1. ถ้า \(\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=11\) แล้ว \(\frac{x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}}{x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ โจทย์แนวนี้ชอบออก เป็นข้อสอบสอบเข้าพวกโรงเรียนดังๆ แนวทางในการทำ หลักๆ มี 2 วิธี แต่ผมจะเลือกทำให้ดูแค่วิธีเดียวก็พอแล้ว เราจะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้หา กำลังสูงสุดคือกำลัง 4 แต่สิ่งที่โจทย์ให้มา กำลังสูงสุดแค่ 2 ดังนั้นสิ่งที่เราควรที่จะทำคือ เอาสิ่งที่โจทย์ให้มา นำมายกกำลัง 2 เริ่มทำเลยนะคับ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}&=&11\\x^{2}+y^{2}&=&11xy\quad\cdots (1)\end{array}

ต่อไปนำสมการ \((1)\) มายกกำลังสองทั้งสองข้างเลย ใช้กำลังสองสมบูรณ์ในการยกกำลังสองเลยนะคับจะได้

\begin{array}{lcl}(x^{2}+y^{2})^{2}&=&(11xy)^{2}\\x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}&=&121x^{2}y^{2}\quad\cdots(2)\\x^{4}+y^{4}&=&121x^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2}\\x^{4}+y^{4}&=&119x^{2}y^{2}\quad\cdots (3)\end{array}

เก็บพวกสมการที่ \((1),(2)\) และ \((3)\) ไว้ก่อน ต่อไปเรามาดูสิ่งที่โจทย์ให้หา ดูส่วนแรกก่อนนะคับก็คือ

ตัวเศษก่อนจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}&=&x^{4}+y^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}\\&=&x^{4}+y^{4}-3x^{2}y^{2}+xy(x^{2}+y^{2})\\&=&119x^{2}y^{2}-3x^{2}y^{2}+xy(11xy)\\&=&116x^{2}y^{2}+11x^{2}y^{2}\\&=&127x^{2}y^{2}\end{array}

ตัวส่วนจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}&=&x^{4}+y^{4}+5x^{2}y^{2}\\&=&119x^{2}y^{2}+5x^{2}y^{2}\\&=&124x^{2}y^{2}\end{array}

ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}}{x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}}&=&\frac{127x^{2}y^{2}}{124x^{2}y^{2}}\\&=&\frac{127}{124}\end{array}

24. จงหาผลบวกของเลขโดดจากการคำนวณ \((2^{255}\times 5^{256})-1\)

วิธีทำ ข้อนี้ใครยังไม่เข้าใจโจทย์ ยกตัวอย่างให้เห็น เช่น เราทำการคูณกันระหว่างจำนวนสองจำนวนคือ \(12\times 20=240\) 

ผลลัพธ์คือ \(240\) และผลบวกของเลขโดดที่ได้จากการคำนวณคือ \(2+4+0=6\) ข้อนี้ตอบ \(6\) นั่นเองคับ

ต่อไปมาดูวิธีการทำข้อนี้กันเลย แนวคิดคือ ทำเลขยกกำลังที่โจทย์ให้มา ทำฐานให้เป็น 10 ให้ได้คับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(2^{255}\times 5^{256})-1&=&(2^{255}\times \color\red{5^{255}\times 5^{1}})-1\\&=&\left[(2^{255}\times 5^{255})\times 5^{1}\right]-1\\&=&\left[(2\times 5)^{255}\times 5^{1}\right]-1\\&=&[(10^{255}\times 5^{1})-1\\&=&1\underset{255\quad\text{ตัว}}{\underbrace{000\cdots 0}}\times 5^{1}]-1\\&=&[5\underset{255\quad \text{ตัว}}{\underbrace{000\cdots 0}}]-1\\&=&4\underset{255\quad\text{ตัว}}{\underbrace{999\cdots 9}}\end{array}

ดังนั้นผลบวกของเลขโดดจากการคำนวณคือ \(4+(9\times 255)=4+2295=2299\)

35. กำหนดให้ \(a^{3n}=5\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริง  และ \(n\) เป็นจำนวนเต็ม แล้ว \(\frac{a^{4n}+a^{7n}+a^{-5n}}{a^{-2n}+a^{n}}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ  ข้อนี้เราพยายามแยกเลขยกกำลังให้ให้อยู่ในรูป \(a^{3n}\) ให้ได้ เช่น

\(a^{4n}=a^{3n}a^{n}\)

\(a^{7n}=a^{3n}a^{3n}a^{n}\)

\(a^{-5n}=a^{-3n}a^{-3n}a^{n}\)

\(a^{-2n}=a^{-3n}a^{n}\)

ทุกคนน่าจะพอมองเห็นภาพแล้ว เริ่มทำกันเลยครับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{a^{4n}+a^{7n}+a^{-5n}}{a^{-2n}+a^{n}}&=&\frac{a^{3n}a^{n}+a^{3n}a^{3n}a^{n}+a^{-3n}a^{-3n}a^{n}}{a^{-3n}a^{n}+a^{n}}\\&=&\frac{5a^{n}+(5)(5)a^{n}+\frac{1}{5}(\frac{1}{5})a^{n}}{\frac{1}{5}a^{n}+a^{n}}\\&=&\frac{a^{n}(5+25+\frac{1}{25})}{a^{n}(\frac{1}{5}+1)}\\&=&(30+\frac{1}{25})\times \frac{5}{6}\\&=&25+\frac{1}{30}\\&=&\frac{751}{30}\end{array}

1. ผลสำเร็จของ \(\frac{10(2^{n+1})-2^{n+3}}{5(2^{n+1})-24(2^{n-2})}\) เป็นเท่าใด

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

ข้อนี้เป็นข้อสอบที่สอบเข้า ม.4 เตรียมอุดม หลายปีมาแล้วนะคับ น่าจะเป็นปี 2542 เป็นเรื่องเกี่ยวกับเลขยกกำลังคับ มาดูวิธีการทำกันเลย จะใช้วิธีการดึงตัวร่วมนะคับ ก็คือดึง \(2^{n+1}\) ออกมาคับ

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\frac{10(2^{n+1})-2^{n+3}}{5(2^{n+1})-24(2^{n-2})}&=&\frac{2^{n+1}(10-2^{2})}{2^{n+1}(5-24(2^{-3})}\\&=&\frac{6}{5-3}\\&=&3\end{array}

1.จำนวนในข้อใดเท่ากับ \((-5)^{\frac{4}{5}}\) (o-net 63)

1. \(-\sqrt[5]{5^{4}}\)
2. \(-\sqrt[4]{5^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{5^{5}}\)
4. \((\frac{1}{5})^{-\frac{4}{5}}\)
5. \((\frac{1}{5})^{\frac{5}{4}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ใครทำพลาดนะ ไม่น่าให้อภัยตัวเองเป็นที่ยิ่งคับ เอาละไปดูวิธีทำกันเลย คือพยายามจัดรูปให้ตรงกับตัวเลือกให้ได้

\begin{array}{lcl}(-5)^{\frac{4}{5}}&=&\sqrt[5]{-5^{4}}\\&=&\sqrt[5]{5^{4}}\\&=&5^{\frac{4}{5}}\\&=&\left[(\frac{1}{5})^{-1}\right]^{\frac{4}{5}}\\&=&(\frac{1}{5})^{-\frac{4}{5}}\end{array}

2.\(\frac{8^\frac{2}{3}}{\sqrt[4]{144}}\cdot \frac{(18)^\frac{1}{2}}{\sqrt{6}}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 50)

1. \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
2. \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
3. 2
4. 3

วิธีทำ ข้อนี้ไม่พูดมากเจ็บคอ เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}\frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[4]{144}}\cdot\frac{(18)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{6}}&=&\frac{4}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}\\&=&2\end{array}

3.\((\frac{6}{\sqrt{48}}-\sqrt{3})^{2}+(3\sqrt[3]{16}-2\sqrt[3]{54})^{3}\) เท่ากับเท่าใด (o-net 63)

วิธีทำข้อนี้เป็นอัตนัยนะคับ เห็นกำลังสามแล้วอย่างพึ่งท้อนะ และอย่างพึ่งยกกำลังสาม ให้พยายามถอดรากดูก่อนครับ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(\frac{6}{\sqrt{48}}-\sqrt{3})^{2}+(3\sqrt[3]{16}-2\sqrt[3]{54})^{3}&=&(\frac{6}{\sqrt{16\times 3}}-\sqrt{3})^{2}+(3\sqrt[3]{8\times 2}-2\sqrt[3]{27\times 2})^{3}\\&=&(\frac{6}{4\sqrt{3}}-\sqrt{3})^{2}+(3\cdot 2\sqrt[3]{2}-2\cdot 3\sqrt[3]{2})^{3}\\&=&(\frac{3}{2\sqrt{3}}-\sqrt{3})^{2}+0\\&=&(\frac{3\sqrt{3}}{6}-\sqrt{3})^{2}\\&=&(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})^{2}\\&=&\frac{3}{4}\end{array}

4. จำนวนจริง \(\sqrt{84+18\sqrt{3}}\) มีค่าเท่าใด (o-net 59)

1. \(4+3\sqrt{3}\)
2. \(5+2\sqrt{2}\)
3. \(6+2\sqrt{3}\)
4. \(9+\sqrt{3}\)
5. \(10+\sqrt{3}\)

วิธีทำ ข้อนี้ผมอยากให้ทุกคนไปอ่านที่ลิงก์นี้ก่อนแล้วค่อยทำครับ รูทซ้อนรูท  ก็คือพยายามจัดรูปพจน์ที่เขาให้มาให้อยู่ในรรูปของ \(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\) ก่อน เริ่มทำเลยครับ

\begin{array}{lcl}\sqrt{84+18\sqrt{3}}&=&\sqrt{84+2\times 9\sqrt{3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{9^{2}\times 3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{81\times 3}}\\&=&\sqrt{84+2\sqrt{243}}\end{array}

ต่อไปหาตัวเลขมา 2 ตัวครับที่ บวกกันได้ \(84\) และ คูณกันได้ \(243\) จะเห็นได้ว่า

\(81+3=84\)

\(81\times 3=243\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\sqrt{84+2\sqrt{243}}&=&\sqrt{81}+\sqrt{3}\\&=&9+\sqrt{3}\quad\underline{Ans}\end{array}

5. ถ้า \(a=-5\) และ \(b=8\) แล้ว \(\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}\) มีค่าเท่าใด (o-net 59)

1. 10
2. -10
3. 20
4. -15
5. -40

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราคิดเล่นๆนะค่านี้ \(\sqrt[6]{a^{2}b}\) มีค่ามากกว่าเท่ากับ \(0\) แน่นอนเพราะเป็นรากคู่ และ

\(\sqrt[6]{a^{4}b}\) ก็มีค่ามากกว่าเท่ากับ \(0\) เพราะว่าเป็นรากคู่ ถ้าเอาสองก้อนนี้มาคูณกัน ต้องได้ค่า เป็นบวก หรือไม่ก็ \(0\)

ตัวเลือกที่ติดลบตัดทิ้งได้เลยครับ

\begin{array}{lcl}\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}&=&\sqrt[6]{(-5)^{2}\cdot 8}\sqrt[6]{(-5)^{4}\cdot 8}\\&=&\sqrt[6]{(-5)^{6}8^{2}}\\&=&\sqrt[6]{5^{6}8^{2}}\\&=&\left(5^{6}\cdot 8^{2}\right)^{\frac{1}{6}}\\&=&5^{6\times\frac{1}{6}}\cdot 8^{2\times \frac{1}{6}}\\&=&5\times 8^{\frac{1}{3}}\\&=&5\times 2\\&=&10\end{array}

6. ถ้า \(x=1+\sqrt{3}\) แล้ว \(\frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}\) เท่ากับเท่าใด  (o-net 59)

1. \(1+\sqrt{3}\)
2. \((1+\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}\)
3. \((1+\sqrt{3})^{-\frac{1}{2}}\)
4. \((1+\sqrt{3})^{-1}\)
5. \((1+\sqrt{3})^{-\frac{3}{2}}\)

วิธีทำ   ข้อนี้ถ้าทำแบบตรงๆ ยากวุ่นวายแน่นอนครับ ดังนั้นต้องจัดรูปหาอะไร มาคูณเข้าก่อนคับ เริ่มทำเลยนะคับ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}&=&\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^\frac{1}{2}}}\times \frac{x^{\frac{1}{2}}-\sqrt{3}x^{-\frac{1}{2}}}{x}\\&=&\frac{x-\sqrt{3}}{x^{\frac{3}{2}}}\\&=&\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}}\\&=&\frac{1}{(1+\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}}\\&=&(1+\sqrt{3})^{-\frac{3}{2}}\end{array}

7. ถ้า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ \((4^{x})^{2x-1}=\frac{(16)^{4}}{2^{2x}}\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 59)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไร เป็นการแก้สมการเลขยกกำลัง คือต้องทำฐานทั้งสองข้างของสมการให้เท่ากัน ข้อนี้คือทำฐานให้เท่ากับ \(4\) นั่นเองครับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(4^{x})^{2x-1}&=&\frac{(16)^{4}}{2^{2x}}\\4^{2x^{2}-x}&=&\frac{(4^{2})^{4}}{4^{x}}\\4^{2x^{2}-x}&=&4^{8-x}\\so\\2x^{2}-x&=&8-x\\2x^{2}-8&=&0\\x^{2}-4&=&0\\x^{2}&=&4\\x&=&\pm 2\end{array}

แต่โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)

8. ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว \(\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58)

1. \(a^{\frac{1}{9}}\)
2. \(a^{\frac{2}{9}}\)
3. \(a^{\frac{4}{9}}\)
4. \(a^{\frac{5}{9}}\)
5. \(a^{\frac{7}{9}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ได้ใช้ความรู้อะไรมากมาย อาศัยความรู้แค่การเปลี่ยนจาก ราก ให้เป็นเลขยกกำลัง เช่น

\(\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[6]{a}=a^{\frac{1}{6}}\) 

เริ่มทำกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}&=&\left(aa^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&\left(a^{1+\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&\left(a^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&a^{\frac{4}{3}\times \frac{1}{3}}\\&=&a^{\frac{4}{9}}\end{array}

9. ให้ \(A=2^{\frac{3}{2}},B=3^{\frac{2}{3}}\) และ \(C=216^{\frac{1}{6}}\) ข้อใดถูกต้อง  (o-net 58)

1. \(A<B<C\)
2. \(A<C<B\)
3. \(B<A<C\)
4. \(B<C<A\)
5. \(C<B<A\)

วิธีทำ  ข้อนี้เขาให้เราเปรียบเทียบจำนวน ถ้าเราสังเกตดีที่เลขชี้กำลังเขาจะใบ้ให้เรานิดหนึ่งก็คือตัองทำส่วนให้เป็น \(6\) เริ่มกันกันเลย

\(A=2^{\frac{3}{2}\times\color{red}{\frac{3}{3}}}=2^{\frac{9}{6}}=(2^{9})^{\frac{1}{6}}=512^{\frac{1}{6}}\)

\(B=2^{\frac{2}{3}\times\color{red}{\frac{2}{2}}}=3^{\frac{4}{6}}=(3^{4})^{\frac{1}{6}}=81^{\frac{1}{6}}\)

\(C=(216)^{\frac{1}{6}}\)

จะเห็นว่าตอนนี้เลขชี้กำลังเท่ากันแล้ว ดังนั้นเราสามารถเปรียบเทียบกันได้แล้ว ก็คือ

\(81^{\frac{1}{6}}<216^{\frac{1}{6}}<512^{\frac{1}{6}}\)  นั่นก็คือ  \(B<C<A\)  ครับ

10. ค่าของ \(\sqrt{5+\sqrt{24}}-\sqrt{18}+\sqrt{12}\) อยู่ในช่วงใด (o-net 58)

1. (2.2,2.3)
2. (2.3,2.4)
3. (2.4,2.5)
4. (2.5,2.6)
5. (2.6,2.7)

วิธีทำ ข้อนี้การที่จะหาค่าของ \(\sqrt{5+\sqrt{24}}\) ให้ไปดูที่ลิงก์นี้ก่อนนะคับไปอ่านทำความเข้าใจเอง รูทซ้อนรูท  เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}\sqrt{5+\sqrt{24}}-\sqrt{18}+\sqrt{12}&=&\sqrt{3}+\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\\&=&3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\\&=&(3\times 1.732)-(2\times 1.414)\\&=&5.196-2.832\\&=&2.368\end{array}

จะเห็นว่า \(2.368\in (2.3,2.4)\) 

อย่างน้อยข้อนี้ ทุกคนต้องรู้ว่า \(\sqrt{3}\approx 1.732\) และ \(\sqrt{2}\approx 1.414\)

11. ถ้า \(a=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) แล้ว \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\) มีค่าเท่าใด (o-net 58)

1. \(10\)
2. \(20\sqrt{6}\)
3. \(40\sqrt{6}\)
4. \(49\)
5. \(98\)

วิธีทำ ข้อนี้แนะนำให้ไปดูเรื่องนี้ก่อน ทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ อ่านให้เข้าใจก่อน

ขั้นตอนแรกคือเราต้องจัดรูป \(a\) ก่อน คือทำตัวส่วนของ\(a\) ไม่ให้ติดกรณฑ์

\(a=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \color{red}{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=5+2\sqrt{6}\)

\(\frac{1}{a}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}\times \color{red}{\frac{5-2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}}=5-2\sqrt{6}\)

ต่อไปพิจารณา

\begin{array}{lcl}\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}&=&a^{2}+2(a)(\frac{1}{a})+\frac{1}{a^{2}}\\\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}&=&a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}\\\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-2&=&a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\\so\\a^{2}+\frac{1}{a^{2}}&=&\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-2\\a^{2}-\frac{1}{a^{2}}&=&\left(5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}\right)^{2}-2\\a^{2}+\frac{1}{a^{2}}&=&10^{2}-2\\&=&98\end{array}

12. ให้ \(A=2^{\frac{5}{6}},B=3^{\frac{1}{2}}\) และ \(C=5^{\frac{1}{3}}\) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (o-net 57)

1. \(A<B<C\)
2. \(B<A<C\)
3. \(B<C<A\)
4. \(C<A<B\)
5. \(C<B<A\)

วิธีทำ ข้อนี้คือให้เราเปรียบเทียบจำนวน  การทำข้อนี้คือไปทำที่เลขชี้กำลังครับคือทำเลขชี้กำลังให้กลายเป็น \(\frac{1}{6}\) ให้หมดเลย สังเกตดูดีๆคับ เริ่มเลย

\(A=2^{\frac{5}{6}}=(2^{5})^{\frac{1}{6}}=32^{\frac{1}{6}}\)

\(B=3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}\times \color{red}{\frac{3}{3}}}=3^{\frac{3}{6}}=(3^{3})^{\frac{1}{6}}=27^{\frac{1}{6}}\)

\(C=5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}\times \color{red}{\frac{2}{2}}}=5^{\frac{2}{6}}=(5^{2})^{\frac{1}{6}}=25^{\frac{1}{6}}\)

จะเห็นได้ว่า

\(25^{\frac{1}{6}}<27^{\frac{1}{6}}<32^{\frac{1}{6}}\)  ก็คือ \(C<B<A\)

13. ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(2^{x^{2}}=16\) และ \(-3\leq y \leq x\) แล้ว ค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(xy\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58)

วิธีทำ ข้อนี้เราก็แก้สมการหาค่าของ \(x\) ก่อนคับ

\begin{array}{lcl}2^{x^{2}}&=&16\\2^{x^{2}}&=&2^{4}\\so\\x^{2}&=&4\\x&=&2,\quad  -2\end{array}

จะเห็นว่าตอนนี้ค่า \(x\) ที่เราได้มี 2 ค่าครับ จะพิจาณาทีละค่าเพื่อหาค่าของ \(xy\) ที่มีค่ามากที่สุด

1) กรณีค่า \(x=-2\) ดูภาพประกอบ

จากรูปจะเห็นว่าถ้าเราเลือก \(y=-3\) เราจะได้ค่า \(xy\) มากสุดคือ \(xy=(-2)(-3)=6\)

2) กรณีค่า \(x=2\) ดูภาพประกอบ

จากรูปจะเห็นว่าไม่ว่าเราจะเลือกค่า \(y\) เป็นเท่าใดก็ตามเมื่อเอามาคูณกับ \(x\) ก็ไม่มีทางมากกว่า \(6\) แน่นอน ดังนั้นค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(xy\) คือ \(6\) นั่นเองคับ

14. ถ้า \(a=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\) แล้ว \(\sqrt{a+\frac{1}{a}-2}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 57)

1. \(3\)
2. \(4\)
3. \(\sqrt{9+4\sqrt{5}}\)
4. \(3\sqrt{2}\)
5. \(4\sqrt{5}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ได้ใช้ความรู้อะไรมากมาย แค่มีความรู้เรื่องนี้ ทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ ก็เพียงพอในการทำข้อนี้แล้วครับ เริ่มทำเลย จัดรูป \(a\) ให้สวยงามก่อน

\(a=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\times \color{red}{\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}}=9+4\sqrt{5}\)

\(\frac{1}{a}=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}\times \color{red}{\frac{9-4\sqrt{5}}{9-4\sqrt{5}}}=9-4\sqrt{5}\)

ตอนนี้เราได้ค่า \(a\) และ \(\frac{1}{a}\) แล้ว ดังนั้นหาคำตอบได้แล้วคับ

\begin{array}{lcl}\sqrt{a+\frac{1}{a}-2}&=&\sqrt{9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}-2}\\&=&\sqrt{9+9-2}\\&=&\sqrt{18-2}\\&=&\sqrt{16}\\&=&4\end{array}

15. ถ้า \(A=\{x|9^{x^{2}}=(1+\sqrt[3]{8})^{x}\}\) แล้วผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน \(A\) มีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57)

1. \(-\frac{1}{2}\)
2. \(0\)
3. \(\frac{1}{2}\)
4. \(1\)
5. \(\frac{3}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก ก็สมการเลขยกกำลังเพื่อหาค่า \(x\) ก็เท่านั้นเองครับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}9^{x^{2}}=(1+\sqrt[3]{8})^{x}\\(3^{2})^{x^{2}}&=&(1+2)^{x}\\3^{2x^{2}}=3^{x}\\so\\ 2x^{2}&=&x\\2x^{2}-x&=&0\\x(2x-1)&=&0\\so\\x=0\quad ,x=\frac{1}{2}\end{array}

ดังนั้น \(A\) มีสมาชิก 2 ตัว คือ \(A=\{0,\frac{1}{2}\}\) นั่นคือผลบวกของสมาชิกใน \(A\) คือ \(0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

16. ถ้า \(64^{k}=16\) แล้ว \(8^{k}+8^{-k}\) มีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57)

1. \(0\)
2. \(\frac{5}{4}\)
3. \(\frac{5}{2}\)
4. \(\frac{17}{4}\)
5. \(\frac{65}{8}\)

วิธีทำ แก้สมการเลขยกกำลังเพื่อหาค่า \(k\) ครับ ไม่ได้มีอะไรซับซ้อน เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}64^{k}&=&16\\2^{6k}&=&2^{4}\\so\\ 6k&=&4\\k&=&\frac{4}{6}\\k&=&\frac{2}{3}\end{array}

ตอนนี้ได้ค่า \(k\) แล้ว ไปหาคำตอบได้เลย

\begin{array}{lcl} 8^{k}+8^{-k}&=&2^{3k}+2^{-3k}\\&=&2^{3\times\frac{2}{3}}+2^{-3\times \frac{2}{3}}\\&=&2^{2}+2^{-2}\\&=&4+\frac{1}{4}\\&=&\frac{17}{4}\end{array}

การที่จะทำโจทย์เลขยกกำลังได้เราจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับ ทฤษฎีของเลขยกกำลัง ครับซึ่งสามารถหา

อ่านได้ ตามลิงค์นี้ครับ ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกำลัง ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกกำลังมีทั้งหมด 5 ข้อ น่ะครับ ต้องจำให้ได้ทั้งหมดทั้ง 5 ข้อเลยน่ะครับ เรื่องนี้เป็นเรื่องที่ไม่ยากครับ ต้องหัดทำโจทย์เยอะๆ เวลาเราไปโจทย์โจทย์เราต้องพิจารณาโจทย์ดูว่าจะใช้ทฤษฎีข้อไหนมาช่วยในการทำโจทย์ ต้องเลือกให้ถูกน่ะครับ ถ้าเลือกถูกก็จะแก้โจทย์ได้แบบง่ายๆครับ  ไม่ยากเลย หัดทำไปเรื่อยๆ ครับ มาลองทำโจทย์กันเลย...

บทความนี้ผมตั้งใจเขียนขึ้นมาเพิ่มเติม เพราะเห็นว่าบทความเก่าที่เขียนยังไม่ครอบคลุมเท่าที่ควร ผมก็เลยตั้งใจเขียนขึ้นมาอีกเพราะตอนนี้ไม่ค่อยได้ออกกำลังกายตอนเย็นฝนตกก็เลยพอมีเวลาว่าง สำหรับใครที่อ่านก็ทำความเข้าใจไปด้วยนะครับ อย่างอ่านแค่ผ่านๆ ตรงไหนที่ไม่เข้าใจก็อีเมล์ถามได้   หรือสามารถหาข้อมูลเพิ่มได้ถ้าไม่เข้าใจตรงไหน...เริ่มกันเลยครับ

ปล.สามารถอ่านเกี่ยวกับการทำโจทย์เลขยกกำลัง ม.5 ได้อีกที่ลิงค์นี้ครับ โจทย์เลขยกกำลัง ม.5

ตัวอย่าง กำหนด n เป็นจำนวนเต็มบวก ในแต่ละข้อจงเขียนให้เป็นรูปอย่างง่าย

\(1) \quad \frac{2^{n+4}- 2(2^{n})}{2(2^{n+3})}\)

วิธีทำ การทำข้อนี้ให้พวกเราใช้ ทฤษฎีเลขยกกำลังข้อนี้ จำได้ไหมเอ่ย  คือ \(a^{m+n}=a^{m}a^{n}\)

ดังนั้น \(2^{n+4}=2^{n}2^{4}\)  เข้าใจไหม ถ้าเข้าใจลองแยกตัวอื่นต่อเลย

 จากโจทย์

\(\quad \frac{2^{n+4}- 2(2^{n})}{2(2^{n+3})}\)

\(=\frac{2^{n}2^{4}-2\cdot 2^{n}}{2\cdot 2^{n}\cdot 2^{3}}\)        เห็นตัวร่วมไหมตัวร่วมคือสองกำลังเอ็นดึงตัวร่วมออกมาเลยนะ

\(=\frac{2^{n}(2^{4}-2)}{2\cdot 2^{n}\cdot 2^{3}}\)      มีตัวตัดทอนกันได้คือสองกำลังเอ็นตัดเลยนะ

\(=\frac{2^{4}-2}{2\cdot 2^{3}}\)

\(=\frac{16-2}{2^{4}}\)

\(=\frac{14}{16}\)      ตัดทอน

\(=\frac{7}{8} \quad Ans\)