• ลิมิตของฟังก์ชัน

    ลิมิตของฟังก์ชัน ก่อนที่เราจะทำแบบฝึกหัดลิมิตของฟังก์ชัน ให้พวกเราศึกษา concept ของลิมิตฟังก์ชันจากตัวอย่างในคลิปด้านล่างก่อนให้เข้าใจ concept เบื้องต้นก่อนนะครับแล้วก็ลองทำแบบฝึกเพิ่มเติมครับ

    ต่อไปเราลองมาทำแบบฝึกหัดกันครับ

    แบบฝึกหัด

    1. จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้

    1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}(3x^{2}+7x-12)\)

    วิธีทำ ใช้สมบัติของลิมิตหาค่าได้เลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}(3x^{2}+7x-12)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}3x^{2}+\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}7x-\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}12\\&=&3\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}x^{2}+7\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}x-\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}12\\&=&3(0)^{2}+7(0)-12\\&=&-12\end{array}

    ดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}(3x^{2}+7x-12)=-12\)

    2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} (x+3)(x^{2}+2)\)

    วิธีทำ 

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} (x+3)(x^{2}+2)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} (x+3)\cdot \displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} (x^{2}+2)\\&=&(-1+3)((-1)^{2}+2)\\&=&(2)(3)\\&=&6\end{array}

    ดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} (x+3)(x^{2}+2)=6\)

    3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-5}\frac{x^{2}-25}{x+5}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ระวังด้วยถ้า แทน -5 ไปเลยจะทำให้ส่วนติด 0 ดังนั้นต้องทำการแยกตัวประกอบก่อนคับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow-5}\frac{x^{2}-25}{x+5}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow-5}\frac{(x+5)(x-5)}{(x+5)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow-5}(x-5)\\&=&-5-5\\&=&-10\end{array}

    4)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}\)

    วิธีทำ  ข้อนี้ก็เหมือนกันแทน x ด้วย 9 เลยไม่ได้เพราะจะทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ต้องแยกตัวประกอบก่อนครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{3^{2}-\sqrt{x}^{2}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{(3+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{1}{3+\sqrt{x}}\\&=&\frac{1}{6}\end{array}

    2. จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้

    1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}\frac{|x+4|}{x+4}\)

    วิธีทำ จะเห็นว่าเป็นการหาลิมิตของฟังก์ชัน \(\frac{|x+4|}{x+4}\) เมื่อ \(x\) เข้าสู่ \(-4\) ทางลบหรือว่าทางซ้าย ซึ่งเราสังเกตดีๆ ทางซ้ายของ -4 ก็จะเป็นจำนวนจริงลบที่น้อยกว่า -4 ซึ่งถ้าเราลองเลือก x มาตัวหนึ่งเช่น ให้ x=-5 แทนลงไปใน \(|-5+5|\) จทำให้ให้ข้างในค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 0 หรือจะลองเลือกเป็นตัวอื่นก็ได้ เช่นเป็น -6 ก็จะทำให้ \(|-6+4|\) ข้างในค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 0 เช่นกัน ดังนั้นตรงนี้ทำให้เราได้ว่าเมื่อ \(x\) เข้าสู่ -4 ทางด้านลบจะทำให้ \(x+4<0\)  จากความรู้เรื่องค่าสัมบูรณ์(Absolute)

    จะได้ว่า \(|x+4|=-(x+4)\) ดังนั่นลิมิตข้อนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}\frac{|x+4|}{x+4}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}\frac{-(x+4)}{x+4}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}-1\\&=&-1\end{array}

    2)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5}\frac{2x^{2}-3x}{|2x-3|}\)

    วิธีทำ  ข้อนี้เราต้องพิจารณาทั้งลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวานะครับเพราะตัวฟังก์ชันมันติดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์และลิมิตมันเข้าหา 1.5 ดังนั้นจะเข้าทางด้านซ้ายก็ได้ ทางด้านขวาก็ได้ แต่ไม่เหมือนข้อข้างบนนะครับ ข้างบนเข้าหาทางด้านซ้ายด้านเดียว ซึ่งเราจะเห็นว่า

    ถ้า x เข้าหา 1.5 ทางด้านขวาจะทำให้ \(2x-3>0\) ดังนั้นทำให้ \(|2x-3|=2x-2\)

    ถ้า x เข้าหา 1.5 ท้างด้านซ้ายจะทำให้ \(2x-3<0\) ดังนั้นทำให้ \(|2x-3|=-(2x-3)\)

    ดังนั้นเราจะหาลิมิตของฟังก์ชันนี้โดยหาทั้งสองฝั่งครับแล้วดูว่าเท่ากันไหม ถ้าลิมิตทางฝั่งซ้ายและฝั่งขวาเท่ากันก็แสดงว่าลิมิตหาค่าได้ครับ ไปดูกันเลยครับ

    ดูลิมิตทางฝั่งขวาก่อน

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{+}}\frac{2x^{2}-3x}{|2x-3|}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{+}}\frac{2x^{2}-3x}{2x-3}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{+}}\frac{x(2x-3)}{2x-3}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{+}}x\\&=&1.5\end{array}

    ดูลิมิตทางฝั่งซ้าย

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{-}}\frac{2x^{2}-3x}{|2x-3|}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{-}}\frac{2x^{2}-3x}{-(2x-3)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{-}}\frac{x(2x-3)}{-(2x-3)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5^{-}}-x\\&=&-1.5\end{array}

    จะเห็นว่าลิมิตทางซ้ายและมิมิตทางขวาของฟังก์ชันนี้ไม่เท่ากันดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1.5}\frac{2x^{2}-3x}{|2x-3|}\)  หาค่าไม่ได้

    3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\)

    วิธีทำ ข้อนี้ให้หาลิมิตของก้อนนี้ \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\) เมื่อ \(x\) เข้าสู่ \(0\) ทางด้านขวาหรือทางด้านบวกนั่นเอง ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อ \(x\) เข้าสูู่ \(0\) ทางด้านบวกจะทำให้ \(x\) จะมีค่ามากกว่า \(0\) ดังนั้น \(|x|=x\) นั่นคือทำให้ได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}0\\&=&0\end{array}

    4)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}|x+4|\)

    วิธีทำ จะเห็นว่าข้อนี้เขาให้หาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ -4  เมื่อเราพิจารณาจะเห็นว่า

    เมื่อ \(x\) เข้าสู่ -4 ทางขวาจะทำให้ \(x+4>0\) นั่นก็คือ

    ถ้า \(x\) เข้าสู่ -4 ทางขวา \(|x+4|\)=x+4\)

    และเมื่อ \(x\) เข้าสู๋ -4 ทางซ้ายจะทำให้ \(x+4\)<0\) นั่นก็คือ

    ถ้า \(x\) เข้าสู่ -4 ทางซ้ายจะทำให้ \(|x+4|=-(x+4)\)

    ต่อไปเราก็ไปหาว่าลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันไหม เริ่มเลย

    ลิมิตทางซ้ายก่อน

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}|x+4|&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}-(x+4)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}-(-4+4)\\&=&0\end{array}

    ลิมิตทางขวา

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}|x+4|&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}(x+4)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{-}}(-4+4)\\&=&0\end{array}

    จะเห็นว่าลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากัน ดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}|x+4|=0\)

    5) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\)

    วิธีทำ เนื่องจาก \(x\) เข้าสู่  0 ทางขวาทำให้ได้ว่า \(|x|=-x\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-(-\frac{1}{x})\right)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{2}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{2}{0}\end{array}

    นั่นคือ  \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\)  หาค่าไม่ได้นั้นเองครับ

    3. กำหนดให้

    \(f(x)=\left\{\begin{matrix}
    & x-1\quad เมื่อ\quad x<2 & \\
    & x^{2}-4x+6  \quad เมื่อ \quad x\geq 2 &
    \end{matrix}\right.\)

    จงหา

    1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)\)

    วิธีทำ ข้อนี้ให้หาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ฟังก์ชันนี้ทางซ้าย แสดงว่า \(x<2\) ตามเงื่อนไขในโจทย์จึงได้ว่า \(f(x)=x-1\)  เริ่มหาลิมิตกันเลย

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}} x-1\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}} (2-1)\\&=&1\end{array}

    2)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\)

    วิธีทำ ข้อนี้ให้หาลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้าสู่ 2 ทางด้านซ้าย แสดงว่า x > 2 ดังนั้นตามเงื่อนไขในโจทย์จึงได้ว่า \(f(x)=x^{2}-4x+6\) เริ่มหาลิมิตกันเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}x^{2}-4x+6\\&=&2^{2}-4(2)+6\\&=&2\end{array}

    3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\)

    วิธีทำ ข้อนี้ให้หาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ 2  เราต้องไปหาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ 2 ทางขวา และหาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าสู่ 2 ทางซ้ายครับ แล้วก็นำลิมิตที่หาทั้งสองฝั่งมาเปรียบเทียบกันดูครับ

    ซึ่งเราหาไว้แล้วในข้อ 1) และ 2) ซึ่งจะเห็นว่า \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\)

    ดังนั้น\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} f(x)\)  หาลิมิตไม่ได้ครับ

    4.  กำหนดให้

    \(f(x)=\left\{\begin{matrix}&x \quad เมื่อ \quad x<0\\&x^{2}\quad เมื่อ\quad 0<x\leq 2\\&8-x\quad เมื่อ \quad x>2\end{matrix}\right.\)

    1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)\)

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}\\0\end{array}

    2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\)

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x\\&=&0\end{array}

    3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\)

    เนื่องจาก \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)\)

    ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0\)

    4)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\)

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}x^{2}\\&=&4\end{array}

    5)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\)

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(8-x)\\&=&6\end{array}

    ต่อไปเดี่ยวจะทำแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสทว. ให้ดูสักข้อสองข้อเพื่อเป็นแนวทาง แบบฝึกหัด 2.1ก

    1. จงเติมค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้ในตารางให้สมบูรณ์ พร้อมทั้งพิจารณาว่าลิมิตของฟังก์ชันที่กำหนดให้ในแต่ละข้อมีค่าหรือไม่ ถ้ามี จงหาลิมิต

    1) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{x-4},\quad \displaystyle\lim_{x\rightarrow 4} f(x)\)

    \(x\) \(3.9\) \(3.99\) \(3.999\)
    \(f(x)\) 0.251582 0.250156 0.250016

    \(x\) \(4.1\) \(4.01\) \(4.001\)
    \(f(x)\) 0.248457 0.249844 0.249984

    จากตารางทั้่งสองจะสังเกตเห็นว่า \(f(x)\) เข้าใกล้ \(0.25\)  เมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(4\) ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ \(4\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=0.25\)

    2. \(f(x)=\frac{x-2}{x^{2}+x-6}\quad ,\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} f(x)\)

    \(x\) 1.9 1.99 1.999
    \(f(x)\) 0.204082 0.200401 0.200401

    \(x\) 2.1 2.01 2.001
    \(f(x)\) 0.196078 0.199601 0.199601

    จะเห็นว่าจากตาราง \(f(x)\) เข้าใกล้ \(0.2\) เมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(2\) ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ \(2\) ดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{2}+x-6}=0.2\)

    3. \(f(x)=\frac{3x-3}{x^{3}-1} \quad , \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\)

    \(x\) 0.9 0.99 0.999
    \(f(x)\) 1.107011 1.010067 1.001001

    \(x\) 1.1 1.01 1.001
    \(f(x)\) 0.906344 0.990066 0.999001

    จากตารางจะเห็นว่า \(f(x)\) เข้าใกล้ \(1\) เมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(1\) ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ \(1\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x-3}{x^{3}-1}\)

    4. \(f(x)=\frac{e^{x}-1}{x}\quad ,\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\)

    \(x\) -0.1 -0.01 -0.001
    \(f(x)\) 0.951626 0.995017 0.999500

    \(x\) 0.1 0.01 0.001
    \(f(x)\) 1.051709 1.005017 1.000500

    จากตารางจะเห็นว่า \(f(x)\) เข้าใกล้ \(1\) เมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(0\) ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ \(0\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\)

    2. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f\) ดังรูป จงหา

    1. \(f(1)=2\)

    2.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=2\)

    3. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=3\)

    4. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x) \text{ไม่มีค่าเนื่องจากลิมิตซ้ายและขวาไม่เท่ากัน}\)

    5. \(f(5) \text{ไม่มีค่า}\)  เนื่องจากกราฟที่จุดนี้มันขาดก็คือไม่นิยามนั่นเอง

    6.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5^{+}}f(x)=4\)

    7.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5^{-}}f(x)=4\)

    8. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5}f(x)=4\) 

    3. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f\) ดังรูป จงหา

    1) \(f(0)=3\)

    2)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=3\)

    3) \(f(3)=3\)

    4) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=4\)

    5) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)=2\)

    4. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(g\) ดังรูป จงหา

    1) \(g(0)=-1\)

    2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)=-1\)

    3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=-2\)

    4) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}g(x)\) หาค่าไม่ได้

    5)\(g(2)=1\)

    6) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}g(x)=2\)

    7) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{}+}g(x)=0\)

    5. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f\) ดังรูป จงหา

    1) \(f(1)=0\)

    2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=-1\)

    3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=0\)

    6. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f\) ดังรูป จงหา

    1)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=2\)

    2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=-2\)

    3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\) ไม่มีค่า

    4)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^{-}}f(x)=0\)

    5)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^{+}}f(x)=0\)

    6)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)=0\)

    5. กำหนดให้

    \(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{|x|}{x} \quad เมื่อ \quad x\neq 0\\&1\quad เมื่อ\quad x=0\end{matrix}\right.\)

    และ \(g(x)=x\) จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า

    1)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\)

    วิธีทำ ข้อนี้ให้พวกเราไปหาลิมิตซ้าย และลิมิตขวา เพื่อเปรียบเทียบว่าลิมิตทั้งสองข้างมันเท่ากันไหม

    หาลิมิตซ้ายก่อนแล้วกัน

    จะเห็นว่าเมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(0\) จากทางด้านซ้าย ก็คือ \(x<0\) จะได้ว่า \(|x|=-x\) นั่นคือ

    \(f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1\)  ดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}=-1\)

    หาลิมิตขวา

    จะเห็นว่าเมื่อ \(x\) เข้าใกล้ \(0\) จากทางด้านขวา ก็คือ \(x>0\) จะได้ว่า \(|x|=x\) นั่นคือ

    \(f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1\) ดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}=1\)

    จะเห็นได้ว่าลิมิตซ้ายและลิมิตขวาไม่เท่ากัน ดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\) หาค่าไม่ได้

    2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}g(x)\)

    วิธีทำ เนื่องจาก \(g(x)=x\) ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}g(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}x\\&=&0\end{array}

    3)\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\cdot g(x)\)

    วิธีทำ ข้อนี้หาลิมิตซ้ายและลิมิตขวาเหมือนเดิมคับ ดูข้อที่ 1) ประกอบด้วยนะ

    ลิมิตซ้ายก่อน

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\cdot g(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{|x|}{x}\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{-x}{x}\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-1\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x\\&=&0\end{array}

    ลิมิตขวา

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)\cdot g(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{|x|}{x}\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x}{x}\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}1\cdot x\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x\\&=&0\end{array}

    จะเห็นว่าลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวา ดังนั้น

    \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\cdot g(x)=0\quad \underline{Ans}\)

  • เฉลย Pat 1 แคลคูลัส (ดิฟ)

    1. ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ \(f(2x+1)=4x^{2}+14x\) ค่าของ \(f\left(f'(f''(2553))\right)\) เท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ ข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้เจอ แล้วก็หาอนุพันธ์หรือว่าดิฟก็จะได้คำตอบคับ แต่ก็หา \(f(x)\) อาจจะต้องใช้แรงเยอะหน่อย

    จาก \(f(2x+1)=4x^{2}+14x\quad\cdots (1)\) 

    กำหนดให้ \(A=2x+1\)  จะได้ \(2x=A-1\) 

    เราจะเห็นว่า \(4x^{2}=(2x)^{2}=(A-1)^{2}=A^{2}-2A+1\)

    \(14x=7(2x)=7(A-1)=7A-7\)

    เราเอาค่าที่เราได้ตรงนี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) เลย จะได้

    \begin{array}{lcl}f(2x+1)&=&4x^{2}+14x\\f(2x+1)&=&(2x)^{2}+7(2x)\\f(A-1+1)&=&(A-1)^{2}+7(A-1)\\f(A)&=&A^{2}-2A+1+7A-7\\f(A)&=&A^{2}+5A-6\end{array}

    ตอนนี้เราได้

    \(f(A)=A^{2}+5A-6\)  ดังนั้น

    \(f(x)=x^{2}+5x-6\)  ซึ่งจะได้ \(f(9)=9^{2}+5(9)-6=81+45=120\)

    \(f'(x)=2x+5\)  ซึ่ง \(f'(2)=2(2)+5=9\)

    \(f''(x)=2\)  ซึ่งจะเห็นได้ว่าอนุพันธ์อันดับสองของ \(f\) มีค่าเท่ากับ 2  เสมอ ไม่ว่า \(x\) จะเป็นอะไรก็ตาม ดังนั้น \(f''(2553)=2\) ซึ่งเราจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}f(f'(f''(2553)))&=&f(f'(2))\\&=&f(9)\\&=&120\end{array}

    2.กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(g:R\to R\)  เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย \(g(x)=\frac{1}{2x+3}\) เมื่อ \(x\neq -\frac{3}{2}\)  ถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชันที่ \((f\circ g)(x)=x\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) แล้ว \(f''(\frac{1}{2})\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(-\frac{1}{2}\)
    2. \(\frac{1}{2}\)
    3. \(-8\)
    4. \(8\)

    วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจากโจทย์ให้หา \(f''(\frac{1}{2})\) ดังนั้นเราต้องหา \(f(x)\) ให้ได้ก่อน

    เริ่มจาก

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x\\f(g(x))&=&x\\f(\frac{1}{2x+3})&=&x\quad \cdots (1)\end{array}

    ทิ้งสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน มาดูตรงนี้ก่อน

    ให้ \(A=\frac{1}{2x+3}\) จะได้

    \begin{array}{lcl}A&=&\frac{1}{2x+3}\\so\\2x+3&=&\frac{1}{A}\\and\\2x&=&\frac{1}{A}-3\\x&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\end{array}

    ตอนนี้เราได้ว่า

    \(A=\frac{1}{2x+3}\)

    \(x=\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\)  เอาตรงนี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

    \begin{array}{lcl}f(\frac{1}{2x+3})&=&x\\f(\frac{1}{\frac{1}{A}})&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\f(A)&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\so\\f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{3}{2}\\f(x)&=&\frac{x^{-1}}{2}-\frac{3}{2}\\so\\f'(x)&=&-\frac{1}{2}x^{-2}\\so\\f''(x)&=&x^{-3}\\f''(x)&=&\frac{1}{x^{3}}\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(f''(x)=\frac{1}{x^{3}}\) จึงได้คำตอบว่า

    \(f''(\frac{1}{2})=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8\)

    3. ถ้า \(f,g\) และ \(h\) สอดคล้องกับ \(f(1)=g(1)=h(1)=1\) และ \(f'(1)=g'(1)=h'(1)=2\) แล้วค่าของ \((fg+h)'(1)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. 1
    2. 2
    3. 4
    4. 6

    วิธีทำ ข้อนี้ เข้าให้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \((fg+h)\) ที่ \(x=1\) ดังนั้นให้เราเริ่มต้นที่

    \((fg+h)(x)\)  ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการดำเนินการของฟังก์ชันนิดหนึ่ง เช่น

    \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)

    \(fg(x)=f(x)g(x)\) 

    เริ่มทำกันเลยคับ

    \begin{array}{lcl}(fg+h)(x)&=&fg(x)+h(x)\\&=&f(x)g(x)+h(x)\\so\\(fg+h)'(x)&=&f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+h'(x)\\then\\(fg+h)'(1)&=&f(1)g'(1)+g(1)f'(1)+h'(1)\\&=&(1)(2)+(1)(2)+2\\&=&6\quad \underline{Ans}\end{array}

    4. กำหนดให้ \(f(x)=1+\frac{a}{x}\) และ \(g(x)=x^{2}+b\) ถ้า \((f\circ g)(x)=\frac{1}{2}\) และ \(f''(-1)=2\) แล้ว \(\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(-\frac{1}{3}\)
    2. \(-\frac{1}{4}\)
    3. \(\frac{1}{4}\)
    4. \(\frac{1}{3}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ยากพอสมควร วิธีการดูว่าข้อไหนยากให้ดูตรงที่โจทย์ให้มา จะเห็นว่าโจทย์ให้ \(f(x),g(x),(f\circ g),f''(-1)\) ให้มาเยอะมาก แสดงว่าเราต้องนำพวกนี้ไปใช้เพื่อหาคำตอบ ซึ่งมันต้องใช้ให้ครบถึงจะหาคำตอบได้ มันก็เลยยากและยุ่งด้วย  ค่อยๆอ่านดีแล้วกันคับ

    เนื่องจากโจทย์ให้หา \(\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)\) ดังนั้นเราจะเริ่มต้นจากการหา \((\frac{f}{g})(x)\)ก่อนคับ

    \begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})(x)&=&\frac{f(x)}{g(x)}\\so\\(\frac{f}{g})'(x)&=&\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[gx)]^{2}}\\then \\(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\end{array}

    งานของเราต่อไปคือต้องหา \(a+b\) ให้ได้คับ เริ่มเลย

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(0)&=&\frac{1}{2}\\f(g(0))&=&\frac{1}{2}\quad\cdots (1)\\because\\ g(x)&=&x^{2}+b\\ so\\g(0)&=&0^{2}+b\\g(0)&=&b\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(g(0)=b\) เอาไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

    \begin{array}{lcl}f(g(0))&=&\frac{1}{2}\\f(b)&=&\frac{1}{2}\\because\\f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\so\\f(b)&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{1}{2}&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{a}{b}&=&-\frac{1}{2}\quad\cdots (2)\end{array}

    ต่อไปเราจะหาอีกสมการเพราะการหา \(a\) กับ \(b\) ต้องมีอย่างน้อย 2 สมการเพื่อแก้ระบบสมการหาค่าของ \(a\) กับ \(b\)

    \begin{array}{lcl}f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\f'(x)&=&-ax^{-2}\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\because\\f''(-1)&=&2\\and\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\then\\f''(-1)&=&2a(-1)^{-3}\\2&=&-2a\\so\\a&=&-1\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(a=-1\) ลองเอาค่า \(a\) นี้ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้ \(b=2\) 

    นั่นก็คือ \(a+b=-1+2=1\)

    ตอนนี้เราได้ค่าของ \(a\) กับ ค่าของ \(b\) แล้ว และได้ค่า \(a+b\) แล้ว ต่อไปหาค่าพวกนี้รอไว้ก่อนเพราะได้ใช้แน่นอนคือ

    \(g(x)=x^{2}+b\to g(1)=1^{2}+2=3\)

    \(g'(x)=2x\to g'(1)=2(1)=2\)

    \(f(x)=1+\frac{a}{x}\to f(1)=1+ (-\frac{1}{1})=0\)

    \(f'(x)=-ax^{-2}\to f'(1)=-(-1)(-1)^{-2}=1\)

    ต่อไปนำค่าต่างๆที่เราได้ไปแทนใน

    \begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\\(\frac{f}{g})'(1)&=&\frac{g(1)f'(1)-f(1)g'(1)}{[g(1)]^{2}}\\&=&\frac{(3)(1)-(0)(2)}{3^{2}}\\&=&\frac{3}{9}\\&=&\frac{1}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}

    5. ฟังก์ชัน \(f,g,h\) มีสมบัติว่า \((f\circ g)(x)=3x-14\)  ,\(f(\frac{x+6}{3})=x-2\) , \(h(2x-1)=6g(x)+12\) จงหาค่าของ \(h'(0)\)

    วิธีทำ ข้อนี้ ไม่ยากครับ ถ้าหัดทำข้อสอบบ่อยๆ ข้อพวกนี้ถือว่าสบายมากเลย เริ่มทำกันเลย

    จาก \(f(\frac{x+6}{3})=x-2\) 

    กำหนดให้ \(A=\frac{x+6}{3}\) จะได้ \(x=3A-6\) จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}f(\frac{x+6}{3})&=&x-2\\f(A)&=&3A-6-2\\f(A)&=&3A-8\\so\\f(x)&=&3x-8\end{array}

    ตอนนี้เราได้ว่า

    \(f(x)=3x-8\) ดังนั้น

    \(f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\) เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน

    ต่อไป จาก \((f\circ g)(x)=3x-14\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&3x-14\\f(g(x))&=&3x-14\quad\cdots (2)\end{array}

    ให้เราสังเกตสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) คือ

    \[f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\]

    \[f(g(x))=3x-14\quad\cdots (2)\]

    จะเห็นได้ว่าสมการที่ \(1)\) เท่ากับ \((2)\) จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}3g(x)-8&=&3x-14\\3g(x)&=&3x-14+8\\g(x)&=&\frac{3x-6}{3}\\g(x)&=&x-2\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(g(x)\) แล้วนะ ซึ่งจะนำไปหาคำตอบได้คือ

    จาก \(h(2x-1)=6g(x)+12\) จะได้

    \begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6g(x)+12\\h(2x-1)&=&6(x-2)+12\\h(2x-1)&=&6x\end{array}

    ตอนนี้เราได้ \(h(2x-1)=6x\) เราต้องหา \(h(x)\) ให้ได้ เริ่มหาเลย

    จาก \(h(2x-1)=6x\)

    กำหนดให้ \(B=2x-1\) ได้ว่า \(x=\frac{B+1}{2}\) นั่นก็คือ

    \begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6x\\h(B)&=&6(\frac{B+1}{2})\\h(B)&=&3B+3\\so\\h(x)&=&3x+3\\then\\h'(x)&=&3\end{array}

    เราจะเห็นว่า \(h'(x)=3\) เสมอ ไม่ว่า \(x\) จะเป็นเลขอะไรก็ตาม ดังนั้น \(h'(0)=3\quad\underline{Ans}\) 

    6. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}+ax+b\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน และให้ \(L_{1}\)  และ \(L_{2}\)  เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ \(x=a\) และ \(x=b\) ตามลำดับ  ถ้า \(L_{1}\) ขนานกับ \(L_{2}\) และ \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\) แล้วค่าของ \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx\) เท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ หาความชันของ \(f\) ที่จุด\((x,y)\) ใดๆก่อนซึ่งความชันคือ

    \[f'(x)=3x^{2}+a\]

    ความชันของ \(f\) ที่จุด \((x,y)\) ใดๆคือ \(f'(x)=3x^{2}+a\)

    จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง \(L_{1}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(f\) ที่จุด \(x=a\) ดังนั้น

    ความชันของเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(3a^{2}+a\)

    จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง \(L_{2}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(f\) ที่จุด \(x=b\) ดังนั้น

    ความชันของเส้นตรง \(L_{2}\) คือ \(3b^{2}+a\)

    เนื่องจาก \(L_{1}\) กับ \(L_{2}\) ขนานกัน ดังนั้นความชันเท่ากัน จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}3a^{2}+a&=&3b^{2}+a\\so\\a^{2}&=&b^{2}\quad\cdots (1)\end{array}

    เก็บสมการที่ \((1)\) เอาไว้ก่อน ต่อไปมาทางฟังก์ลิมิตที่โจทย์กำหนดให้มาบ้างคือ

    \[\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\]

    ต่อก่อนจะหาลิมิต เราหาพวก \(f(1+h)\) กับ \(f(1)\) เก็บไว้ก่อนคับ   จาก

    \begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\so\\f(1+h)&=&(1+h)^{3}+a(1+h)+b\\f(1+h)&=&h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b\\and\\f(1)&=&1^{3}+a(1)+b\end{array}

    ต่อไปหาลิมิตเลยคับจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{[(1+h)^{3}+a(1+h)+b]-[1^{3}+a(1)+b]}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b-1-a-b}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h(h^{2}+3h+3+a)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9}{h^{2}+3h+3+a}&=&1\\\frac{9}{0^{2}+3(0)+3+a}&=&1\\\frac{9}{3+a}&=&1\\a&=&6\quad\cdots (2)\end{array}

    ตอนนี้เราได้สมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) คือ

    \[a^{2}=b^{2}\quad\cdots (1)\]

    \[a=6\quad\cdots (2)\]

    แทน \(a\) ด้วย \(6\) ลงในสมการที่ \((1)\) จะได้

    \begin{array}6^{2}&=&b^{2}\\36&=&b^{2}\\so\\b&=&\pm 6\end{array}

    แต่เนื่องจากโจทย์บอกว่า \(a\) กับ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เราจึงได้ว่า \(b\) ต้องเท่ากับ \(-6\)

    นั่นก็คือ จะได้ \(f(x)\) แล้วคับก็คือ

    \begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\f(x)&=&x^{3}+6x-6\end{array}

    จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(x^{3}+6x-6)dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}-6x\Big|_{0}^{2}\\&=&4+12-12\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}