20. เศษจากการหาร \(16^{101}+8^{101}+4^{101}+2^{101}+1\) ด้วย  \(2^{100}+1\) เท่ากับข้อใด

1. 10
2. 11
3. 12
4. 13

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับ ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) 

แต่ก่อนที่จะทำ ควรจัดรูปก่อน ใครที่ไม่เคยทำโจทย์แนวนี้ก็ ลองๆอ่านทำความเข้าใจดูนะคับว่ามีขั้นตอนการทำอย่างไร และก็ไปอ่านทฤษฏีบทเศษเหลือด้วย 

จากโจทย์ตัวหารคือ \(2^{100}+1\) 

ผมให้ \(\color\red{2^{100}=x}\) ดังนั้น ตัวหารของเราก็คือ \(x+1\) นั่นเอง ผมพยายามโยงให้เข้าหา ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) 

ต่อไป ก็เอาตัวตั้งก็คือ \(16^{101}+8^{101}+4^{101}+2^{101}+1\) มาจัดรูป  จัดไปทีละพจน์นะคับจะได้

\(16^{101}=(2^{4})^{101}=(2^{101})^{4}=(2\cdot 2^{100})^{4}=(2\cdot x)^{4}=2^{4}\cdot x^{4}\)

\(8^{101}=(2^{3})^{101}=(2^{101})^{3}=(2\cdot 2^{100})^{3}=(2\cdot x)^{3}=2^{3}\cdot x^{3}\)

\(4^{101}=(2^{2})^{101}=(2^{101})^{2}=(2\cdot 2^{100})^{2}=(2\cdot x)^{2}=2^{2}\cdot x^{2}\)

\(2^{101}=(2\cdot 2^{100})=2\cdot x)\)

ซึ่งเราจะได้ว่าเขาให้เราหารเศษจากการหาร \(2^{4}x^{4}+2^{3}x^{3}+2^{2}x^{2}+2x+1\) ด้วย \(x+1\) นั่นเอง

เราให้

\(P(x)=2^{4}x^{4}+2^{3}x^{3}+2^{2}x^{2}+2x+1\)

ดังนั้นเศษเหลือก็คือ

\begin{array}{lcl}P(-1)&=&2^{4}(-1)^{4}+2^{3}(-1)^{3}+2^{2}(-1)^{2}+2(-1)+1\\&=&16(-1)^{4}+8(-1)^{3}+4(-1)^{2}+2(-1)+1\\&=&16-8+4-2+1\\&=&11\end{array}

51. กำหนดให้ \(x+1\) และ \(x-1\) เป็นตัวประกอบของพหุนาม \(p(x)=3x^{3}+x^{2}-ax+b\) เมื่อ \(a,b\) เป็นค่าคงตัว เศษเหลือที่ได้จากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(x-a-b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Entrance คณิตศาสตร์ 1 สอบเมื่อ 13 มี.ค.44)

1. 15
2. 17
3. 19
4. 21

ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) ใครที่อยากอ่านก็ตามลิงก์ครับ 

วิธีทำ โจทย์บอกว่า \(x+1\) เป็นตัวประกอบของพหุนาม \(p(x)=3x^{3}+x^{2}-ax+b\)  นั่นหมายความว่า \(p(-1)=0\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}p(x)&=&3x^{3}+x^{2}-ax+b\\p(-1)&=&3(-1)^{3}+(-1)^{2}-a(-1)+b\\0&=&-3+1+a+b\\\color{red}{a+b}&=&\color{red}{2\quad\cdots (1)}\end{array}

โจทย์บอกว่า \(x-1\) เป็นตัวประกอบของพหุนาม \(p(x)=3x^{3}+x^{2}-ax+b\)  นั่นหมายความว่า \(p(1)=0\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}p(x)&=&3x^{3}+x^{2}-ax+b\\p(1)&=&3(1)^{3}+(1)^{2}-a(1)+b\\0&=&3+1-a+b\\\color{green}{b-a}&=&\color{green}{-4\quad\cdots (2)}\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราสามารถหาค่าของ \(a,b\) ได้จากสองสมการนี้ครับ ก็คือ นำสมการ \((1)+(2)\) จะได้

\begin{array}{lcl} (a+b)+(b-a)&=&2+(-4)\\2b&=&-2\\b&=&-1\end{array}

แทน \(b=-1\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}a+(-1)&=&2\\a&=&3\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า \(a=3\quad , b=-1\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}x-a-b&=&x-3-(-1)&=&x-2\end{array}

ดังนั้นเศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(x-a-b\) ก็คือหารด้วย \(x-2\) นั่นเอง ก็คือ \(p(2)\) ครับ ได้ว่า

\begin{array}{lcl}p(x)&=&3x^{3}+x^{2}-ax+b\\p(x)&=&3x^{3}+x^{2}-3x-1\\p(2)&=&3(2)^{3}+(2)^{2}-3(2)-1\\p(2)&=&24+4-6-1\\p(2)&=&21\quad \underline{Ans}\end{array}

53. ให้ \(p(x)=x^{3}+(k-1)x^{2}-k^{3}\) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนจริงลบ ถ้าเศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(x-3\) เท่ากับ \(18\) แล้วเศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(2x+1\) เท่ากับเท่าใด

1. \(3\)
2. \(18\)
3. \(22\)
4. \(\frac{207}{8}\)
5. \(\frac{209}{8}\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับเนื่องจากโจทย์บอกว่า เศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(x-3\) เท่ากับ \(18\) นั่นก็คือ \(p(3)=18\) นั่นเองครับผม เริ่มทำเลยครับ ค่อยๆดูนะ ข้อนี้ไม่ยาก

\begin{array}{lcl}p(x)&=&x^{3}+(k-1)x^{2}-k^{3}\\p(3)&=&3^{3}+(k-1)3^{2}-k^{3}\\18&=&27+9k-9-k^{3}\\-k^{3}+9k&=&18-27+9\\-k^{3}+9k&=&0\\k^{3}-9k&=&0\\k(k^{2}-9)&=&0\\so\\k=0\\or\\k^{2}=9\rightarrow k=3,-3\end{array}

เนื่องจากโจทย์บอกว่า \(k\) เป็นจำนวนจริงลบ ดั้งนั้น \(k=-3\) นั่นเองคับ

ตอนนี้เราได้ค่า \(k\) แล้วดังนั้นเราสามารถหาเศษเหลือได้ที่โจทย์ถามได้เลยครับ  โจทย์ให้หา เศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(2x+1\) นั่นคือให้หา \(p(-\frac{1}{2})\) นั่นเองคับ  เริ่มหาเลย

\begin{array}{lcl}p(x)&=&x^{3}+(k-1)x^{2}-k^{3}\\p(x)&=&x^{3}+(-3-1)x^{2}-(-3)^{3}\\p(x)&=&x^{3}-4x^{2}+27\\p(-\frac{1}{2})&=&(-\frac{1}{2})^{3}-4(-\frac{1}{2})^{2}+27\\&=&-\frac{1}{8}-(4)(\frac{1}{4})+27\\&=&-\frac{1}{8}-1+27\\&=&\frac{207}{8}\end{array}

69.ให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ \(x^{2}+ax+b\) หาร \(x^{3}-3x^{2}+5x+7\) มีเศษเหลือเท่ากับ \(10\) ค่า \(a+b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

วิธีทำ ข้อนี้ต้องกลับไปดูพื้นฐานของการหารเช่น ผมเอา \(9\div 2\) จะได้คำตอบคือ ได้ \(4\) เศษ 1 ซึ่งถ้าเราเขียนให้อยู่ในรูปสมการได้คือ

\[9=(4\times 2)+1\]  นั่นคือ

ตัวตั้ง เท่ากับ (ตัวหาร\(\times\) ผลลัพธ์) + เศษ

ดังนั้นจากโจทย์จะได้

\begin{array}{lcl}x^{3}-3x^{2}+5x+7&=&(x^{2}+ax+b\times \square )+10\\x^{3}-3x^{2}+5x-3&=&x^{2}+ax+b\times \square\end{array}

ต่อไปให้นำ \(x^{3}-3x^{2}+5x-3\) ไปแยกตัวประกอบ จะเห็นได้ว่า

ให้ \(P(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-3\)

\(P(1)=1-3+5-3=0\) นั่นคือ \(x^{3}-3x^{2}+5x-3\) หารด้วย \(x-1\) ลงตัว ก็ไปหารสังเคราะห์เลย การหารสังเคราะห์ไปอ่านตามลิงก์ที่ผมให้นะคับ ไปศึกษาเอง หลังจากหารสังเคราะห์เสร็จแล้ว เราจะได้ว่า \(x^{3}-3x^{2}+5x-3=(x^{2}-2x+3)(x-1)\)

นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}x^{3}-3x^{2}+5x+7&=&(x^{2}+ax+b\times \square )+10\\x^{3}-3x^{2}+5x-3&=&x^{2}+ax+b\times \square\\(x^{2}-2x+3)(x-1)&=&(x^{2}+ax+b)\times\square\quad\cdots (1)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) เราทำต่อไม่ได้แล้วคือแยกตัวประกอบต่อไปไม่ได้แล้ว ดังนั้นเราก็เทียบสัมประสิทธิ์เพื่อหาค่าของ \(a\) และ \(b\) กันเลย จึงได้ว่า \(a=-2\) และ \(b=3\)

ดังนั้น \(a+b=-2+3=1\)

1. กำหนดให้  \(P(x)=ax^{2}+9x-5\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(x-1\) หาร \(P(x)\) แล้วเหลือเศษ \(6\)  รากที่เป็นจำนวนจริงบวกของสมการ \(P(x)=0\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ \(P(x)\) หารด้วย \(x-1\) แล้วเหลือเศษ \(6\) นั่นหมายความว่า \(P(1)=6\) นั่นเองครับ ซึ่งจากสมการนี้เราจะสามารถหาค่า \(a\) ได้

\begin{array}{lcl}P(x)&=&ax^{2}+9x-5\\P(1)&=a(1)^{2}+9(1)-5\\6&=&a+9-5\\6&=&a+4\\a&=&2\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า \(a=2\) ดังนั้น

\(P(x)=2x^{2}+9x-5\) และ \(P(x)=0\) ก็คือ \(2x^{2}+9x-5=0\) เราก็แก้สมการนี้เพื่อหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}2x^{2}+9x-5&=&0\\(2x-1)(x+5)&=&0\\so\\x&=&\frac{1}{2},\quad -5\end{array}

แต่โจทย์ให้หารากที่เป็นจำนวนจริงบวก ก็คือให้หาคำตอบที่เป็นบวกเท่านั้นดังนั้นข้อนี้ตอบ \(x=\frac{1}{2}=0.5\)

2. ถ้า \(a\) เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง \(x-a\) หาร \(x^{2}-x-17\) เหลือเศษ \(3\) แล้ว \(x+a^{2}\) หาร \(x^{2}+ax\) จะเหลือเศษเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆนะคับ เห็นว่าโจทย์คล้ายกับพวกวิชาสามัญ คล้ายๆกับพวก A-level ก็เลยเอาให้ดูครับ ข้อสอบพวกทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) พวกทฤษฎีจำนวนไม่ยากคับ แนวข้อสอบคล้ายกันเลย ไปลองทำดูเลยคับ

\begin{array}{lcl}P(x)&=&x^{2}-x-17\\P(a)&=&a^{2}-a-17\end{array}

เนื่องจาก \(x-a\) หาร \(x^{2}-x-17\) เหลือเศษ \(3\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}a^{2}-a-17&=&3\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&0\\a&=&5,-4\\a\in I^{+}\\so\\a&=&5\end{array}

ต่อไปจะได้ว่า \(x+a^{2}=x+5^{2}=x+25\) นั่นเองคับ

โจทย์ถามว่า \(x+a^{2}\) หาร \(x^{2}+ax\) แล้วเหลือเศษเท่าใด ก็คือถามหา \(P(-25)\) นั่นเองคับ เริ่มหาคำตอบเลย

\begin{array}{lcl}P(x)&=&x^{2}+ax\\P(x)&=&x^{2}+5x\\P(-25)&=&(-25)^{2}+5(-25)\\P(-25)&=&625-125\\P(-25)&=&500\quad\underline{Ans}\end{array}

3.ให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ \(x^{2}+ax+b\) หาร \(x^{3}-3x^{2}+5x+7\) มีเศษเหลือเท่ากับ \(10\) ค่า \(a+b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

วิธีทำ ข้อนี้ต้องกลับไปดูพื้นฐานของการหารเช่น ผมเอา \(9\div 2\) จะได้คำตอบคือ ได้ \(4\) เศษ 1 ซึ่งถ้าเราเขียนให้อยู่ในรูปสมการได้คือ

\[9=(4\times 2)+1\]  นั่นคือ

ตัวตั้ง เท่ากับ (ตัวหาร\(\times\) ผลลัพธ์) + เศษ

ดังนั้นจากโจทย์จะได้

\begin{array}{lcl}x^{3}-3x^{2}+5x+7&=&(x^{2}+ax+b\times \square )+10\\x^{3}-3x^{2}+5x-3&=&x^{2}+ax+b\times \square\end{array}

ต่อไปให้นำ \(x^{3}-3x^{2}+5x-3\) ไปแยกตัวประกอบ จะเห็นได้ว่า

ให้ \(P(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-3\)

\(P(1)=1-3+5-3=0\) นั่นคือ \(x^{3}-3x^{2}+5x-3\) หารด้วย \(x-1\) ลงตัว ก็ไปหารสังเคราะห์เลย การหารสังเคราะห์ไปอ่านตามลิงก์ที่ผมให้นะคับ ไปศึกษาเอง หลังจากหารสังเคราะห์เสร็จแล้ว เราจะได้ว่า \(x^{3}-3x^{2}+5x-3=(x^{2}-2x+3)(x-1)\)

นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}x^{3}-3x^{2}+5x+7&=&(x^{2}+ax+b\times \square )+10\\x^{3}-3x^{2}+5x-3&=&x^{2}+ax+b\times \square\\(x^{2}-2x+3)(x-1)&=&(x^{2}+ax+b)\times\square\quad\cdots (1)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) เราทำต่อไม่ได้แล้วคือแยกตัวประกอบต่อไปไม่ได้แล้ว ดังนั้นเราก็เทียบสัมประสิทธิ์เพื่อหาค่าของ \(a\) และ \(b\) กันเลย จึงได้ว่า \(a=-2\) และ \(b=3\)

ดังนั้น \(a+b=-2+3=1\)