วันนี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็น 3 ตัวแปรครับ  ส่วนที่เป็น 2 ตัวแปรก็หาอ่านได้เลยในเว็บคับ ลองค้นหาในเว็บว่า ระบบสมการเชิงเส้น ก็น่าจะมีเยอะคับ  เอาละ ไปไปดูวิธีการกันเลยครับ ส่วนใหญ่การระบบสมการ จะใช้การกำจัดตัวแปร  โดยการนำสมการมาลบ หรือว่า มาบวกกัน ครับ ลองอ่านดูและก็วิเคราะห์ไปทีละขั้นตอน แล้วจะเข้าใจเองครับ

\(1.\) 

\begin{array}{lcl}x+y+z&=&2\\x+y-z&=&4\\x+2y+z&=&4\end{array}

วิธีทำ กำหนดให้

\begin{array}{lcl}x+y+z&=&2\quad\cdots (1)\\x+y-z&=&4\quad\cdots (2)\\x+2y+z&=&4\quad \cdots (3)\end{array}

นำสมการ \((1)-(2)\) จะได้ (เหตุผลที่นำมาลบกันเพราะว่าเราต้องการกำจัดตัวแปร \(x\) และ \(y\))

\begin{array}{lcl}(x+y+z)-(x+y-z)&=&2-4\\x+y+z-x-y+z&=&-2\\2z&=&-2\\\color{red}{z}&=&-1\end{array}

นำสมการ \((1)-(3)\) จะได้ (เหตุผลที่นำมาลบกันเพราะว่าเราต้องการกำจัดตัวแปร \(x\) และ \(z\))

\begin{array}{lcl}(x+y+z)-(x+2y+z)&=&2-4\\x+y+z-x-2y-z&=&-2\\-y&=&-2\\\color{blue}{y}&=&2\end{array}

เมื่อเราได้ค่าของ \(z\) และ ค่าของ \(y\) แล้ว ก็นำค่าเหล่านี้ไปแทนในสมการ \((1)\) หรือ \((2)\) หรือ \((3)\) ก็ได้เพื่อหาค่า \(x\) ออกมา ผมจะนำค่าของ \(z\) และ \(y\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) นะคับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x+2-1&=&2\\x+1&=&2\\\color{green}{x}&=&1\end{array}

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((\color{green}{1},\color{blue}{2},\color{red}{-1})\)

\(2.\)

\begin{array}{lcl}x+y+z&=&-2\\x-2y-2z&=&1\\x+2y+z&=&0\end{array}

วิธีทำ  กำหนดให้

\begin{array}{lcl}x+y+z&=&-2\quad\cdots (1)\\x-2y-2z&=&1\quad\cdots (2)\\x+2y+z&=&0\quad\cdots (3)\end{array}

นำสมการ \((1)-(3)\) จะได้  (เหตุผลเพราะต้องการกำจัดตัวแปร \(x\) และ \(z\) )

\begin{array}{lcl}(x+y+z)-(x+2y+z)&=&-2-0\\x+y+z-x-2y-z&=&-2\\-y&=&-2\\y&=&2\end{array} 

ตอนนี้เราได้ค่า \(y\) แล้ว มองดูจากโจทย์ถ้าเรานำค่า \(y\)ที่ได้ ไปแทนในสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราก็จะได้สมการออกมาแบบนี้ซึ่งจะนำไปใช้ประโยชน์ต่อไป

แทน \(y=2\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}x+2+z&=&-2\\x+z&=&-4\quad\cdots (4)\end{array}

แทน \(y=2\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}x-2(2)-2z&=&1\\x-4-2z&=&1\\x-2z&=&5\quad\cdots (5)\end{array}

ต่อไปสังเกตสมการ \((4)\) กับสมการ \((5)\) นะสามารถนำมาลบกันเพื่อกำจัดตัวแปร \((x\) ได้คับ จัดการเลย

นำ สมการ \((4)-(5)\) จะได้

\begin{array}{lcl}(x+z)-(x-2z)&=&-4-5\\x+z-x+2z&=&-9\\3z&=&-9\\z&=&-\frac{9}{3}\\z&=&-3\end{array}

ต่อไปแทน \(y=2\) และ \(z=-3\) ในสมการ \((1)\) เพื่อหาค่า \(x\) จะได้

\begin{array}{lcl}x+2-3&=&-2\\x-1&=&-2\\x&=&-1\end{array}

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ \((-1,2,-3)\)

\(3.\)

\begin{array}{lcl}x+y-z&=&2\\3x-y-2z&=&-1\\x-3y-3z&=&4\end{array}

วิธีทำ กำหนดให้

\begin{array}{lcl}x+y-z&=&2\quad\cdots (1)\\3x-y-2z&=&-1\quad\cdots (2)\\x-3y-3z&=&4\quad\cdots (3)\end{array}

เราจะกำจัดตัวแปร \(x\) โดยการนำสมการ \((1)-(3)\) ครับจะได้

\begin{array}{lcl}(x+y-z)-(x-3y-3z)&=&2-4\\x+y-z-x+3y+3z&=&-2\\4y+2z&=&-2\quad\cdots (4)\end{array}

ต่อไป นำ \(3\times (1)\) จะได้ 

\begin{array}{lcl}\color{red}{3}\times(x+y-z)&=2\times\color{red}{3}\\3x+3y-3z&=&6\quad\cdots (5)\end{array}

จะเห็นได้ว่าสมการที่ \((5)\) กับสมการที่ \((2)\) มีพจน์ที่เหมือนกันคือ \(3x\) จับมาลบกันกลายเป็นศูนย์แน่ๆ  ดังนั้น

นำ \((5)-(2)\) เลยจะได้

\begin{array}{lcl}(3x+3y-3z)-(3x-y-2z)&=&6-(-1)\\3x+3y-3z-3x+y+2z&=&7\\4y-z&=&7\quad\cdots (6)\end{array}

สังเกตสมการที่ \((4)\) กับสมการที่ \((6)\) นะคับสามารถกำจัดตัวแปร \(z\) ได้ โดยนำสองคูณสมการที่\((6)\) แล้วบวกกับสมการที่ \((4)\) จะได้

นำ \(2\times (6)+(4)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\color{red}{2}\times(4y-z)+(4y+2z)&=&(\color{red}{2}\times 7)+(-2)\\8y-2z+4y+2z&=&12\\12y&=&12\\y&=&\frac{12}{12}\\y&=&1\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่า \(y=1\) แล้ว นำค่านี้ไปแทนในสมการที่ \((4)\) หรือ \((6)\) ก็ได้ผมเลือกแทนในสมการที่ \((6)\) คับจะได้

\begin{array}{lcl}4(1)-z&=&7\\-z&=&7-4\\z&=&-3\end{array}

ต่อไปแทนค่า \(y=1\) และแทนค่า \(z=-3\) ลงในสมการที่ \((1)\) เพื่อหาค่า \(x\) ออกมาจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x+1-(-3)&=&2\\x+1+3&=&2\\x&=&-2\end{array}

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((-2,1,-3)\)

\(4.\)

\begin{array}{lcl}x+2y-2z&=&1\\2x+2y-z&=&4\\3x+4y-3z&=&6\end{array}

วิธีทำ กำหนดให้

\begin{array}{lcl}x+2y-2z&=&1\quad\cdots (1)\\2x+2y-z&=&4\quad\cdots (2)\\3x+4y-3z&=&6\quad\cdots (3)\end{array}

นำ สมการที่ \((1)-(2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}(x+2y-2z)-(2x+2y-z)&=&1-4\\x+2y-2z-2x-2y+z&=&-3\\-x-z&=&-3\\\color{red}{x+z}&=&\color{red}{3}\quad\cdots (4)\end{array}

นำ \(2\times (2)\) จะได้

\[4x+4y-2z=8\quad\cdots (5)\]

นำ \((5)-(3)\) จะได้

\begin{array}{lcl}(4x+4y-2z)-(3x+4y-3z)&=&8-6\\\color{red}{x+z}&=&\color{red}{2}\quad\cdots (6)\end{array}

จากสมการที่ \((4)\) และ \((6)\) จะเห็นว่า \(2=3\) ซึ่งไม่จริง

ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ

\(5\)

\begin{array}{lcl}x+2y+7z&=&7\\x+y+5z&=&7\\2x-y+4z&=&5\end{array}

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x+2y+7z&=&7\quad\cdots (1)\\x+y+5z&=&7\quad\cdots (2)\\2x-y+4z&=&5\quad\cdots (3)\end{array}

นำสมการ \((1)-(2)\) จะได้ 

\begin{array}{lcl}y+2z&=&3\\y&=&3-2z\quad\cdots (4)\end{array}

นำ \(2\times (2)\) จะได้ 

\begin{array}{lcl}2x+2y+10z&=&14\quad\cdots (5)\end{array}

นำ สมการ \((5)-(3)\) จะได้

\begin{array}{lcl}3y+6z&=&9\quad\cdots (6)\end{array}

แทน \(y=3-3z\) ในสมการ \((6)\) จะได้

\begin{array}{lcl}3(3-2z)+6z&=&9\\9-6z+6z&=&9\\9&=&9\end{array} สมการเป็นจริง

ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบที่เป็นอนันต์ 

จาก \(y=3-2z\)  

นำ \(y=3-2z\) ไปแทนในสมการ \((2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}x+3-2z+5z&=&7\\x+3+3z&=&7\\x&=&4-3z\end{array}

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ \(z\) ได้คือ

\((4-3z,3-2z,z)\)