การหารพหุนามด้วยเอกนาม

พหุนาม

แบบฝึกหัด

1. กำหนดให้ \(P(x)=x^{2}-1,\quad Q(x)=3x+2,\quad R(x)=P(x)-Q(x)\) จงหาค่าของ \(R(2)\)

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากครับทำแบบตรงๆเลยไม่มีอะไรยากเลยครับ ทุกคน เริ่มเลย ค่อยๆดูตามนะคับ

\begin{array}{lcl}R(x)&=&P(x)-Q(x)\\&=&(x^{2}-1)-(3x+2)\\&=&x^{2}-1-3x-2\\&=&x^{2}-3x-3\\so\\R(2)&=&(2)^{2}-3(2)-3\\&=&-5\end{array}

2. ถ้า \(P(x)\) หารด้วย \(2x-1\) ลงตัว ได้ผลลัพธ์ \(x+2\) แล้ว จงหา \(P(x)\)

วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าอ่านโจทย์แล้ว งง ให้ดูนี่ครับ  \(10\div 2=5\) เมื่อเราเอาคำตอบคือ 5 ไปคูณกับตัวหารคือ 2 จะมีค่าเท่ากับตัวตั้งคือ 10 นั่นก็คือ \(10=5\times 2\) นั่นเอง จึงได้ว่าข้อนี้ก็คือ

\begin{array}{lcl}P(x)&=&(x+2)(2x-1)\\&=&2x^{2}+3x-2\end{array}

นั่นก็คือ \(P(x)=2x^{2}+3x-2\)

3. ถ้า \(P(x)\) หารด้วย \(x^{2}-1\) ได้ผลลัพธ์ \(2x+3\) เศษ \(x-1\) แล้ว จงหา \(P(x)\)

วิธีทำ ข้อนี้คล้ายข้อข้างบนครับ แต่หารเหลือเศษ ถ้าใครอ่านโจทย์แล้ว งง ดูนี่ครับ

\(11\div 5\) คำตอบคือ ตอบ 2 เศษ 1 หรือสามเขียนได้ดังนี้คือ \(11=(5\times 2)+1\) นั่นเองครับ มองภาพเห็นไหมเอ่ย ข้อนี้จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl} P(x)&=&[(x^{2}-1)(2x+3)]+(x-1)\\&=&2x^{3}+3x^{2}-2x-3+(x-1)\\&=&2x^{3}+3x^{2}-x-4\end{array}

4. ถ้า \(ax^{2}+bx+c=(2x+1)(2x-3)\) แล้ว จงหาค่าของ \(a+b+c\)

วิธีทำ ไปเจอข้อแบบนี้หวานเลยสิครับ ข้อนี้ใช้วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์เลยครับ แต่ก่อนจะเทียบต้องจัดพหุนามด้านขวาของสมการก่อนครับพูดง่ายๆก็คือคูณกันให้เรียบร้อยแล้วเรียงดีกรีจากน้อยไปหามากนั่นแหละครับไปกันเลย

\begin{array}{lcl}ax^{2}+bx+c&=&(2x+1)(2x-3)\\ax^{2}+bx+c&=&4x^{2}-4x-3\end{array}

จากบรรทัดสุดท้ายข้างบนลองเทียบสัมประสิทธิ์กันดูจะเห็นว่า

\(a=4,\quad b=-4,\quad c=-3\)

ดังนั้น เราจะได้ว่า  \(a+b+c=4+(-4)+(-3)=-3\)  นั่นเองครับ

5. ถ้า \((ax+b)^{2}=4x^{2}-12x+c\) และ \(a>0\) แล้ว จงหาค่าของ \(a+b+c\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องทำอะไรมากครับทำเหมือนข้อข้างบน จัดพหุนามด้านซ้ายของสมการให้เรียบร้อยคือยกกำลังสองให้เสร็จแล้วค่อยเทียบสัมประสิทธิ์ครับ

\begin{array}{lcl}(ax+b)^{2}&=&4x^{2}-12x+c\\(ax+b)(ax+b)&=&4x^{2}-12x+c\\a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}&=&4x^{2}-12x+c\end{array}

จากบรรทัดสุดท้ายเมื่อเทียบสัมประสิทธิ์กันจะได้ว่า

\(a^{2}=4,\quad 2ab=-12,\quad b^{2}=c\)  แก้สมการหาค่า \(a,b,c\) กันเลยครับ

\(a^{2}=4\rightarrow a=2\)

\(2ab=-12 \rightarrow 2(2)b=-12\rightarrow b=\frac{-12}{4}=-3\)

\(b^{2}=c\rightarrow (-3)^{2}=c\rightarrow c=9\)

ดังนั้น \(a+b+c=2+(-3)+9=8\) ตอบ

6. ถ้า \((P(x))^{2}=x^{2}+6x+c\) แล้ว จงหาค่า c

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ต้องคิดเยอะครับ คิดมากจะปวดหัว วิธีการทำคือหา พหุนามมาตัวหนึ่งแล้วยกกำลังสองดูแล้วให้ได้พจน์กลางเป็น \(6x\) ซึ่งมันก็ไม่ได้ยากเย็นอะไรเลยคิดในใจออกเลยซึ่งเราจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}(x+3)^{2}&=&(x+3)(x+3)\\&=&x^{2}+6x+9\end{array}

จากตรงนี้หลายคนคงจะเห็นแล้วว่า \(c\) คืออะไร  หรือถ้าเขียนให้มันดีๆหน่อยเพื่อความเข้าใจเป็นระเบียบหน่อยก็จะประมาณนี้

ให้ \(P(x)=(x+3)\) จะมีคนถามว่าทำไมต้อง P(x)=(x+3)  อันนี้คิดเอาเองในใจต้องใช้ประสบการณ์นิดหนึ่งครับ เรียนเยอะๆอ่านเยอะๆก็จะคิดออกเองคับไม่ต้องกังวล  ซึ่งจากโจทย์

\begin{array}{lcl}(P(x))^{2}&=&x^{2}+6x+c\\(x+3)^{2}&=&x^{2}+6x+c\\(x+3)(x+3)&=&x^{2}+6x+c\\x^{2}+6x+9&=&x^{2}+6x+c\end{array}

จากบรรทัดสุดท้ายเมื่อเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า

\(c=9\) นั่นเองครับ ข้อนี้ตอบ \(c=9\)

7. ถ้า \(a,b,c\) และ \(d\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \((x-1)^{2}(ax+b)=cx^{3}+dx+4\) ทุกจำนวนจริง \(x\) แล้ว \(a+b+c+d\) เท่ากับเท่าใด [o-net 54/25]

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ o-net นะคับไม่มีอะไรมากต้องใช้พลังกรรมกรในการคูณพหุนามครับข้อนี้ เอาละ มาเริ่มคูณพหุนามกันเลยคับทุกคน

\begin{array}{lcl}(x-1)^{2}(ax+b)&=&cx^{3}+dx+4\\(x-1)(x-1)(ax+b)&=&cx^{3}+dx+4\\ax^{3}-2ax^{2}+ax+bx^{2}-2bx+b&=&cx^{3}+dx+4\\ax^{3}+(b-2a)x^{2}+(a-2b)x+b&=&cx^{3}+dx+4\end{array}

จากบรรรทัดสุดท้ายเมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ดูจะได้ว่า

\(a=c\quad \cdots (1)\)

\(b-2a=0\quad \cdots (2)\)

\(a-2b=d\quad \cdots (3)\)

\(b=4\quad \cdots (4)\)

เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์กันแล้วจะเห็นว่าเราได้ \(b=4\) ผมให้เป็นสมการที่ \((4)\) นะ 

แทน \(b\) ด้วย \(4\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}4-2a&=&0\\-2a&=&-4\\a&=&\frac{-4}{-2}\\a&=&2\end{array}

ตอนนี้ได้ \(a=2\) แล้วนะคับ

จากสมการที่ \((1)\) คือ \(a=c\) ดังนั้น \(c=2\)

ตอนนี้ได้ \(c=2\) แล้วนะคับ

ต่อไปก็แทน \(a\) ด้วย \(2\) และแทน \(b\) ด้วย \(4\) ลงในสมการที่ \((3)\) เพื่อหาค่า \(d\) จะได้

\begin{array}{lcl}a-2b&=&d\\2-(2)(4)&=&d\\2-8&=&d\\-6&=&d\end{array}

และสุดท้ายได้ \(d=-6\) ครับ

ดังนั้นจะได้ว่า \(a+b+c+d=2+4+2+(-6)=2\quad \underline{Ans}\)