การอินทิเกรตบางทีเราไม่สามารถอินทิเกรตออกมาแบบตรงๆได้ จำเป็นต้องใช้เทคนิคบางอย่าง ซึ่งเทคนิคที่จะใช้ในวันนี้เรียกว่า เทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปร  เรามาดูว่าเป็นอย่างไร 

1.จงหาค่าของ \(\int(2x^{3}+3)^{7}x^{2}dx\)

วิธีทำถ้าทำแบบตรงข้อนี้ไม่ได้แน่เพราะเลขยกกำลังมันเยอะ ฉะนั้นเราต้องใช้เทคนิคการอินทิเกรตสักหน่อย ก็คือใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปร

คือ กำหนดให้ \(u=2x^{3}+3\)

\begin{array}{lcl}\frac{du}{dx}&=&\frac{d}{dx}(2x^{3}+3)\\&=&6x^{2}\\du&=&6x^{2}dx\\\frac{1}{6}du&=&x^{2}dx\end{array}

เมื่อเรากำหนดตัวแปรแล้ว เราก็เริ่มอินทิเกรตกันเลยครับผม จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\int(2x^{3}+3)^{7}x^{2}dx&=&\int u^{7}\frac{1}{6}du\\&=&\frac{1}{6}\int u^{7}du\\&=&\frac{1}{6}[\frac{u^{8}}{8}+c]\end{array}

เมื่อเราอินทิเกรตเสร็จแล้วเราก็แทนค่ากลับครับผม ได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{1}{6}[\frac{u^{8}}{8}+c]&=&\frac{1}{6}[\frac{(2x^{3}+3)^{8}}{8}+c]\quad \underline{Ans}\end{array}

2.จงหาค่าของ \(\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้เทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปรนะครับถึงจะง่ายครับ ดูวิธีการทำดีๆ

กำหนดให้ \(u=(x+1\)

\begin{array}{lcl}\frac{du}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x+1)\\&=&1\\so\\du&=&dx\end{array}

เนื่องจากที่เรากำหนดให้ \(u=x+1\) เพราะฉะนั้น \(x=u-1\) เมื่อได้ค่าตัวแปรแล้วเริ่มอินทิเกรตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx&=&\int\frac{u-1}{\sqrt{u}}du\\&=&\int u^{-1/2}(u-1)du\\&=&\int u^{-1/2}u-u^{-1/2}du\\&=&\int u^{1/2}-u^{-1/2} du\\&=&\frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}}-\frac{u^{1/2}}{\frac{1}{2}}+c\\&=&\frac{2}{3}u^{3/2}-2u^{1/2}+c\end{array}

แทนค่ากลับนะครับ ก็คือ แทน \(u\) ด้วย \(x+1\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{2}{3}u^{3/2}-2u^{1/2}&=&\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-2(x+1)^{1/2}\quad\underline{Ans}\end{array}

71.กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสาม ซึ่ง \(f(0)=1=f(1)\) ถ้า \(f^{\prime}(0)=1\) และ\(\displaystyle_{-1}^{1} f(x)dx=6\) แล้ว \(f(-1)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -7
2. -1
3. 13
4. 15

วิธีทำ  ขั้นตอนแรกเราต้องกำหนดให้พหุนามกำลังสามขึ้นมาก่อนก็คือ

\[f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\]

เมื่อ \(a,b,c,d\) คือค่าคงตัว

ต่อไปเราก็หาค่าคงตัวก็คือหาค่า \(a,b,c,d\) ก็หาจากสิ่งที่โจทย์ให้มานั่นแหละไม่ยากมากเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f^{\prime}(x)&=&3ax^{2}+2bx+c\\f^{\prime}(0)=1\\so\\f^{\prime}(0)&=&0+0+c\\1&=&c\\\color{red}{c}&=&1\end{array}

ต่อไปหาค่า \(d\)

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(0)=1\\so\\f(0)&=&0+0+0+d\\1&=&d\\\color{green}{d}&=&1\end{array}

ต่อไปหา \(a,b\) ต่อไปอีก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(1)=1\\so\\f(1)&=&a+b+c+d\\c=1,d=1\\so\\f(1)&=&a+b+1+1\\1&=&a+b+2\\\color{blue}{a+b}&=&-1\end{array}

หา \(b\) ต่ออีก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d \quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+x+1\quad dx&=&6\\\frac{ax^{4}}{4}+\frac{bx^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\quad |_{-1}^{1} &=&6\\\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}+1\right)-\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{3}+\frac{1}{2}-1\right)&=&6\\\frac{2b}{3}+2&=&6\\b&=&\frac{12}{2}\\b&=&6\end{array}

จาก \(a+b=-1\) และ\(b=6\) ดังนั้นจะได้ \(a+6=-1\) จึงได้ว่า \(a=-7\)  

ณ ตอนนี้เราได้ว่า

\(a=-7\)

\(b=6\)

\(c=1\)

\(d=1\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(x)&=&-7x^{3}+6x^{2}+x+1\\so\\f(-1)&=&7+6-1+1\\f(-1)&=&13\quad\underline{Ans}\end{array}

วันนี้ผมจะทำการเฉลยแบบฝึกหัดปริพันธ์ไม่จำกัดเขตหรือว่าอินทิเกรตไม่จำกัดเขตนั่นเองครับให้ผู้ที่สนใจได้ดู ได้ศึกษาอ่านเองเพื่อเป็นความรู้พื้นฐาน สำหรับคนที่ไม่มีเงินเรียนพิเศษ จะได้มีเฉลยไว้ดู  สามารถอ่านและศึกษา แบบฝึกหัดพวกนี้เพิ่มเติมได้จากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. และหนังสืออื่นๆที่เกี่ยวกับข้อง จะได้มีความรู้ที่กว้างและทำข้อสอบได้ต่อไป มาดูแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตกันเลยครับ

1. จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต่อไปนี้

1) \(\int (x^{4}+3x^{2}+5x)dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (x^{4}+3x^{2}+5x)dx&=&\int x^{4}dx+\int 3x^{2}dx+\int 5xdx\\&=&\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx+5\int xdx\\&=&\frac{x^{5}}{5}+x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+c\end{array}

2)\(\int (2x^{3}-3x^{2}+6-2x^{-2})dx\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}\int (2x^{3}-3x^{2}+6-2x^{-2})dx&=&\int 2x^{3}dx-\int3x^{2}dx+6\int dx-\int 2x^{-2}dx\\&=&2\int x^{3}dx-3\int x^{2}dx+6\int dx-2\int x^{-2}dx\\&=&\frac{x^{4}}{2}-x^{3}+6x+\frac{2}{x}+c\end{array}

3) \(\int (x^{10}-\frac{1}{x^{3}})dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (x^{10}-\frac{1}{x^{3}})dx&=&\int x^{10}dx-\int x^{-3}dx\\&=&\frac{x^{11}}{11}+\frac{1}{2x^{2}}+c\end{array}

4)\(\int (\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}})dx\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\int (\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}}&=&\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int \frac{2}{x^{4}}dx\\&=&\int x^{-2}dx+2\int x^{-4}dx\\&=&-\frac{1}{x}-\frac{2}{3x^{3}}+c\end{array}

วันนี้ผมจะพาทำแบบฝึกหัดอินทิเกรตแบบจำกัดเขตครับค่อยๆอ่านทำความเข้าใจนะผมจะเฉลยแบบฝึกหัดให้ดูบางข้อ แต่ก่อนที่จะอ่านบทความนี้ให้ไปอ่านการอินทิเกรตแบบไม่จำกัดเขตก่อนและก็ไปดูสูตรเกี่ยวกับการอินทิเกรตก่อนคับ ตามลิงค์นี้เลย อินทิเกรต  สูตรอินทิเกรต ม.6  ปฏิยานุพันธ์,ปริพันธ์,การอินทิเกรต  เอาละต่อไปเราไปดูการอินทิเกรตแบบจำกัดเขตกันเลย ผมจะขอเอาตัวอย่างแบบฝึกหัดอินทิเกรตจำกัดเขตแค่บางข้อมาทำให้ดูเท่านั้นครับ เผื่อใครเรียนในห้องไม่ทัน ไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีที่อ่านทบทวนครับ

จงหาปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

ก่อนอื่นเรามารู้จักทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสก่อนครับ เป็นดังต่อไปนี้

ทฤฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus)

        กำหนด \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\)  ถ้า \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) แล้ว \(\int_{a}^{b}dx=F(b)-F(a)\)

หมายเหตุ  จากทฤฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส เขียนแทน \(F(b)-F(a)\) ด้วยสัญลักษณ์ \(F(x) |_{a}^{b}\)

               ถ้า \(F^{\prime}(x)=f(x)\) ดังนั้น \(\int_{a}^{b}dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)\)

1. \(\displaystyle\int_{3}^{4}{(x^{3}+3)}dx\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{3}^{4}{(x^{3}+3)}dx&=&\left(\frac{x^{4}}{4}+3x\right)\displaystyle\Big| _{3}^{4}\\&=&\left(\frac{256}{4}+12\right)-\left(\frac{81}{4}+9\right)\\&=&\frac{304}{4}-\frac{117}{4}\\&=&\frac{187}{4}\end{array}

2. \(\displaystyle\int_{1}^{3}{(x^{2}-2x+3)}dx\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{1}^{3}{(x^{2}-2x+3)}dx&=&\left(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+3x\right)\Big|_{1}^{3}\\&=&(9-9+9)-\left(\frac{1}{3}-1+3\right)\\&=&9-\frac{7}{3}\\&=&\frac{20}{3}\end{array}

3.\(\displaystyle\int_{-1}^{1}{(4x^{3}+2x)}dx\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}{(4x^{3}+2x)}dx&=&(x^{4}+x^{2})\Big|_{-1}^{1}\\&=&(1+1)-(1+1)\\&=&0\end{array}

1.ถ้า \(f^{'}(x)=x^{2}-1\) และ \(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=0\) แล้ว \(|f(1)|\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f^{'}(x)dx\\&=&\displaystyle\int (x^{2}-1)dx\\&=&\frac{x^{3}}{3}-x+c\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ (1) ไว้ก่อนต่อไปไปหาค่า \(c\) เพื่อเอาไปแทนในสมการ (1) จาก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)&=&0\\\displaystyle\int_{0}^{1}(\frac{x^{3}}{3}-x+c)dx&=&0\\\frac{x^{4}}{4\cdot 3}-\frac{x^{2}}{2}+cx \Big|_{0}^{1}&=&0\\-\frac{5}{12}+c&=&0\\c&=&\frac{5}{12}\end{array}

แทน \(c\) ด้วย \(\frac{5}{12}\) ในสมการ (1) จะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{x^{3}}{3}-x+\frac{5}{12}\\so\\f(1)&=&\frac{1}{3}-1+\frac{5}{12}\\&=&-\frac{1}{4}\end{array}

นั่นคือ \(|f(1)|=|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}\)

2. กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชัน โดยที่ \(f^{"}(x)=6x+4\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 แล้ว ค่าของ \(f(1)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f^{'}(x)&=&\displaystyle\int f^{"}(x)dx\\&=&\displaystyle\int (6x+4)dx\\&=&3x^{2}+4x+c_{1}\\so\\f^{'}(x)&=&3x^{2}+4x+c_{1}\quad \cdots (1)\end{array}

เราต้องหาค่า \(c_{1}\) ให้ได้ก่อนคับ

เนื่องจาก \(f^{'}(x)=3x^{2}+4x+c_{1}\) คือ ความชันของเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่จุด \((x,y)\) ใดๆ ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 คือ

\begin{array}{lcl}f^{'}(x)&=&3x^{2}+4x+c_{1}\\f^{'}(2)&=&3(2^{2})+4(2)+c_{1}\\19&=&12+8+c_{1}\\c_{1}&=&-1\end{array}

ต่อไปนำค่า\(c_{1}=-1\) ไปแทนในสมการ (1) จะได้

\[f^{'}(x)=3x^{2}+4x-1\]

ต่อไปนำ \(f^{'}(x)\) ไปอินทิเกรตเพื่อหาค่าของ \(f(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f^{'}(x)dt\\&=&\displaystyle\int (3x^{2}+4x-1)dx\\&=&x^{3}+2x^{2}-1x+c_{2}\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราก็หาค่าของ \(c_{2}\) คับ วิธีการหาก็คือเราจะเห็นว่าโจทย์บอกว่าความชันเส้นโค้งที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 ก็คือเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((2,19)\) นั่นเองคับผม หรือก็คือ \(f(2)=19\) นั่นเองคับผม เริ่มหา \(c_{2}\) กันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+2x^{2}-x+c_{2}\\f(2)&=&2^{3}+2(2)^{2}-2+c_{2}\\19&=&8+8-2+c_{2}\\c_{2}&=&5\end{array}

ดังนั้น จะได้

\[f(x)=x^{3}+2x^{2}-x+5\]

นั่นคือ

\(f(1)=1^{3}+2(1)^{2}-1+5=7\quad \underline{Ans}\)

3. ถ้า \(f'(x)=3x^{2}+x=5\) และ \(f(0)=1\) แล้ว \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{5}{3}\)
2. \(\frac{7}{3}\)
3. \(\frac{2}{3}\)
4. \(\frac{1}{3}\)

วิธีทำ  เข้านี้เราก็ก็หา \(f(x)\) ให้มันได้ก่อนแล้วก็อินทิเกรตหาคำตอบ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl} f'(x)&=&3x^{2}+x-5\\so\\f(x)&=&\displaystyle\int f'(x) dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (3x^{2}+x-5)dx\\f(x)&=&x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+c\\because\\ f(0)&=&1\\ then\\f(0)&=&0^{3}+\frac{0^{2}}{2}-5+c\\1&=&-5+c\\so\\c&=&6\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่า \(c\) แล้วคือ \(c=6\) เอาค่า\(c\) นี้ไปแทนค่าใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+6\]

ต่อไปเราก็หา \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx\)  เลยคับผม จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+6&=&\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{6}-5x+6x \Big|_{-1}^{1}\\&=&(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-5+6)-(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+5-6)\\&=&\frac{1}{3}-10+12\\&=&\frac{7}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}

4. กำหนดให้ \(y=f(x)\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีค่าสูงสุดที่ \(x=1\)

ถ้า \(f''(x)=-4\) ทุก \(x\)  และ  \(f(-1)+f(3)=0\) แล้ว \(f\) มีค่าสูงสุดเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์เขาบอกว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุดที่ \(x=1\) แล้วโจทย์เขาถามว่า \(f\) มีค่าสูงสุดเท่าใด พูดง่ายก็คือหาค่า \(f(1)\) นั่นเองหรือก็คือ ถ้า \(x=1\) ค่า \(y\) จะเป็นเท่าใดนั่นเอง

สรุปก็คือข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้ได้ก่อน แล้วค่อยหา \(f(1)\) ก็จะได้คำ่ตอบ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}f''(x)=-4\\so\\f'(x)&=&\displaystyle\int f''(x)dx\\f'(x)&=&\displaystyle\int -4dx\\f'(x)&=&-4x+C_{1}\end{array}

ต่อไปหา \(f(x)\) คับ การหา \(f(x)\) ก็คือเราต้องไปอินทิเกรต \(f'(x)\) คับจะได้

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&-4x+C_{1}\\so\\f(x)&=&\displaystyle\int f'(x)dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (-4x+C_{1})dx\\f(x)&=&-2x^{2}+C_{1}x+C_{2}\quad\cdots (1)\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(f(x)\) แล้ว แต่ติดปัญญาตรงที่เรายังไม่รู้ค่าของ \(C_{1}\) และ \(C_{2}\)  เราต้องหาพวกนี้ให้ได้ก่อนคับผม เริ่มหาเลย

จากโจทย์บอกว่าฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดที่ \(x=1\) ที่จุดสูงสุดหรือว่าที่จุดวิกฤต ฟังก์ชันจะมีความชันเท่ากับ \(0\)  ซึ่งความชันของของ \(y=f(x)\) คือ \(f'(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&0\\-4x+C_{1}&=&0\\ at\quad x=1 ,f'(x)=0 \quad then\\(-4)(1)+C_{1}&=&0\\so\\C_{1}&=&4\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(C_{1}\) แล้วนะคับ เอาค่าของ \(C_{1}\) ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=-2x^{2}+4x+C_{2}\]

ต่อไปหาค่าของ \(C_{2}\) ต่อคับ

จาก

\begin{array}{lcl}f(-1)+f(3)&=&0\\(-2-4+C_{2})+(-18+12+C_{2})&=&0\\-12+2C_{2}&=&0\\C_{2}&=&6\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(C_{1}\) และ \(C_{2}\) ครบแล้ว จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-2x^{2}+C_{1}x+C_{2}\\f(x)&=&-2x^{2}+4x+6\end{array}

ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดคือ

\begin{array}{lcl}f(1)&=&-2(1)^{2}+4(1)+6\\&=&-2+4+6\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}

5.กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริงถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชันโดยที่ \(f'(x)=3\sqrt{x}+5\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) และ \(f(1)=5\) แล้วค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{f(x^{2})-2}{f(x)}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นการผสมผสานกันระหว่างความรู้เรื่องลิมิตของฟังก์ชัน กับ  อินทิเกรต ต้องใช้ความรู้เยอะหน่อยแต่ไม่ยากครับผม เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f'(x)dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (3x^{\frac{1}{2}}+5)dx\\f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x+c\\because\quad f(1)=5\quad then\\f(1)&=&2+5+c\\5&=&7+c\\c&=&-2\\so\\f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x-2\end{array}

ต่อไป เราจะหาค่า \(f(x^{2})\) เพื่อเอาไปแทนค่าใน ลิมิต จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x-2\\so\\f(x^{2})&=&2(x^{2})^{\frac{3}{2}}+5x^{2}-2\\&=&2x^{3}+5x^{2}-2\end{array}

ต่อไป ไปหาค่าลิมิตกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{f(x^{2})-2}{f(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{2x^{3}+5x^{2}-2-2}{2x^{\frac{3}{2}}+5x-2}\\&=&\frac{2(4)^{3}+5(4)^{2}-2-2}{2(4)^{\frac{3}{2}}+5(4)-2}\\&=&\frac{128+80-4}{16+20-2}\\&=&\frac{204}{34}\\&=&6\quad\underline{Ans}\end{array}

6. กำหนดให้ \(f(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสอง ถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\)  ที่จุด \((1,2)\) มีค่าเท่ากับ \(4\) และ \(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx=12\) แล้ว \(f(-1)+f''(-1)\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้เจอคับ ซึ่งในการหายากพอสมควร พยายามอ่านตามดีๆนะ  โจทย์บอกว่า \(f(x)\)เป็นพหุนามกำลังสอง ดังนั้น ผมกำหนดให้ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) เมื่อ \(a,b,c\in R\) และ \(a\neq 0\)

เริ่มหา กันเลยก็คือ หาค่า \(a,b,c\) นั่นเองคับ 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\so\\f'(x)&=&2ax+bx\end{array}

เนื่องจาก \(f'(x)\) คือความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \((x,y)\) ใดๆ ดังนั้นความชันของเส้นโค้งในจุด \((1,2)\) มีค่าเท่ากับ 4 คือ

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&2ax+b\\4&=&2a(1)+b\\2a+b&=&4\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนครับ เดี๋ยวได้ใช้แน่

ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx=12\) จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx&=&12\\\displaystyle\int_{-1}^{2}(ax^{2}+bx+c)dx&=&12\\\frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}+cx\Big|_{-1}^{2}&=&12\\\left(\frac{8a}{3}+2b+2x\right)-\left(-\frac{a}{3}+\frac{b}{2}-c\right)&=&12\\3a+\frac{3b}{2}+3c&=&12\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปผมนำ \(\frac{2}{3}\) คูณเข้าสมการ (2) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{2}{3}(3a+\frac{3b}{2}+3c&=&12\frac{2}{3}\\2a+b+2c&=&8\quad\cdot (3)\end{array}

ต่อไปให้เราไปดูสมการ \((1)\) จะเห็นว่า \(2a+b=4\) เอาตรงนี้ไปแทนในสมการ \((3)\) ได้เลยจะได้

\begin{array}{lcl}2a+b+2c&=&8\\4+2c&=&8\\c&=&2\end{array}

ดังนั้น \(c=2\) เอาค่า \(c\) ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้ \(f(x)=ax^{2}+bx+2\) แต่ยังนำไปหาคำตอบไม่ได้เพราะยังติดค่าของ \(a\) กับ \(b\)  ต้องไปหาค่าของ \(a,b\) อีก

จากโจทย์เราจะเห็นว่าเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((1,2)\) นะ เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+2\\ because (1,2)\in f(x)\\then\\f(1)&=&a(1)^{2}+b(1)+2\\2&=&a+b+2\\a+b&=&0\quad\cdots (4)\end{array}

ให้เราไปดูสมการที่ \((1)\) กับ \((4)\) คือ

\[2a+b=4\quad\cdot (1)\]

\[a+b=0\quad\cdot (4)\]

นำสมการ \((1)-(4)\) จะได้

\begin{array}(2a+b)-(a+b)&=&4-0\\a&=&4\end{array}

แทน \(a\) ด้วย \(4\) ในสมการที่ \((4)\) จะได้ \(b=-4\)

ตอนนี้เราได้ค่า \(a,b,c\) ครบเรียบร้อยแล้วพร้อมที่จะหาคำตอบแล้วครับ เริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(x)&=&4x^{2}-4x+2\\so\\f'(x)&=&8x-4\\ and\\f''(x)&=&8\end{array}

เราจะได้ว่า

\(f(-1)=4(-1)^{2}-4(-1)+2=10\)

และ เนื่องจาก \(f''(x)=8\) ทุกค่าของ \(x\) ดังนั้น

\(f''(-1)=8\)

ดังนั้น

\[f(-1)+f''(-1)=10+8=18\quad\underline{Ans}\]

7. กำหนดให้ \(P(x)\) เป็นพหุนามที่สอดคล้องกับ \(P(x^{2}+3)=3x^{4}+24x^{2}+40\) และให้ \(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}P(t) dt\)  ค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{P(x)-f(x)}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ โจทย์ข้อนี้เราต้องหา \(P(x)\)  และ  \(f(x)\) ให้เจอคับถึงจะไปหาลิมิตได้

พิจารณา \(P(x^{2}+3)=3x^{4}+24x^{2}+40\) 

กำหนดให้ \(A=x^{2}+3\) จะได้ \(x^{2}=A-3\)  จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}P(x^{2}+3)&=&3x^{4}+24x^{2}+40\\P(A-3+3)&=&3(A-3)^{2}+24(A-3)+40\\P(A)&=&3(A^{2}-6A+9)+24A-72+40\\P(A)&=&3A^{2}-18A+27+24A-32\\P(A)&=&3A^{2}+6A-5\\so\\P(x)&=&3x^{2}+6x-5\\or\\P(t)&=&3t^{2}+6t-5\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(P(x)\) แล้ว ต่อไปก็หา \(f(x)\) เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{x}P(t) dt\\f(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{x}(3t^{2}+6t-6)dt\\f(x)&=&t^{3}+3t^{2}-5t\Big|_{0}^{x}\\f(x)&=&(x^{3}+3x^{2}-5x)-(0)\\so\\f(x)&=&x^{3}+3x^{2}-5x\end{array}

ตอนนี้เราได้ของครบแล้วคือ

\[f(x)=x^{3}+3x^{2}-5x\]

\[P(x)=3x^{2}+6x-5\]

เริ่มกระบวนการหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{P(x)-f(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{(3x^{2}+6x-5)-(x^{3}+3x^{2}-5x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{6x-5-x^{3}+5x}\\&=&\sqrt{6(2)-5-(2)^{3}+5(2)}\\&=&\sqrt{12-5-8+10}\\&=&\sqrt{9}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}

8. ให้ \(L\) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \((0,10)\) และมีความชันมากกว่า \(-1\) แต่น้อยกว่า \(0\) ถ้าพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=6\) มีค่าเท่ากับ \(51\) ตารางหน่วยแล้ว จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=3\)

วิธีทำ ดูรูปภาพประกอบนะคับ ให้ \((x,y)\) เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง \(L\) และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \((0,10)\) ทำให้ได้สมการของเส้นตรง \(L\) นี้คือ

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-10&=&m(x-0)\\y-10&=&mx\\y&=&mx+10\end{array}

เมื่อ \(m\) คือความชันของเส้นตรง

ตอนนี้เราได้สมการของเส้นตรง \(L\) แล้วคือ \(y=mx+10\)  แต่ยังไม่รู้ค่าของ \(m\) 

ต่อไปเราก็ไปหาค่าของ \(m\) ซึ่งหาได้จาก

\[\displaystyle\int_{0}^{6}(mx+10)dx=51\]

เริ่มหา \(m\) กันเลยคับ จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{6}(mx+10)dx&=&51\\\frac{mx^{2}}{2}+10x\Big|_{0}^{6}&=&51\\18m+60&=&51\\so\\m&=&-\frac{9}{18}\\m&=&-\frac{1}{2}\end{array}

ตอนนี้เรารู้ค่า \(m\) แล้ว ดังนั้น เส้นตรง \(L\) นี้มีสมการคือ \(y=-\frac{1}{2}x+10\)  ดังนั้นตอนนี้เราสามารถหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=3\) ได้แล้ว นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{3}(-\frac{1}{2}x+10)dx&=&-\frac{x^{2}}{4}+10x\Big|_{0}^{3}\\&=&-\frac{9}{4}+30\\&=&\frac{111}{4}\\&=&27.75\end{array}

ดังนั้นข้อนี้ตอบ 27.75  ตารางหน่อย

9. กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มี \(f''(x)=ax+b\)  เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง  ถ้า \(f(0)=2\)  และกราฟของ \(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \((1,-5)\) แล้ว \(2a+3b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

วิธีทำ เราจะหา \(f'(x)\) ก่อนนะคับ ซึ่ง

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&\displaystyle\int f''(x) dx\\f'(x)&=&\displaystyle\int (ax+b) dx\\f'(x)&=&\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1}\end{array}

ที่จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \((1,-5)\) จะมีความชันเท่ากับ \(0\) อย่าลืมนะไอ้พวกที่เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์หรือจุดสูงสุดสัมพัทธ์จุดพวกนี้มันคือจุดวิกฤตจะมีความชันเท่ากับ \(0\) ซึ่งความชันของเส้นโค้งก็คือ \(f'(x)\) นั่นเอง ดังนั้นที่จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ \((1,-5)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&0\\\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1}&=&0\\ because\quad x=1\\then\\\frac{a(1)^{2}}{2}+b(1)+c_{1}&=&0\\\frac{a}{2}+b+c_{1}&=&0\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ

ต่อไปเราจะหา \(f(x)\) ซึ่งหาได้จากการอินทิเกรต \(f'(x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f'(x) dx\\&=&\displaystyle\int (\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1})dx\\&=&\frac{ax^{3}}{6}+\frac{bx^{2}}{2}+c_{1}x+c_{2}\\because\quad f(0)=2\\then\\f(0)&=&\frac{a(0)^{3}}{6}+\frac{b(0)^{2}}{2}+c_{1}(0)+c_{2}\\2&=&c_{2}\end{array}

เนื่องจาก \(c_{2}=2\) เราเอาค่า \(c_{2}=2\) นี้ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=\frac{ax^{3}}{6}+\frac{bx^{2}}{2}+c_{1}x+2\]

จากโจทย์เราจะเห็นว่ากราฟฟังก์ชัน \(f\) นี้ผ่านจุด \((1,-5\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(1)&=&\frac{a(1)^{3}}{6}+\frac{b(1)^{2}}{2}+c_{1}(1)+2\\-5&=&\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}+2\\\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}&=&-7\quad\cdots (2)\end{array}

ตอนนี้เราได้สมการมาสองสมการนะคับคือ สมการ \((1)\) และ \((2)\)

เราจะนำสมการนี้แหละคับมาแก้เพื่อหาค่าของ \(2a+3b\) คับ

จาก

\[\frac{a}{2}+b+c_{1}=0\quad\cdots (1)\]

\[\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}=-7\quad\cdots (2)\]

นำสมการ \((2)-(1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\left(\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}\right)-\left(\frac{a}{2}+b+c_{1}\right)&=&-7-0\\-\frac{4a}{12}-\frac{b}{2}&=&-7\quad\cdots (3)\end{array}

จัดรูปสมการที่ \((3)\) ให้ได้เป็น \(2a+3b\) จะได้ว่า

\(2a+3b=42\quad\underline{Ans}\)

10. กำหนดให้ \(A(0,0)\quad , B(1,0) \) และ \(C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้ากราฟของ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) ผ่านจุด \(A(0,0)\) , \(B(1,0)\)  โดยที่ \(AC\) และ \(BC\) เป็นเส้นสัมผัสกราฟของ \(f\) ที่จุด \(A(0,0)\quad , B(1,0)\) ตามลำดับ แล้วพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(f\) และเส้นตรง \(AB\) มีค่าเท่าใด

1. \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)
2. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
3. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
4. \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) 

วิธีทำ ข้อนี้ดูภาพประกอบนะคับ ค่อยๆอ่านโจทย์  ถ้าเราดูจากฟังก์ชัน \(f\) ที่จะเห็นว่ากราฟของฟังก์ชัน \(f\) เป็นพาราโบลาแน่นอน แต่จะคว่ำหรือหงายค่อยดูกันอีกที เริ่มทำเลยคับ

กราฟของ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) ผ่านจุด \(A(0,0)\) , \(B(1,0)\) แสดงว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(0)&=&a(0)^{2}+b(0)+c\\0&=&0+0+c\\so\\c&=&0\end{array}

และ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(1)&=&a(1)^{2}+b(1)+c\\0&=&a+b+0\\so\\a+b&=&0\quad\cdots (1)\end{array}

มาดูเส้นตรง \(AC\) จะเห็นว่าเส้นตรงผ่านจุด \((0,0)\) และ \((\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) ดังนั้นเส้นตรงนี้มีความชันเท่ากับ

\(m=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}{\frac{1}{2}-0}=\sqrt{3}\) และอีกอย่างหนึ่งที่โจทย์บอกมาก็คือ เส้นตรง \(AC\) นี้สัมผัสกราฟของ \(f\) ที่จุด \((0,0)\) ดังนั้นฟังก์ชัน \(f\) นี้มีความชันที่จุด \((0,0)\) เท่ากับ \(\sqrt{3}\) จริงไหมเรื่องความชันของเส้นโค้งเรียนมาแล้ว ซึ่งความชันของเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ หาได้โดยการดิฟฟังก์ชัน จึงได้ว่า ความชันของเส้นโค้งที่จุด \((0,0)\) คือ

\[f'(x)=2ax+b\] 

แทน \(0\) ลงไปใน \(x\) ความชันของเส้นโค้งที่จุด \((0,0)\) นี้มีค่าเท่ากับ \(\sqrt{3}\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&2ax+b\\\sqrt{3}&=&2a(0)+b\\so\\b&=&\sqrt{3}\end{array}

เอาค่า \(b=\sqrt{3}\) ไปแทนในสมการ \((1)\) จะได้ \(a=-\sqrt{3}\)

ตอนนี้เราได้ค่า \(a=-\sqrt{3},b=\sqrt{3},c=0\) ครบแล้วจึงได้ว่า

\[f(x)=-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}x+0\]

ดังนั้นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(f\) และเส้นตรง \(AB\) คือ

\[\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{1}(-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}x)dx\]

เริ่มหาพื้นที่กันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}(-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3})dx&=&-\frac{\sqrt{3}x^{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}\\&=&-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=&\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{6}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{6}\quad\underline{Ans}\end{array}