1. จำนวนจริง \(x\) ที่สอดคล้องกับสมการ \(\log_{4}x=\log_{9}3+\log_{3}9\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ อาศัยสมบัติของลอการิทึมและแก้สมการก็เท่านั้นเอง ไปดูวิธีการทำกันเลยค่อยๆอ่านนะคับ

\begin{array}{lcl}\log_{4}x&=&\log_{9}3+\log_{3}9\\\log_{4}x&=&\log_{3^{2}}3+\log_{3}3^{2}\\log_{4}x&=&\frac{1}{2}\log_{3}3+2\log_{3}3\\\log_{4}x&=&\frac{1}{2}+2\\\log_{4}x&=&\frac{5}{2}\\so\\x&=&4^{\frac{5}{2}}\\x&=&(2^{2})^{\frac{5}{2}}\\x&=&2^{5}\\x&=&32\quad\underline{Ans}\end{array}

2. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(x^{(\log_{2}x+1)}=64\) 

1. \(\frac{33}{8}\)
2. \(\frac{31}{4}\)
3. \(\frac{33}{4}\)
4. \(4\)
5. \(8\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้เทคนิคนิดหนึ่งเพื่อให้ง่ายต่อการมอง ก็คือเทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปรครับ ผมจะให้

\(A=\log_{2}x\) ดังนั้นจะได้ \(\frac{1}{A}=\log_{x}2\) เอาละเริ่มการสมการเพื่อหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}x^{(\log_{2}x+1)}&=&64\\x^{A+1}&=&64\\\log(x^{(A+1)})&=&\log 64\\(A+1)\log x&=&\log 2^{6}\\(A+1)\log x&=&6\log2\\A+1&=&\frac{6\log 2}{\log x}\\A+1&=&6\log_{x}2\\A+1&=&6\times\frac{1}{A}\\A(A+1)&=&6\\A^{2}+A-6&=&0\\(A+3)(A-2)&=&0\\so\\A=-3\quad ,A=2\end{array}

พิจารณาต่อเพื่อหาคำตอบ

จาก \(A=-3\) จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&-3\\\log_{2}x&=&-3\\x&=&2^{-3}\\x&=&\frac{1}{2^{3}}\\x&=&\frac{1}{8}\end{array}

จาก \(A=2\) จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&2\\\log_{2}x&=&2\\x&=&2^{2}\\x&=&4\end{array}

ดังนั้นผลบวกคำตอบของสมการนี้คือ

\(4+\frac{1}{8}=\frac{33}{8}\quad\underline{Ans}\)

3.ค่าของ \(\log_{2}(3^{\log_{3}16})\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นการหาค่าลอการิทึมธรรมดาแต่ต้องรู้จักพวกสมบัติของลอการิทึมต่างๆของลอการิทึมนะคับถึงจะทำได้ เอาละมาเริ่มทำกันได้เลย

\begin{array}{lcl}\log_{2}(3^{\log_{3}16})&=&(\log_{3}16)(\log_{2}3)\\&=&\frac{\log 16}{\log 3}\cdot \frac{\log 3}{\log 2}\\&=&\frac{\log 16}{\log 2}\\&=&\log_{2}16\\&=&\log_{2}2^{4}\\&=&4\log_{2}2\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}

4. ค่าในข้อใดต่อไปนี้คือคำตอบของสมการ \(2^{x}\cdot 2^{x+1}\cdot 2^{x+2}=4^{x}+4^{x+1}+4^{x+2}\)

1.  \(\log_{2}\frac{21}{10}\)
2. \(\log_{2}\frac{21}{8}\)
3. \(\log_{2}\frac{21}{6}\)
4. \(\log_{2}\frac{21}{4}\)
5. \(\log_{2}\frac{21}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ได้ยากจัดรูปแก้สมการนิดหน่อยก็เท่านั้นเองไปดูกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}2^{x}\cdot 2^{x+1}\cdot 2^{x+2}&=&4^{x}+4^{x+1}+4^{x+2}\\2^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2\cdot 2^{x}\cdot 2^{2}&=&2^{2x}+2^{2x}\cdot 4+2^{2x}\cdot 4^{2}\\2^{3x}\cdot 2^{3}&=&2^{2x}(1+4+16)\\\frac{2^{3x}}{2^{2x}}&=&\frac{1+4+16}{2^{3}}\\2^{x}&=&\frac{21}{8}\\so\\\log 2^{x}&=&\log \frac{21}{8}\\x\log 2&=&\log \frac{21}{8}\\x&=&\frac{\log\frac{21}{8}}{\log 2}\\x&=&\log_{2}\frac{21}{8}\quad\underline{Ans}\end{array}

5.ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(\log_{2}x+6\log_{x}2-5=0\)  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 8
2. 10
3. 12
4. 14
5. 16

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับผม จะใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปร เหมือนข้อข้างบนเพื่อให้ง่ายต่อการมอง

กำหนดให้ \(A=\log_{2}x\) จะได้ว่า \(\frac{1}{A}=\log_{x}2\) เริ่มแก้สมการกันเลย

\begin{array}{lcl}\log_{2}x+6\log_{x}2-5&=&\\A+6\times\frac{1}{A}-5&=&0\\A+\frac{6}{A}-5&=&0\\A^{2}-5A+6&=&0\\(A-3)(A-2)&=&0\\so\\A=3\quad ,A=2\end{array}

พิจารณา กรณีที่ \(A=3\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}A&=&3\\\log_{2}x&=&3\\x&=&2^{3}\\x=8\end{array}

พิจารณา กรณีที่ \(A=2\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}A&=&2\\\log_{2}x&=&2\\x&=&2^{2}\\x&=&4\end{array}

ดังนั้นผลบวกของคำตอบสมการนี้คือ \(8+4=12\quad\underline{Ans}\)

6. \(\log_{7}625)(\log_{5}343)\) มีค่าเท่ากับข้อใด

วิธีทำข้อนี้ดูเอาเองไม่ขออธิบายอะไรมาก เพราะพื้นๆเลย

\begin{array}{lcl}(\log_{7}625)(\log_{5}343)&=&(\log_{7}5^{4})(\log_{5}7^{3})\\&=&(4\log_{7}5)(3\log_{5}7)\\&=&4\cdot 3\log_{5}7\cdot \log_{7}5\\&=&12\cdot\log_{5}7\cdot\frac{1}{\log_{5}7}\\&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}