วันนี้จะกล่างถึงประเภทต่างๆของเมทริกซ์ ซึ่งมีหลายประเภทมากๆจำเป็นต้องเรียนรู้เพื่อเป็นพื้นฐานในการเรียนเนื้อหาในระดับที่สูงๆขึ้นไป เราไปดูกันเลยว่ามี เมทริกซ์อะไรบ้าง

ก่อนที่จะรู้จักประเภทของเมทริกซ์มาดูนิยามของ เมทริกซ์ กันก่อนครับ

Definition  In mathematics , a matrix is a rectangular array of mumber such as

\(\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&5\\6&19\\4&8\end{bmatrix},\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix} \)

ข้างบนเป็นนิยามของเมทริกซ์ในภาษาอังกฤษ ถ้าแปลเป็นภาษาชาวบ้านให้เข้าใจง่ายๆ

เมทริกซ์คือ จำนวนต่างๆที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยม เช่น

\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix}  หรือ

\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix}  

เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์หมด ใช้สัญลักษณ์ \(\underline{0}_{m\times n}\) หรือ \(\underline{0}\) แทนเมทริกซ์ศูนย์   ตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติต่างๆ  เช่น

\(\begin{bmatrix}0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)

เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวและในแต่ละหลักเท่ากัน เช่น

\(\begin{bmatrix}1&3\\4&7\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\) ก็คือมี 2 แถวและ 2 หลัก เท่ากัน

\(\begin{bmatrix}3&1&1\\6&4&1\\9&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)  ก็คือมี 3 แถวและ 3 หลักเท่ากัน

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix)  คือ เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักเป็น 1 นอกนั้นสมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์ทุกตัว เช่น

\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\)

\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)

เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangle matrix) แบ่งออกเป็น

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน  เช่น

\(\begin{bmatrix}2&3&4\\0&2&8\\0&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง เช่น

\(\begin{bmatrix}2&0&0\\2&3&0\\3&4&3\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)

ไดอาโกนัลเมทริกซ์ (Diagonal matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักไม่เป็นศูนย์  สมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์หมด เช่น

\(\begin{bmatrix}3&0\\0&4\end{bmatrix}\)  มีมิติ \(2\times 2\)

\(\begin{bmatrix}2&0&0\\0&4&0\\0&0&8\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)

\(\begin{bmatrix}8&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&8&0\\0&0&0&12\end{bmatrix}\) มีมิติ \(4\times 4\)

เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) หมายถึงเมทริกซ์ที่สลับที่ในระหว่างแถวกับหลักที่สมนัยกันแล้วยังคงเป็นเมทริกซ์เดิม เช่น

\(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\) 

\(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\)

38. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมตริกซ์มิติ \(3\times 3\)

ถ้า \(det(A)=-3\)  และ

\(A^{t}B-2A^{t}C^{t}=-3A^{-1}\)

แล้ว \(det(2C-B^{t})\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -3
2. -1
3. 1
4. 3

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สมบัติของทรานโพส และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ คือ

\((A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\)

\((A-B)^{t}=A^{t}-B^{t}\)

\(det(cA)=c^{n}det(A)\)

\(det(A^{t})=det(A)\)

\((cA)^{t}=cA^{t}\)

  ใช้สมบัติพวกนี้แหละคับ  เริ่มทำเลยนะคับ

\begin{array}{lcl}A^{t}B-2A^{t}C^{t}&=&-3A^{-1}\\A^{t}(B-2C^{t})&=&-3A^{-1}\\det[A^{t}(B-2C^{t})]&=&det(-3A^{-1})\\det(A^{t})det(B-2C^{t})&=&(-3)^{3}det(A^{-1})\\det(A)det(B-2C^{t})&=&(-27)\frac{1}{det(A)}\\(-3)det(B-2C^{t})&=&(-27)\frac{1}{-3}\\det(B-2C^{t})&=&\frac{-27}{(-3)\times (-3)}\\det(B-2C^{t})&=&\frac{-27}{9}\\det(B^{t}-2C)^{t}&=&-3\\det(B^{t}-2C)&=&-3\\det[-(2C-B^{t})]&=&-3\\(-1)^{3}det(2C-B^{t})&=&-3\\det(2C-B^{t})&=&\frac{-3}{-1}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}

39.กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}a&1\\0&b\end{bmatrix}\)  โดยที่ \(a,b\) เป็นจำนวนจริง ซึ่ง \(a>b\)  

ถ้า  \(det(AB^{-1})=\frac{2}{5}\) และ \(a+b=4\)  แล้ว \(det(A+B^{t})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -10
2. -7
3. 7
4. 10

วิธีทำ

ข้อนี้เขากำหนดเมทริกซ์ \(A\) มีให้แล้วหา \(det(A)\) ไว้ก่อนเลย ได้ใช้แน่นอนคับจะได้

\(det(A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2\)

จาก \(det(AB^{-1})=\frac{2}{5}\) จะได้

\begin{array}{lcl}det(A)det(B^{-1})&=&\frac{2}{5}\\det(A)\frac{1}{det(B)}&=&\frac{2}{5}\\det(B)&=&\frac{5}{2}det(A)\\det(B)&=&\frac{5}{2}\times (-2)\\det(B)&=&-5\quad\cdots (1)\end{array}

เห็นที่โจทย์กำหนดเมทริกซ์ \(B\) ให้ไหมคับ จะได้ \(det(B)=(a)(b)-(1)(0)=ab\) กลับไปดูสมการที่ \((1)\) จะได้ว่า

\(ab=-5\) ดังนั้นตอนนี้ที่เราได้คือ 

\[ab=-5\quad\cdots (2)\]

\[a+b=4\quad\cdots (3)\] 

แก้สมการเลยครับ จากสมการที่ \((3)\) จะได้ \(a=4-b\)  ต่อไปนำ \(a=4-b\) ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}ab&=&-5\\(4-b)b&=&-5\\4b-b^{2}&=&-5\\-b^{2}+4b+5&=&0\\b^{2}-4b-5&=&0\\(b-5)(b+1)&=&0\\so\\b=5\quad , b=-1 \end{array} 

ต่อไปเอาค่า \(b\) ที่เราได้ไปแทนในสมการ \((3)\) จะได้

ถ้า \(b=5\) จะได้ \(a=-1\) อันนี้ใช้ไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่า \(a>b\)

ถ้า \(b=-1\) จะได้ \(a=5\) อันนี้ใช้ได้

ทำต่อเลยครับ

จาก \(B=\begin{bmatrix}a&1\\0&b\end{bmatrix}\)  แทนค่า \(a\) และ \(b\) ลงไปจะได้

\(B=\begin{bmatrix}5&1\\0&-1\end{bmatrix}\)  ดังนั้น

\(Bู^{t}=\begin{bmatrix}5&0\\1&-1\end{bmatrix}\) 

ต่อไปหาค่าของ \(A+B^{t}\) จะได้

\begin{array}{lcl}A+B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&0\\1&-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&2\\4&3\end{bmatrix}\\so\\det(A+B^{t})&=&(6)(3)-(4)(2)\\&=&10\quad\underline{Ans}\end{array}

42. กำหนดเมทริกซ์ \(A=\begin{bmatrix}x&-1\\1&-x\end{bmatrix}\)

ถ้า \(a,b\) เป็นคำตอบของสมการ   \(\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})=45\)

โดย \(a>b\) แล้ว \(2a-b\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ   ข้อนี้ก่อนเริ่มแก้สมการหา \(\det (A)\) ไว้ก่อนเลย จากโจทย์เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\det (A)&=&(x)(-x)-(1)(-1)=-x^{2}+1=\color{red}{1-x^{2}}\end{array}

ต่อไปเราแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(a,b\) กันเลยครับผม เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})&=&45\\2^{2}\det (A^{2})+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\2^{2}\det (A)\det (A)+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\4(1-x^{2})^{2}+\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&45\\\frac{4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}}{1-x^{2}}&=&45\\4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\5(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&\frac{45}{9}\\(1-x^{2})^{2}&=&9\\1-2x^{2}+x^{4}&=&9\\x^{4}-2x^{2}-8&=&0\\(x^{2}-4)(x^{2}+2)&=&0\\so\\x^{2}=4\rightarrow x=\pm 2\quad \\ x^{2}=-2\quad \color{red}{no\quad solution\quad because\quad x^{2}\geq 0}\end{array}

ตอนนี้เราจะเห็นว่า \(x\) ของเราเท่ากับ \(\pm 2\) นั่นก็คือ \(a=2\)  และ \(b=-2\) เพราะโจทย์บอกว่า \(a\) ต้องมากว่า \(b\)

ดังนั้น

\(\underline{Ans}\quad 2a-b=2(2)-(-2)=4+2=6\)

43. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) และ \(I\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ \(2\times 2\) 

ถ้า \(\det A=\det B=3\) และ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) แล้ว \(\det (C-2I)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -6
2. 6
3. -12
4. 12

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก แค่เอาสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) มาจัดรูปให้ได้เป็น \(\det (C-2I)\) ให้ได้ ก็จะได้คำตอบครับ ยากตรงจัดรูปนี่แหละครับ มาเริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)&=&-27\\\det [A^{t}B(1-\frac{1}{2}C)]&=&-27\\\det (A^{t}B)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A^{t}\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\(3)(3)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\9\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-3\\\det(-\frac{1}{2}(-2+C))&=&-3\\(-\frac{1}{2})^{2}\det (-2+C)&=&-3\\\det (-2+C)&=&(-3)\times 4\\\det (C-2)&=&-12\\because\quad \det (C-2)=\det (C-2I)\\so\\\det (C-2I)&=&-12\quad\underline{Ans}\end{array}

พิสูจน์ให้ดูนิดหนึ่งว่าทำไม \(\det (C-2)=\det (C-2I)\)

\begin{array}{lcl}C-2&=&IC-2\\I(C-2)&=&I(IC-2)\\I(C-2)&=&C-2I\\\det (I(IC-2))&=&\det (C-2I)\\\det I\det (IC-2)&=&\det (C-2I)\\\det I\det(IC-2)&=&\det (C-2I)\\\color{red}{\det(C-2)}&=&\color{red}{\det(C-2I)}\end{array}

สิ่งที่ต้องรู้คือ 

\(IC=C\)

\(\det I=1\)

44. ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(A\) เป็นเมทริกซ์ โดยที่ \(A=\begin{bmatrix}1+x&1\\1&1+x\end{bmatrix}\)

ถ้า \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) แล้ว \(\det [8A^{-1}+2A^{t}]\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 40
2. 42
3. 80
4. 82

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากมากคับ เพราะว่า \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) ขั้นตอนแรกเราหา \(\det A\) ก่อนเลยคับจะได้ว่า

\(\det A =(1+x)^{2}-1=x^{2}+2x+1-1=x^{2}+2x\)

เก็บค่าของ \(\det A\) เอาไว้ก่อนคับ ที่นี้เรามาดูสมการนี้ \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) สมการนี้จะนำไปสู่ค่าของ \(x\) คับเริ่มแก้กันเลย

\begin{array}{lcl}\det [\frac{1}{2} A^{2}]&=&16\\(\frac{1}{2})^{2}(\det A)^{2}&=&16\\\frac{1}{4}(x^{2}+2x)^{2}&=&16\\(x^{2}+2x)^{2}&=&64\\(x^{2}+2x)^{2}&=&8^{2}\\so\\x^{2}+2x&=&8\\x^{2}+2x-8&=&0\\(x+4)(x-2)&=&0\\so\\x=-4\quad and\quad x=2\end{array}

แต่เนื่องจาก โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)

ดังนั้นเราได้ เมทริกซ์ \(A\) คือ

\(A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\) ที่นี้เราก็หา \(A^{-1}\) และ \(A^{t}\) ได้แล้วคับ จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(3)(3)-(1)(1)}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&\frac{1}{8}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\\\\\\\ A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&2\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\2A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}9&1\\1&9\end{bmatrix}\\so\\\det [8A^{-1}+2A^{t}]&=&(9)(9)-(1)(1)\\&=&81-1\\&=&\color{red}{80}\quad\underline{Ans}\end{array}

51.ในการสร้างเมทริกซ์ในรูป \(\begin{bmatrix}x^{2}&x-4\\-x&x-1\end{bmatrix}\) แบบสุ่ม โดยที่ \(x\in \{0,1,2,3,4\}\)  ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐานเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ทุกคนต้องรู้จักคำว่าเมทริกซ์เอกฐานก่อน ว่าคืออะไร

เมทริกซ์เอกฐานคือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ หรือก็คือ \(det(A)=0\) นั่นเอง  ดังนั้น ในการทำข้อนี้เราต้องหาค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้มีค่า det เท่ากับ \(0\) จึงได้ว่า 

\begin{array}{lcl}x^{2}(x-1)-(x-4)(-x)&=&0\\x^{3}-x^{2}-(-x^{2}+4x)&=&0\\x^{3}-x^{2}+x^{2}-4x&=&0\\x^{3}-4x&=&0\\x(x^{2}-4)&=&0\\so\\x=0\quad or\quad x^{2}=4\rightarrow x=2,-2\end{array}

จากเงื่อนไขในโจทย์ \(x\) ไม่เป็นจำนวนลบ ดังนั้น ค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เอกฐานคือ \(x=0,2\) 

นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐาน โดยที่ \(x\in\{0,1,2,3,4\}\) คือ \(\frac{2}{5}\quad\underline{Ans}\)

เอกสารประกอบการสอนเรื่องเมทริกซ์ ของ ครูสุชาดา  สมอแก้ว  โรงเรียนสามร้อยยอดวิทยา เป็นเอกสารประกอบการเรียนการสอนที่สามารถนำไปใช้เพื่อความสะดวกได้ดีเยี่ยม มีแบบฝึกหัดและตัวอย่างให้ฝึกทำที่หลากหลาย สามารถดูตัวอย่างและดาวน์โหลดด้านล่างเลยครับ สำหรับผมก็เลือก ตัดแปะเอาโดยใช้ good note จากเอกสารของหลายๆท่าน ทำให้เด็กนักเรียนได้ทำแบบฝึกหัดที่หลากหลาย จะได้สนุกเวลาเรียน ของ ครูสุชาดา เป็นเป็นส่วนหนึ่งที่ผมนำไปตัดแปะและสอนในห้องเรียน ขอขอบคุณด้วยครับ