• ความชันของเส้นโค้ง

    ความชันของเส้นโค้ง เราเคยหาความชันของเส้นตรงมาแล้วใช้ไหม ถ้าใครไม่เคยให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ก่อนความชันของเส้นตรง ซึ่งจะเห็นว่าการหาความชันของเส้นตรงนั้นเราต้องอาศัยจุดสองจุด ก็คือรู้จุดสองจุดสามารถหาความชันได้ครับ  ดูรูปประกอบ

    แต่ถ้าเป็นเส้นโค้ง ดูรูปประกอบนะ  เราจะหาความชันของเส้นโค้งไม่ได้ครับถ้าเราเลือกจุดมาเหมือนกับเส้นตรงแล้วมาหาความชันจะได้ความชันไม่เท่ากันแน่นอนครับ ดังนั้นเราจึงมีวิธีการหาความชันของเส้นโค้งซึ่งจะเริ่มศึกษากันในบทความนี้ครับ

    เริ่มกันเลยครับ

    กำหนดให้ \(L\) เป็นเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\)  ต่อไปจะอาศัยความรู้เรื่องลิมิตในการหาความชันของเส้นตรง \(L\)

    กำหนดให้เส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=f(x)\)

    \(P(a,b)\)  และ  \(Q(a+h,b+k)\)  เป็นจุดบนเส้นโค้ง โดยที่ \(h\neq 0\)  ดังรูปที่ 3

    ลากส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  เรียกส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  ว่าเส้นตัดกราฟ

    ความชันของส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  คือ  \(\frac{(b+k)-b}{(a+h)-a}=\frac{k}{h}\)

    เนื่องจาก  \(b+k=f(a+h)\)  และ  \(b=f(a)\) 

    ดังนั้นความชันของส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  คือ  \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

    นั่นคือ  \(\frac{h}{k}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

    เลือกจุด \(Q_{1}\) บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\) และ  \(Q\)

    เลือกจุด \(Q_{2}\)  บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\)  และ \(Q_{1}\)

    เลือกจุด \(Q_{3}\)  บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\)  และ \(Q_{2}\)

    ทำอย่างนี้เรื่อยๆครับจะเห็นได้ว่าจนถือได้ว่า  \(Q_{n}\)  เกือบทับจุด \(P\)

    และเส้นตัดกราฟ \(PQ_{n}\) เกือบจะทับกันเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\)

    ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\) เท่ากับ \(\displaystyle\lim_{h\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  (ถ้าหาค่าลิมิตได้)

    ความชันของเส้นโค้ง ณ  จุดสัมผัส \(P(x,y)\)  หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ  จุด \(P\)

     

    ต่อไปเรามาดูโจทย์เกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งกันครับ

    1. จงหาความชันของเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของสมการ \(y=\frac{1}{x}\) ที่จุด \((3,1)\)

    วิธีทำ  ความชันของเส้นโค้ง ที่จุด \(P(x,y)\) ใดๆ  หาได้จาก

    \(\displaystyle\lim_{h\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  จุด \(P\)  ในข้อนี้มีพิกัดคือ \((3,1)\)  ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3-h)-f(3)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-h}{3(3+h)h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-1}{3(3+h)}\\&=&-\frac{1}{9}\end{array}


    2. ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=x-2x^{2}\)  จงหา

    1)  ความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)

    2)  สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)

    วิธีทำ ทำข้อ 1)  ก่อนครับทำเหมือนเดิมเลย 

    ความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\) หาได้จาก \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)-2(1+h)^{2}-(1-(2)1^{2})}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-3h-2h^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(-3-2h)\\&=&-3\end{array}

    ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)  คือ \(-3\)

    ต่อไปทำข้อ 2)  ครับ จากข้อหนึ่งเราจะได้ว่าเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(-3\)  และ จุด \((1,-1)\) เป็นจุดบนเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งครับจากที่เรารู้มาแล้วว่าสมการเส้นตรงคือ

    \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

    เมื่อ \((x_{1},y_{1})\)  คือจุดบนเส้นตรงในที่นี้ก็คือ  \((1,-1)\) ครับ ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งหรือว่าสมการเส้นตรงนี้ก็คือ

    \[y-(-1)=(-3)(x-1)\]

    จัดรูปให้สวยๆหน่อยๆจะได้

    \[y+1=3-3x\]

    จัดให้สวยขึ้นไปอีกจะได้

    \[y=2-3x\]


    3. จงหาความชันของเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดให้และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น

    1) \(y=x^{2}-3x\)  ที่จุด \((3,0)\)

    วิธีทำ  ข้อนี้เราจะหาความชันของเส้นโค้งโดยนิยามก่อนนะครับยังไม่ใช้การดิฟครับ เราจะได้ความชันของเส้นโค้งตามนิยามคือ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^{2}-3(3+h)-(3^{2}-3(3))}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9+6h+h^{2}-9-3h-9+9}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}+3h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(h+3)\\&=&3\end{array}

    ต่อไปหาสมการที่สัมผัสเส้นโค้งในจุด \((3,0)\)  ความชันของเส้นโค้งที่เราได้มานั้นก็คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนั่นเอง ดังนั้น เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ \(3\) เมื่อเรารู้ความชัน และรู้จุดหนึ่งจุดซึ่งก็คือ \((3,0\) อยู่บนเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง เราก็สามารถหาสมการเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนั้นได้ ซึ่งก็คือ

    \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

    \[y-0=3(x-3)\]

    จัดรูปนิดหนึ่งจะได้

    \[y=3x-9\]

    ต่อไปผมจะไม่หาความชันของเส้นโค้งตามนิยามแล้วนะครับเพราะว่ามันยาวไป ผมจะใช้วิธีการดิฟเอาครับ พอดิฟเสร็จ สมมติเราต้องการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \((a,b)\)  เราก็เอา \(a\)  ไปแทนในตัวแปร x ที่เราดิฟเอาไว้เราก็จะได้ความชันของเส้นโค้งในจุด \((a,b)\)  ครับ ฟังแล้วอาจจะงงเริ่มทำเลยดีกว่าครับ

    2) \(y=\frac{6}{x+1}\)  ที่จุด \((2,2)\)

    วิธีทำ ดิฟเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{6}{x+1})\\&=&\frac{(x+1)(0)-(6)(1+0)}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{-6}{(x+1)^{2}}\end{array}

    ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \((2,2)\)  คือ \(\frac{-6}{(2+1)^{2}}=\frac{-2}{3}\)

    ต่อไปหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง เนื่องจากความชันเส้นโค้งก็คือความชันของเส้นตรงที่สมผัสเส้นโค้ง และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \((2,2)\)  เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้มีสมการเป็น

    \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

    \[y-2=-\frac{2}{3}(x-2)\]  

    จัดสมการนิดหน่อยจะได้

    \[y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}+2\]

    \[y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}\]


    2. ถ้ากราฟของ \(y=ax\) ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของ \(y=3x^{2}+8\)  ที่จุด \((1,11)\) จงหาค่าของ \(a\)

    วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากครับ เราก็แค่ดิฟสมการเส้นโค้งก็จะได้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง อย่าลืมนะครับเส้นสัมผัสเส้นโค้งก็คือเส้นตรงนั่นเองครับและเส้นตรงนี้ขนานกับ กราฟของ \(y=ax\)  ซึ่ง \(y=ax\) ก็คือสมการเส้นตรงนั่นเอง ดังนั้นมันขนานกันความชันย่อมเท่ากัน เริ่มดิฟเลย

    \begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&6x\end{array}

    ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ  \(6(x)=6(1)=6\)   

    นั่นคือ \(a=6\)  นั่นเอง


    3.จงหาสมการเส้นโค้ง \(y=f(x)\) เมื่อกำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆและจุดที่เส้นโค้งผ่านดังนี้

    1) \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\)  จุด \((2,1)\)

    วิธีทำ  เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ คือ

     \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\) ดังน้น สมการเส้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}\int{\frac{dy}{dx}}&=&\int{(x^{2}-3x+2)}dx\\y&=&\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\end{array}

    จะได้สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\)

    ต่อไปหาค่า \(C\) เนื่องจากเส้นโค้งผ่านจุด \((2,1)\) ดังแทน \(x\) ด้วย 2  และแทน \(y\) ด้วย 1 ลงไปในสมการเส้นโค้งเพื่อหาค่า \(C\) จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\\1&=&\frac{2^{3}}{3}-3\frac{2^{2}}{2}+2(2)+C\\1&=&\frac{8}{3}-6+4+C\\C&=&\frac{1}{3}\end{array}

    เมื่อเราได้ค่า \(C\) แล้ว ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ

    \(y=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+\frac{1}{3}\)


    2) \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) จุด \((0,5)\)

    วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ

    \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}\int{\frac{dy}{dx}}&=&\int{(2x^{3}+4x}\\y&=&2\frac{x^{4}}{4}+4\frac{x^{2}}{2}\\y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\end{array}

    จะได้สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\) ต่อไปก็ทำเหมือนข้อข้างบนคือหาค่า \(C\) ครับผม ก็เส้นโค้งเส้นนี้ผ่านจุด  \((0,5)\) ดังนั้นแทน \(x\) ด้วย 0 และแทน \(y\) ด้วย 5 ลงไปในสมการเส้นโค้งจะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\\5&=&\frac{0^{4}}{2}+2(0)+C\\C&=&5\end{array}

    ดังนั้น

    สมการเส้นโค้งคือ

    \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+5\)


    สรุป เกี่ยวกับความชันเส้นโค้งนิดหนึ่งนะครับ 

     ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=f(x)\) เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P(x,y)\) ใดๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \(P\) และมีความชันเท่ากับ \(y^{\prime}\) 

    ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \(P(x,y)\) หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด \(P\)

    ข้อความข้างบนถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆก็คือ  ถ้าเราเอาสมการเส้นโค้งมาดิฟ ค่าที่ดิฟได้จะเป็นความชันของเส้นโค้งนั้นและความชันนี้ยังเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งด้วย  

    ต่อไปลองไปทำโจทย์ที่มันหลากหลายกว่าเดิมครับผม

    1. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(x^{2}-y^{2}=7\) ณ จุดสัมผัส \((4,3)\) 

    วิธีทำ จากสมการเส้นโค้งที่เขากำหนดมากให้คือ \(x^{2}-y^{2}=7\) จัดสมการให้อยู่ในรูป \(y=f(x)\) เพื่อที่จะดิฟง่ายๆหน่อย

    \begin{array}{lcl}x^{2}-y^{2}&=&7\\y^{2}&=&x^{2}-7\\y&=&(x^{2}-7)^{1/2}\end{array}

    ต่อไปหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งโดยการนำสมการเส้นโค้งมาดิฟ จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&(x^{2}-7)^{1/2}\\y^{\prime}&=&\frac{1}{2}(x^{2}-7)^{-1/2}\cdot 2x\\&=&x(x^{2}-7)^{-1/2}\end{array}

    เนื่องเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((4,3)\) ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเสั้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}y^{\prime}&=&x(x^{2}-7)^{-1/2}\\&=&4(4^{2}-7)^{-1/2}\\&=&(4)\cdot 9^{-1/2}\\&=&\frac{4}{3}\end{array}

    ดังนั้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ \(\frac{4}{3}\)

    ต่อไปเราก็หาสมการของเส้นสัมผัสเสันโค้งนี้ อย่าลืมนะเส้นสัมผัสเส้นโค้งจะเป็นเส้นตรง ซึ่งสมการเส้นตรงก็คือ

    \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) เรารู้ว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ \(\frac{4}{4}\) ดังนั้น \(m=\frac{4}{3}\) และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \(4,3\) ดังนัั้นต้องแทน \(x_{1}=4\) และแทน \(y_{1}=3\) จึงได้สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งเป็น

    \begin{array}{lcl}y-3&=&\frac{4}{3}(x-4)\\3(y-3)&=&4(x-4)\\3y-9&=&4x-16\\3y-4x+7&=&0\end{array}

    ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ\(3y-4x+7=0\)


    2.ถ้าความชันของเส้นสัมผัสซึ่งสัมผัสกราฟ \(y=5x^{2}+cx\)  ที่จุด \((3,-12)\) มีค่าเท่ากับ \(8\) แล้ว \(c\) มีค่าเท่าใด

    วิธีทำ  เรานำเส้นโค้งมาดิฟหรือมาหาอนุพันธ์กันเลยเพื่อที่จะได้ความชันออกมา  เริ่มทำเลย

    \begin{array}{lcl}y&=&5x^{2}+cx\\y^{\prime}&=&10x+c\end{array}

    เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเท่ากับ 8 จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}10x+c&=&8\end{array}  และสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด \((3,-12)\) ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}10x+c&=&8\\10(3)+c&=&8\\30+c&=&8\\c&=&-22\quad \underline{Ans}\end{array} 


    3.จุดบนเส้นโค้ง \(y=x^{2}-3x-4\) ที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ \(1\) มีค่าเท่าใด

    วิธีทำ หาจุด\((x,y)\) ใดๆบนเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ \((1)\) ซึ่งเรารู้ว่าความชันของเส้นสัมผัสจะเท่ากับความชันของเส้นโค้งในจุดสัมผัส ซึ่งความชันของเส้นโค้งก็หาได้จากการดิฟสมการเส้นโค้ง นะคับดิฟเลย

    \begin{array}{lcl}y=x^{2}-3x-5\\\frac{dy}{dx}&=&2x-3\\1&=&2x-3\\x&=&2\end{array}

    ดังนั้นเรารู้ค่า\(x=2\) ดังนั้นเอาไปแทนค่าในสมการเส้นโค้งเพื่อหาค่า \(y\) ต่อจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-3x-4\\y&=&2^{2}-3(2)-4\\y&=&-6\end{array}

    ดังนั้นจุดบนเส้นโค้งคือ \((2,-6)\)


    4. เส้นตรง \(L_{1}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(y=\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}-2x+5\) ที่จุด \((-2,\frac{35}{3})\) ถ้าเส้นตรง \(L_{2}\) ตั้งฉากกับเส้นตรง \(L_{1}\) ที่จุด \((0,\frac{23}{3})\) แล้ว จงหาสมการของเส้นตรง \(L_{2}\) 

     วิธีทำ หาความชันของเส้นตรง \(L_{1}\) ก่อนนะคับ หาได้จากการดิฟสมการเส้นโค้งที่จุดสัมผัสนั่นแหละจะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}-2x+5\\\frac{dy}{dx}&=&2x^{2}+4x-2\end{array} แทน \(x\) ด้วย \(-2\) ลงไปสมการเส้นโค้งที่เราดิฟก็จะได้ความชันของเส้นตรง \(L_{1}\)ออกมาครับ ได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&2x^{2}+4x-2\\&=&2(-2)^{2}+4(-2)-2\\&=&-2\end{array}

    ดังนั้น เส้นตรง \(L_{1}\) มีความชันเท่ากับ \(-2\) และเส้นตรง \(L_{1}\) ผ่านจุด \((-2,\frac{35}{3})\) ดังนั้นเส้นตรง \(L_{1}\) จึงมีสมการคือ

    \begin{array}{lcl}L_{1}: y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-\frac{35}{3}&=&(-2)(x+2)\\y-\frac{35}{3}&=&-2x-4\\3y-35&=&-6x-12\\3y+6x-23&=&0\end{array}

    นั่นก็คือ สมการเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(3y+6x-23=0\) ความจริงสมการเส้นตรง \(L_{1}\) ไม่ต้องหาออกมาก็ได้นะ ผมดูโจทย์ผิดนึกว่าให้หาสมการเส้นตรง \(L_{1}\) 

    เขาให้หาสมการเส้นตรง \(L_{2}\) ซึ่งเส้นตรงนี้ตั้งฉากกับเส้นตรง \(L_{1}\) ซึ่งเส้นตรงที่ตั้งฉากกันเอาความชันมาคูณกันจะได้เป็น \(-1\)  ดังนั้นเราจึงได้ว่า เส้นตรง \(L_{2}\) มีความชันเท่ากับ \(2\) และเส้นตรง \(L_{2}\) นี้ผ่านจุด \((0,\frac{23}{3})\) ดังนั้น เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการเป็น

    \begin{array}{lcl}L_{2}:y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-\frac{23}{3}&=&2(x-0)\\3y-23&=&6x\\3y-6x-23&=&0\end{array}

    ดังนั้น เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการคือ \(3y-6x-23=0\)

    ต่อไปมาดูโจทย์เกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งในหนังสือของ สสวท. บ้าง ผมจะทำให้ดูแค่บางข้อพอเป็นตัวอย่างให้ดูเท่านั้นนะคับ เพื่อจะได้ทำข้ออื่นได้

    1. จงหาความชันของเส้นโค้งต่อไปนี้ ณ จุดที่กำหนดให้  และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น

    1)  \(y=x^{2}-3x\) ที่จุด \((3,0)\)

    วิธีทำ 

    \begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-3x\\\frac{dy}{dx}&=&2x-3\end{array}

    ดังนั้น ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (3,0)  คือ \(2(3)-3=3\) 

    ต่อไปเราได้อีกว่า เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด (3,0) ก็มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย 

    ดังนั้น สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-0&=&3(x-3)\\y&=&3x-9\end{array}

    เดี๋ยวผมจะวาดกราฟให้ดูประกอบนะคับ จะได้กราฟ ของเส้นโค้ง และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (3,0) แบบนี้

    2) \(y=5x^{2}-6\)  ที่จุด (2,14)

    วิธีทำ  ทำเหมือนกันกับข้อข้างบนครับ

    \begin{array}{lcl}y&=&5x^{2}-6\\\frac{dy}{dx}&=&10x\end{array}

    ดังนั้น

    เส้นโค้งนี้มีความชันที่จุด (2,14) เท่ากับ 10(2)=20

    เรายังได้อีกว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด (2,14) ก็มีความชันเท่ากับ 20 เช่นเดียวกัน

    ดังนั้น สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-14&=&20(x-2)\\y-14&=&20x-40\\y&=&20x-26\end{array}

    เดี๋ยวผมจะวาดกราฟให้ดูประกอบนะคับ จะได้กราฟ ของเส้นโค้ง และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (2,14) แบบนี้

    3) \(y=x-x^{2}\)  ที่จุดซึ่ง \(x=\frac{1}{2}\)

    วิธีทำ  ทำเหมือนกันกับข้อข้างบนเลย แต่ข้อนี้เขาให้แค่พิกัด \(x\) คือ \(\frac{1}{2}\) เราต้องหาพิกัด \(y\) เองนะคับ ไปดูต่อกันเลย

    \begin{array}{lcl}y&=&x-x^{2}\\\frac{dy}{dx}&=&1-2x\end{array}

    ดังนั้นที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(1-2\frac{1}{2}=0\) ความชันที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) มีค่าเป็น 0 แสดงว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(x=\frac{1}{2}\) มีความชันเท่ากับ 0 ด้วย หรือก็คือ เส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ขนานกับแกน \(X\) นั่นเองครับ หรือก็คือสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีสมการอยู่ในรูป \(y=c\) นั่นเองนะ มองภาพออกไหมเอ่ย  เราก็หาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งกันเลย ก็คือ เอาค่า \(x=\frac{1}{2}\) ไปแทนในสมการเส้นโค้ง \(y=x-x^{2}\) จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&x-x^{2}\\&=&\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^{2}\\&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}

    สรุปก็คือ

    เส้นโค้ง \(y=x-x^{2}\) ที่จุดซึ่ง \(x=\frac{1}{2}\) มีความชันเท่า 0 นั่นเองครับ

    และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด \(x=\frac{1}{2}\) มีสมการเป็น \(y=\frac{1}{4}\) นั่นเองครับ ดูรูปประกอบด้านล่างได้เลยคับ


    2. กำหนดให้ \(f(3)=-1\) และ \(f^{\prime}(3)=5\) จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่ \(x=3\)

    วิธีทำ โจทย์ข้อนี้ไม่ได้ให้ความรู้ประโยชน์อะไรเลย เป็นการเล่นลิ้นเล่นคำของผู้ออกโจทย์เฉยๆ

    จากโจทย์เขาให้หาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่ \(x=3\) หรือความหมายอีกอย่างของประโยคนี้ก็คือเส้นสัมผัสเส้นโค้งเส้นนี้มันวิ่ง่ผ่านจุด \(x=3\) 

    และโจทย์บอกอีกว่า \(f^{\prime}(3)=5\) ประโยคนี้มันบอกเราว่าเส้นโค้งนี้มีความชันที่จุด \(x=3\) เท่ากับ 5  เส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีวิ่งผ่านจุด \(x=3\) ด้วย แสดงว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ก็มีความชันเท่ากับ 5 เหมือนกัน

    และอีกประโยคหนึ่งที่โจทย์บอกว่า \(f(3)=-1\) ความหมายก็คือ ถ้า \(x=3\) จะได้ค่า \(y=-1\)

    สรุปก็คือ

    เจ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ 5 และมีวิ่งผ่านจุด \((3,-1)\) ดังนั้นสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้คือ

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-(-1)&=&5(x-3)\\y+1&=&5x-15\\y&=&5x-16\end{array}


    3. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชันเป็น 3 และสัมผัสเส้นโค้ง \(y=-x+x^{2}\) ที่จุด \((a,b)\) แล้ว จงหา \(a\) และ \(b\)

    วิธีทำ ข้อนี้ลองวาดกราฟดูนะคับจะได้มองเห็นภาพ ใครจะวาดกราฟไปวาดตามลิงค์นี้ได้เลยนะคับ วาดกราฟออนไลน์โดยใช้ Geogebra วาดออกมาได้คร่าวๆประมาณนี้คับ 

    ขั้นตอนแรกให้เราไปหาความชันของเส้นโค้งที่จุด \(a\)  ซึ่งจะได้

    \begin{array}{lcl} f(x)&=&-x+x^{2}\\f^{\prime}(x)&=&-1+2x\\\text{ดังนั้น}\quad \text{ความชันเส้นโค้ง ณ จุด a}\\f^{\prime}(a)&=&-1+2(a)\end{array}

    เนื่องจากเส้นตรงนี้ผ่านจุด \(a\) และมีความชันเท่ากับ 3 จึงทำให้ได้ว่าความชันของเส้นโค้งที่จุด \(a\) ก็มีความชันเท่ากับ 3 ด้วยนั่นคือ

    \(2a-1=3\)  ดังนั้น 

    \begin{array}{lcl}2a-1&=&3\\2a&=&3+1\\a&=&\frac{4}{2}\\a&=&2\end{array}

    ตอนนี้เราได้ ค่า \(a=2\) แล้วนะคับ ต่อไปเราก็คือค่าของ \(b\) ถ้าเราดูดีๆเนียะจะเห็นว่าคู่อันดับ \((a,b)\)  ก็คือ

    \(a\) ก็คือพิกัด \(x\)

    \(b\) ก็คือพิกัด \(y\)

    ดังนั้น ถ้าเราอยากรู้ค่า \(b\) ก็คืออยากรู้ค่า\(y\) นั่นเอง จากสมการเส้นโค้ง

    \(y=-x+x^{2}\)  แทน \(2\) ลงไปใน \(x\) จะได้

    \begin{array}{lcl}y&=&-x+x^{2}\\&=&-2+2^{2}\\&=&-2+4\\&=&2\end{array}

    นั่นคือ \(b=2\) นั่นเองคับ

    คำตอบของข้อนี้คือ \(a=2\)  และ \(b=2\) นั่นเองคับ


    4. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) และขนานกันเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=x^{3}\) ที่จุด \((1,1)\)

    วิธีทำ   ลองวาดกราฟคร่าวๆนะคับ การวาดกราฟทำโจทย์ไม่ต้องวาดให้ถูกต้อง 100% ก็ได้นะ วาดพอให้มองเห็นสถานการณ์ที่โจทย์ถามจะได้กราฟ ดังรูปด้านล่าง

    ขั้นตอนแรกหาความชันของเส้นโค้งที่จุด \(1,1)\) ก่อนคับ จะได้ว่า

    \begin{array}f(x)&=&x^{3}\\f^{\prime}(x)&=&3x^{2}\\ \text{ดังนั้น ณ จุด (1,1) เส้นโค้งมีความชัน}\\f^{\prime}(1)&=&3(1)^{2}\\&=&3\end{array}

    เนื่องจากเส้นสัมเส้นโค้งผ่านจุด \((1,1)\) ดังนั้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย จึงทำให้เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีความชันเท่ากับ 3 ด้วย เพราะสองเส้นนี้มีขนานกัน  ดังนั้น ตอนนี้เรารู้ว่า เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีความชันเท่ากับ 3 นั่นคือเราสามารถนำข้อมูลนี้ไปหาสมการเส้นตรงนี้ได้ด้วย

    จากสมการเส้นตรงมีรูปแบบสมการคือ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) จะได้

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-3&=&3(x-2)\\y-3&=&3x-6\\y&=&3x-6+3\\y&=&3x-3\end{array}

    นั้นคือ เส้นตรงที่ผ่านจุด \((2,3)\) มีสมการคือ \(y=3x-3\)

  • ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (65)

    65. สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=\sqrt[3]{x^{2}+2}\) ที่จุด \(x=5\) คือข้อใดต่อไปนี้

    1. \(10x-27y+31=0\)
    2. \(5x-13y+14=0\)
    3. \(27x-10y-105=0\)
    4. \(13x-5y-50=0\)

    วิธีทำ ข้อนี้อยากให้พวกเราไปอ่านเรื่องนี้ก่อน ความชันของเส้นโค้ง  ซึ่งข้อสรุปในการหาความชันเส้นโค้งคือ เอาสมการเส้นโค้งมาดิฟ เมื่อดิฟออกมาแล้วสิ่งที่ได้คือ เป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส ดังรูปด้านล่าง แต่เวลาทำข้อสอบจริงๆไม่มีรูปให้ดูนะคับ ผมเอามาให้ดูเพื่อความเข้าใจยิ่งขึ้น  แต่ที่แน่ๆ ต้องดิฟให้เป็น โดยเฉพาะการดิฟรูท

    เริ่มทำกันเลย ดิฟสมการเส้นโค้งเพื่อหาความชันของเส้นสัมผัส

    \begin{array}{lcl}y&=&\sqrt[3]{x^{2}+2}\\y&=&(x^{2}+2)^{\frac{1}{3}}\\y^{\prime}&=&\frac{1}{3}(x^{2}+2)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x\\y^{\prime}&=&\frac{2x}{3(x^{2}+2)^\frac{2}{3}}\\x=5\\y^{\prime}&=&\frac{2(5)}{3(27)^{2/3}}\\y^{\prime}&=&\frac{10}{27}\end{array}

    นั่นก็คือที่จุด \(x=5\) เส้นสัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(\frac{10}{27}\)  และที่จุดนี้มีค่า \(y\) คือ

    \begin{array}{lcl}y&=&\sqrt[3]{x^{2}+2}\\y&=&\sqrt[3]{27}\\y&=&3\end{array}

    นั่นก็คือ ที่จุด \(x=5,\quad y=3\) เส้นสัมผัสเส้นเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(\frac{10}{27}\) ซึ่งมีสมการคือ 

    \begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-3&=&\frac{10}{27}(x-5)\\27(y-3)&=&27\times \frac{10}{27}(x-5)\\27y-81&=&10(x-5)\\27y-10x-81+50&=&0\\27y-10x-31&=&0\\10x-27y+31&=&0\quad\underline{Ans}\end{array}

  • เฉลย Pat 1 แคลคูลัส (ดิฟ)

    1. ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ \(f(2x+1)=4x^{2}+14x\) ค่าของ \(f\left(f'(f''(2553))\right)\) เท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ ข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้เจอ แล้วก็หาอนุพันธ์หรือว่าดิฟก็จะได้คำตอบคับ แต่ก็หา \(f(x)\) อาจจะต้องใช้แรงเยอะหน่อย

    จาก \(f(2x+1)=4x^{2}+14x\quad\cdots (1)\) 

    กำหนดให้ \(A=2x+1\)  จะได้ \(2x=A-1\) 

    เราจะเห็นว่า \(4x^{2}=(2x)^{2}=(A-1)^{2}=A^{2}-2A+1\)

    \(14x=7(2x)=7(A-1)=7A-7\)

    เราเอาค่าที่เราได้ตรงนี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) เลย จะได้

    \begin{array}{lcl}f(2x+1)&=&4x^{2}+14x\\f(2x+1)&=&(2x)^{2}+7(2x)\\f(A-1+1)&=&(A-1)^{2}+7(A-1)\\f(A)&=&A^{2}-2A+1+7A-7\\f(A)&=&A^{2}+5A-6\end{array}

    ตอนนี้เราได้

    \(f(A)=A^{2}+5A-6\)  ดังนั้น

    \(f(x)=x^{2}+5x-6\)  ซึ่งจะได้ \(f(9)=9^{2}+5(9)-6=81+45=120\)

    \(f'(x)=2x+5\)  ซึ่ง \(f'(2)=2(2)+5=9\)

    \(f''(x)=2\)  ซึ่งจะเห็นได้ว่าอนุพันธ์อันดับสองของ \(f\) มีค่าเท่ากับ 2  เสมอ ไม่ว่า \(x\) จะเป็นอะไรก็ตาม ดังนั้น \(f''(2553)=2\) ซึ่งเราจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}f(f'(f''(2553)))&=&f(f'(2))\\&=&f(9)\\&=&120\end{array}


    2.กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(g:R\to R\)  เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย \(g(x)=\frac{1}{2x+3}\) เมื่อ \(x\neq -\frac{3}{2}\)  ถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชันที่ \((f\circ g)(x)=x\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) แล้ว \(f''(\frac{1}{2})\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(-\frac{1}{2}\)
    2. \(\frac{1}{2}\)
    3. \(-8\)
    4. \(8\)

    วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจากโจทย์ให้หา \(f''(\frac{1}{2})\) ดังนั้นเราต้องหา \(f(x)\) ให้ได้ก่อน

    เริ่มจาก

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x\\f(g(x))&=&x\\f(\frac{1}{2x+3})&=&x\quad \cdots (1)\end{array}

    ทิ้งสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน มาดูตรงนี้ก่อน

    ให้ \(A=\frac{1}{2x+3}\) จะได้

    \begin{array}{lcl}A&=&\frac{1}{2x+3}\\so\\2x+3&=&\frac{1}{A}\\and\\2x&=&\frac{1}{A}-3\\x&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\end{array}

    ตอนนี้เราได้ว่า

    \(A=\frac{1}{2x+3}\)

    \(x=\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\)  เอาตรงนี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

    \begin{array}{lcl}f(\frac{1}{2x+3})&=&x\\f(\frac{1}{\frac{1}{A}})&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\f(A)&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\so\\f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{3}{2}\\f(x)&=&\frac{x^{-1}}{2}-\frac{3}{2}\\so\\f'(x)&=&-\frac{1}{2}x^{-2}\\so\\f''(x)&=&x^{-3}\\f''(x)&=&\frac{1}{x^{3}}\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(f''(x)=\frac{1}{x^{3}}\) จึงได้คำตอบว่า

    \(f''(\frac{1}{2})=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8\)


    3. ถ้า \(f,g\) และ \(h\) สอดคล้องกับ \(f(1)=g(1)=h(1)=1\) และ \(f'(1)=g'(1)=h'(1)=2\) แล้วค่าของ \((fg+h)'(1)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. 1
    2. 2
    3. 4
    4. 6

    วิธีทำ ข้อนี้ เข้าให้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \((fg+h)\) ที่ \(x=1\) ดังนั้นให้เราเริ่มต้นที่

    \((fg+h)(x)\)  ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการดำเนินการของฟังก์ชันนิดหนึ่ง เช่น

    \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)

    \(fg(x)=f(x)g(x)\) 

    เริ่มทำกันเลยคับ

    \begin{array}{lcl}(fg+h)(x)&=&fg(x)+h(x)\\&=&f(x)g(x)+h(x)\\so\\(fg+h)'(x)&=&f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+h'(x)\\then\\(fg+h)'(1)&=&f(1)g'(1)+g(1)f'(1)+h'(1)\\&=&(1)(2)+(1)(2)+2\\&=&6\quad \underline{Ans}\end{array}


    4. กำหนดให้ \(f(x)=1+\frac{a}{x}\) และ \(g(x)=x^{2}+b\) ถ้า \((f\circ g)(x)=\frac{1}{2}\) และ \(f''(-1)=2\) แล้ว \(\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(-\frac{1}{3}\)
    2. \(-\frac{1}{4}\)
    3. \(\frac{1}{4}\)
    4. \(\frac{1}{3}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ยากพอสมควร วิธีการดูว่าข้อไหนยากให้ดูตรงที่โจทย์ให้มา จะเห็นว่าโจทย์ให้ \(f(x),g(x),(f\circ g),f''(-1)\) ให้มาเยอะมาก แสดงว่าเราต้องนำพวกนี้ไปใช้เพื่อหาคำตอบ ซึ่งมันต้องใช้ให้ครบถึงจะหาคำตอบได้ มันก็เลยยากและยุ่งด้วย  ค่อยๆอ่านดีแล้วกันคับ

    เนื่องจากโจทย์ให้หา \(\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)\) ดังนั้นเราจะเริ่มต้นจากการหา \((\frac{f}{g})(x)\)ก่อนคับ

    \begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})(x)&=&\frac{f(x)}{g(x)}\\so\\(\frac{f}{g})'(x)&=&\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[gx)]^{2}}\\then \\(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\end{array}

    งานของเราต่อไปคือต้องหา \(a+b\) ให้ได้คับ เริ่มเลย

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(0)&=&\frac{1}{2}\\f(g(0))&=&\frac{1}{2}\quad\cdots (1)\\because\\ g(x)&=&x^{2}+b\\ so\\g(0)&=&0^{2}+b\\g(0)&=&b\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(g(0)=b\) เอาไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

    \begin{array}{lcl}f(g(0))&=&\frac{1}{2}\\f(b)&=&\frac{1}{2}\\because\\f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\so\\f(b)&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{1}{2}&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{a}{b}&=&-\frac{1}{2}\quad\cdots (2)\end{array}

    ต่อไปเราจะหาอีกสมการเพราะการหา \(a\) กับ \(b\) ต้องมีอย่างน้อย 2 สมการเพื่อแก้ระบบสมการหาค่าของ \(a\) กับ \(b\)

    \begin{array}{lcl}f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\f'(x)&=&-ax^{-2}\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\because\\f''(-1)&=&2\\and\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\then\\f''(-1)&=&2a(-1)^{-3}\\2&=&-2a\\so\\a&=&-1\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(a=-1\) ลองเอาค่า \(a\) นี้ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้ \(b=2\) 

    นั่นก็คือ \(a+b=-1+2=1\)

    ตอนนี้เราได้ค่าของ \(a\) กับ ค่าของ \(b\) แล้ว และได้ค่า \(a+b\) แล้ว ต่อไปหาค่าพวกนี้รอไว้ก่อนเพราะได้ใช้แน่นอนคือ

    \(g(x)=x^{2}+b\to g(1)=1^{2}+2=3\)

    \(g'(x)=2x\to g'(1)=2(1)=2\)

    \(f(x)=1+\frac{a}{x}\to f(1)=1+ (-\frac{1}{1})=0\)

    \(f'(x)=-ax^{-2}\to f'(1)=-(-1)(-1)^{-2}=1\)

    ต่อไปนำค่าต่างๆที่เราได้ไปแทนใน

    \begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\\(\frac{f}{g})'(1)&=&\frac{g(1)f'(1)-f(1)g'(1)}{[g(1)]^{2}}\\&=&\frac{(3)(1)-(0)(2)}{3^{2}}\\&=&\frac{3}{9}\\&=&\frac{1}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}


    5. ฟังก์ชัน \(f,g,h\) มีสมบัติว่า \((f\circ g)(x)=3x-14\)  ,\(f(\frac{x+6}{3})=x-2\) , \(h(2x-1)=6g(x)+12\) จงหาค่าของ \(h'(0)\)

    วิธีทำ ข้อนี้ ไม่ยากครับ ถ้าหัดทำข้อสอบบ่อยๆ ข้อพวกนี้ถือว่าสบายมากเลย เริ่มทำกันเลย

    จาก \(f(\frac{x+6}{3})=x-2\) 

    กำหนดให้ \(A=\frac{x+6}{3}\) จะได้ \(x=3A-6\) จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}f(\frac{x+6}{3})&=&x-2\\f(A)&=&3A-6-2\\f(A)&=&3A-8\\so\\f(x)&=&3x-8\end{array}

    ตอนนี้เราได้ว่า

    \(f(x)=3x-8\) ดังนั้น

    \(f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\) เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน

    ต่อไป จาก \((f\circ g)(x)=3x-14\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&3x-14\\f(g(x))&=&3x-14\quad\cdots (2)\end{array}

    ให้เราสังเกตสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) คือ

    \[f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\]

    \[f(g(x))=3x-14\quad\cdots (2)\]

    จะเห็นได้ว่าสมการที่ \(1)\) เท่ากับ \((2)\) จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}3g(x)-8&=&3x-14\\3g(x)&=&3x-14+8\\g(x)&=&\frac{3x-6}{3}\\g(x)&=&x-2\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(g(x)\) แล้วนะ ซึ่งจะนำไปหาคำตอบได้คือ

    จาก \(h(2x-1)=6g(x)+12\) จะได้

    \begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6g(x)+12\\h(2x-1)&=&6(x-2)+12\\h(2x-1)&=&6x\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(h(2x-1)=6x\) เราต้องหา \(h(x)\) ให้ได้ เริ่มหาเลย

    จาก \(h(2x-1)=6x\)

    กำหนดให้ \(B=2x-1\) ได้ว่า \(x=\frac{B+1}{2}\) นั่นก็คือ

    \begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6x\\h(B)&=&6(\frac{B+1}{2})\\h(B)&=&3B+3\\so\\h(x)&=&3x+3\\then\\h'(x)&=&3\end{array}

    เราจะเห็นว่า \(h'(x)=3\) เสมอ ไม่ว่า \(x\) จะเป็นเลขอะไรก็ตาม ดังนั้น \(h'(0)=3\quad\underline{Ans}\) 


    6. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}+ax+b\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน และให้ \(L_{1}\)  และ \(L_{2}\)  เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ \(x=a\) และ \(x=b\) ตามลำดับ  ถ้า \(L_{1}\) ขนานกับ \(L_{2}\) และ \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\) แล้วค่าของ \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx\) เท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ หาความชันของ \(f\) ที่จุด\((x,y)\) ใดๆก่อนซึ่งความชันคือ

    \[f'(x)=3x^{2}+a\]

    ความชันของ \(f\) ที่จุด \((x,y)\) ใดๆคือ \(f'(x)=3x^{2}+a\)

    จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง \(L_{1}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(f\) ที่จุด \(x=a\) ดังนั้น

    ความชันของเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(3a^{2}+a\)

    จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง \(L_{2}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(f\) ที่จุด \(x=b\) ดังนั้น

    ความชันของเส้นตรง \(L_{2}\) คือ \(3b^{2}+a\)

    เนื่องจาก \(L_{1}\) กับ \(L_{2}\) ขนานกัน ดังนั้นความชันเท่ากัน จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}3a^{2}+a&=&3b^{2}+a\\so\\a^{2}&=&b^{2}\quad\cdots (1)\end{array}

    เก็บสมการที่ \((1)\) เอาไว้ก่อน ต่อไปมาทางฟังก์ลิมิตที่โจทย์กำหนดให้มาบ้างคือ

    \[\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\]

    ต่อก่อนจะหาลิมิต เราหาพวก \(f(1+h)\) กับ \(f(1)\) เก็บไว้ก่อนคับ   จาก

    \begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\so\\f(1+h)&=&(1+h)^{3}+a(1+h)+b\\f(1+h)&=&h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b\\and\\f(1)&=&1^{3}+a(1)+b\end{array}

    ต่อไปหาลิมิตเลยคับจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{[(1+h)^{3}+a(1+h)+b]-[1^{3}+a(1)+b]}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b-1-a-b}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h(h^{2}+3h+3+a)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9}{h^{2}+3h+3+a}&=&1\\\frac{9}{0^{2}+3(0)+3+a}&=&1\\\frac{9}{3+a}&=&1\\a&=&6\quad\cdots (2)\end{array}

    ตอนนี้เราได้สมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) คือ

    \[a^{2}=b^{2}\quad\cdots (1)\]

    \[a=6\quad\cdots (2)\]

    แทน \(a\) ด้วย \(6\) ลงในสมการที่ \((1)\) จะได้

    \begin{array}6^{2}&=&b^{2}\\36&=&b^{2}\\so\\b&=&\pm 6\end{array}

    แต่เนื่องจากโจทย์บอกว่า \(a\) กับ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เราจึงได้ว่า \(b\) ต้องเท่ากับ \(-6\)

    นั่นก็คือ จะได้ \(f(x)\) แล้วคับก็คือ

    \begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\f(x)&=&x^{3}+6x-6\end{array}

    จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(x^{3}+6x-6)dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}-6x\Big|_{0}^{2}\\&=&4+12-12\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}