{10}-\frac{1}{x^{3}})dx&=&\int x^{10}dx-\int x^{-3}dx\\&=&\frac{x^{11}}{11}+\frac{1}{2x^{2}}+c\end{array}


    4)\(\int (\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}})dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int (\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}}&=&\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int \frac{2}{x^{4}}dx\\&=&\int x^{-2}dx+2\int x^{-4}dx\\&=&-\frac{1}{x}-\frac{2}{3x^{3}}+c\end{array}


    5) \(\int \sqrt{x}dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int \sqrt{x}dx&=&\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\\&=&\frac{2x\sqrt{x}}{3}+c\end{array}


    6) \(\int (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{2}{3}})dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{2}{3}})dx&=&\int x^{\frac{3}{2}}dx-\int x^{\frac{2}{3}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}+c\end{array}

    7. \(\int (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})dx&=&\int \frac{1}{x^{2}}dx-\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx\\&=&\int x^{-2}dx-\int\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}dx\\&=&-\frac{1}{x}-x^{\frac{1}{2}}+c\\&=&-\frac{1}{x}-\sqrt{x}+c\end{array}

    8)\(\int x^{2}(x-3)dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int x^{2}(x-3)dx&=&\int x^{3}dx-\int 3x^{2}dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+c\end{array}

    9) \( \int \sqrt{x}(x+1)dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int\sqrt{x}(x+1)dx&=&\int x^{\frac{1}{2}}(x+1)dx\\&=&\int x^{\frac{3}{2}}dx+\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\end{array}

    10) \(\int(\frac{x-2}{x^{3}})dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int(\frac{x-2}{x^{3}})dx&=&\int x^{-2}dx-\in 2x^{-3}dx\\&=&\int x^{-2}dx-2\int x^{-3}dx\\&=&-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+c\end{array}

    11) \(\int (x^{2}+5x+1)dx\)

    วิธีทำ 

    \begin{array}{lcl} \int (x^{2}+5x+1)dx&=&\int x^{2}dx+\int 5xdx+\int 1dx\\&=&\int x^{2}dx+5\int xdx+\int 1dx\\&=&\int \frac{x^{3}}{3}+\frac{5x^{2}}{2}+x+c\end{array}

    12) \(\int (6\sqrt{x}+15)dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int (6\sqrt{x}+15)dx&=&\int 6x^{\frac{1}{2}}dx+\int 15dx\\&=&4x^{\frac{3}{2}}+15x+c\\&=&4x\sqrt{x}+15x+c\end{array}

    13) \(\int (x^{3}+5x^{2}+6)dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int (x^{3}+5x^{2}+6)dx&=&\int x^{3}dx+\int 5x^{2}dx+\int 6dx\\&=&\int x^{3}dx+5\int x^{2}dx+\int 6dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}+\frac{5x^{3}}{3}+6x+c\end{array}

    14) \(\int (\frac{6}{\sqrt{x}}+8\sqrt{x})dx\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\int (\frac{6}{\sqrt{x}}+8\sqrt{x})dx&=&\int 6x^{-\frac{1}{2}}dx+\int 8x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&6\int x^{-\frac{1}{2}}dx+8\int x^{\frac{1}{2}}dx\\&=&12x^{\frac{1}{2}}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}+c\\&=&12\sqrt{x}+\frac{16}{3}x\sqrt{x}+c\end{array}


    2. ถ้า \(f^{\prime}(x)=x\) และ \(f(x)=2\) แล้ว จงหา \(f(x)\)

    วิธีทำ  กำหนดให้ \(\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)=x\)

    จะได้

    \begin{array}{lcl}\int\frac{dy}{dx}dx&=&\int xdx\\y&=&\int xdx\\y&=&\frac{x^{2}}{2}+c\end{array}

    จะได้ \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}+c\)

    เนื่องจาก \(f(2)=2\)

    จะได้ 

    \begin{array}{lcl}2&=&\frac{2^{2}}{2}+c\\c&=&0\end{array}

    ดังนั้น \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}\)


    3. จงหาสมการเส้นโค้ง \(y=f(x)\)  เมื่อกำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆและจุดที่เส้นโค้งผ่านดังนี้

    1) \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\) จุด \((2,1)\)

    วิธีทำ  เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด \((x,y)\) คือ \(x^{2}-3x+2\)

    นั่นคือ

    \begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&x^{2}-3x+2\end{array}

    จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&\int (x^{2}-3x+2)dx\\y&=&\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\end{array}

    ดังนั้น สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\)

    แต่เส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((2,1)\) นั่นคือ เมื่อ \(x=2\) จะได้ \(y=1\)

    แทนค่า \(x\) ด้วย \(2)\) และแทน \(y\) ด้วย \(1\) ในสมการ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+c\) จะได้

    \begin{array}{lcl}1&=&\frac{2^{3}}{3}-\frac{3}{2}(2^{2})+2(2)+c\\c&=&\frac{1}{3}\end{array}

    ดังนั้น สมการเส้นโค้งดังกล่าวคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+\frac{1}{3}\)

    2) \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\)  จุด \((0,5)\)

    วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ คือ \(2x^{3}+4x\)

    นั้นคือ \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\)

    จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&\int (2x^{3}+4x)dx\\y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\end{array}

    ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\)

    แต่เส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((0,5)\) นั่นคือ เมื่อ \(x=0\) จะได้ \(y=5\)

    แทน \(x\) ด้วย \(0\) และแทน \(y\) ด้วย \(5\) ในสมการ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+c\)  จะได้ \(c=5\)

    ดังนั้น สมการเส้นโค้งดังกล่าวคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+5\)6


    4. จงหาความเร็ว \(v(t)\) และตำแหน่งของวัตถุ \(s(t)\) ขณะเวลา \(t\) ใดๆ เมื่อกำหนดความเร่ง \(a(t)\) และตำแหน่งของวัตถุเมื่อ \(t=0\) ดังนี้

    1) \(a(t)=6-2t,\quad 0\leq t\leq 3,\quad v(0)=5,k\quad s(0)=0\)

    วิธีทำ จาก \(\frac{dv}{dt}=a(t)=6-2t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)

    จะได้

    \begin{array}{lcl}\int\frac{dv}{dt}dt&=&\int(6-2t)dt\\v&=&6t-t^{2}+c_{1}\end{array}

    จาก\(v(0)=5\) จะได้ \(c_{1}=5\)

    ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(v(t)=-t^{2}+6t+5\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)

    จาก \(\frac{ds}{dt}=v(t)=-t^{2}+6t+5\)

    จะได้ \begin{array}{lcl}\int\frac{ds}{dt}dt&=&\int (-t^{2}+6t+5)dt\\s&=&-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t+c_{2}\end{array}

    จาก \(s(0)=0\) จะได้ \(c_{2}=0\)

    ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(s(t)=-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)


    5.โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที

    กำหนดให้ \(g=9.8  เมตร/วินาที^{2}\) จงหา

    1) สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้

    วิธีทำ โยนวัตถุขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่ง \(a=-g=-9.8 เมตร/วินาที^{2}\)

    หรือ \(a=\frac{dv}{dt}=-9.8\)

    จะได้ \(\int\frac{dv}{dt}dt=\int -9.8dt\)

    ดังนั้น \(v=-9.8t+c_{1}\)

    โยนวัตถูขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที

    นั่นคือ ขณะ \(t=0\) และ \(v=98\)

    จาก \(v=-9.8t+c_{1}\)

    จะได้ \(c_{1}=98\)

    ดังนั้น \(v=-9.8t+98\)

    จาก \(\frac{ds}{dt}=\int (-9.8t+98)dt\)

    ดังนั้น \(s=-4.9t^{2}+98t+c_{2}\)

    เมื่อ \(t=0\) จะได้ \(s=0\) และ \(c_{2}=0\)

    ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ \(s=-4.9t^{2}+98t\)

    2) วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด

    วิธีทำ วัตถุขึ้นสูงสุด เมื่อ \(v=0\)

    จาก \(v=-9.8t+98\)

    จะได้

    \begin{array}{lcl}0&=&-9.8t+98\\t&=&10\end{array}

    ดังนั้น วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไป 10 วินาที


    6.จากการทดลองเพาะเชื้อปรสิตในจานเพาะเชื้อ พบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนปรสิต (มีหน่วยเป็นตัวต่อสัปดาห์)  ณ เวลา \(t\) สัปดาห์ คือ \(\frac{d N(t)}{dt}=1200t^{2}-15t\)  จงหาจำนวนปรสิต ณ เวลา \(t\) ใดๆ เมื่อกำหนดให้จำนวนปรสิตเริ่มต้นคือ 600 ตัว

    วิธีทำ  จากโจทย์จะเห็นว่า เขากำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนแบคทีเรีย ณ เวลา \(t\) ใดๆ มาให้ ก็คือกำหนด \(\frac{d N(t)}{dt}\) มาให้  แต่โจทย์ให้เราหาจำนวนแบคที่เรียน ณ เวลา \(t\) ใดๆ นั่นคือเขาให้เราหา \(N(t)\) ในเวลา \(t\) ใดๆ นั่นเอง จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}N(t)&=&\int\frac{d N(t)}{dt}dt\\&=&\int (1200t^{2}-15t^{4})dt\\&=&\frac{1200t^{3}}{3}-\frac{15t^{5}}{5}+c\\&=&400t^{3}-3t^{5}+c\end{array}

    โจทย์บอกมาอีกว่า จำนวนปรสิต เริ่มต้นคือ 600 ตัว จากตรงนี้เราได้ว่า \(N(0)=600\) เรานำตรงนี้ไปหาค่า \(c\) จะได้

    \begin{array}{lcl}N(t)&=&400t^{3}-3t^{5}+c\\N(0)&=&400(0)^{3}-3(0)^{5}+c\\600&=&c\\c&=&600\end{array}

    ตอนนี้เราได้ค่าของ \(c\) แล้ว นั่นคือจำนวนปรสิต ณ เวลา \(t\) ใดๆคือ

    \(N(t)=400t^{3}-3t^{5}+600\) นั่นเองครับ


    7. อัตราการเปลี่ยนแปลงของการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัย (มีหน่วยเป็นล้านล้านบีทียูต่อปี) ในปีที่ \(x\) นับจาก ค.ศ. 2000 สามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน \(f(x)=2.17x^{2}-9.74x+19.956\)  โดยที่ \(15\leq x\leq 40\) จงหาการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัยทั้งหมดตั้งแต่ ค.ศ. 2015 ถึง 2040

    วิธีทำ  โจทย์กำหนดอัตราเปลี่ยนแปลงการใช้พลังงานมาให้ ดังนั้นถ้าเราอยากรู้ ฟงก์ชันการใช้พลังงานในบ้าน เราต้องเอาอัตราการเปลี่ยนแปลงการใช้พลังงานภายในบ้านมาอินทิเกรต

    กำหนดให้ \(F(x)\) คือ การใช้พลังงานภายในบ้าน ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}F(x)&=&\int f(x) dx\\&=& \int(2.17x^{2}-9.74x+19.956)dx\\&=&\frac{2.17}{3}x^{3}-4.87x^{2}+19.956x+c\end{array}

    โจทย์ให้หาการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัยทั้งหมดตั้งแต่ ค.ศ.2015 ถึง  2040 นั่นก็คือให้เราหา \(F(40)-F(15)\) นั่นเองคับ  ได้ว่า

    \(F(40)=\frac{2.17}{3}(40)^{3}-4.87(40)^{2}+19.956(40)+c=39,299.57+c\)

    \(F(15)=\frac{2.17}{3}(15)^{3}-4.87(15)^{2}+19.956(15)+c=1,644.84+c\)

    นั่นคือ พลังงานรวมที่บ้านอยู่อาศํยใช้ตั้งแต่ ค.ศ.2015-2040 คือ

    \(F(40)-F(15)=37,654.73\) ล้านล้านบีทียู