วันนี้เราจะมารู้จักความหมายของตัวแปรสุ่มกันนะคับ จะอธิบายแบบง่ายๆแล้วกัน ไม่รู้ว่าจะง่ายสำหรับทุกคนหรือเปล่า แต่อย่างไรก็ลองอ่านดูก่อนว่าจะง่ายหรือไม่ ตัวแปรสุ่ม นั้นมันเป็นฟังก์ชันที่มีการส่งจาก แซมเปิลสเปซ ไปยัง จำนวนจริง(ตัวเลข) ตัวย่างเช่น
ผมทดลอง โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง การทดลองสุ่มนี้ก็จะมีแซมเปิลสเปซซึ่งเรามักแทนด้วยตัว S คือ
\(S=\{HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT\}\)
และถ้าผมสนใจจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ดังนั้นจำนวนครั้งที่เหรียญขี้นหัวนั้นสามารถแทนด้วยตัวเลขได้คือ
0 คือเหรียญไม่ขึ้นหัวเลย
1 คือเหรืยญขึ้นหัวหนึ่งครั้ง
2 คือเหรียญขึ้นหัวสองครั้ง
3 คือเหรียญขึ้นหัวสามครั้ง
และสามารถเขียนแสดงได้ในรูปของเซตคือ \(\{0,1,2,3\}\)
จากตัวอย่างที่ผมยกมาให้ดูนี้สามารถสร้างฟังก์ชัน \(X\) จากแซมเปิลสเปซ\((S)\) ไปยัง \(\{0,1,2,3\}\) ฟังก์ชันที่ส่งจากแซมเปิลสเปซไปยังจำนวนจริงแบบนี้แหละ เขาเรียกว่าตัวแปรสุ่ม(random variable) เดี่ยวผมจะเขียนเป็นแผนภาพให้ดู
จากฟังก์ชัน \(X\) ตามรูปข้างบนนะคับจะได้ว่า
\(X(HHH)=3\)
\(X(HHT)=2\)
\(X(HTH)=2\)
\(X(THH)=2\)
\(X(TTH)=1\)
\(X(THT)=1\)
\(X(HTT)=1\)
\(X(TTT)=0\)
ฟังก์ชันที่ส่งจากแซมเปิลสเปซไปหาจำนวนจริง แบบนี้แหละเรียกว่า ต้วแปรสุ่มครับ หรือถ้าเขียนให้มันดีๆหน่อย
ตัวแปรสุ่ม(random variable) คือฟังก์ชันจากแซมเปิลสเปซไปยังเซตของจำนวนจริง
โดยทั่วไปนิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนตัวแปรสุ่ม เช่น \(X,Y,Z\) และใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก\((x,y,z)\)แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มซึ่งนิยมเขียนในรูปของเซต เช่น จากรูปภาพด้านบน \(x=\{0,1,2,3\}\) คือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)
จากรูปภาพข้างบน เราจะเห็นว่า
ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 0 \(\{TTT\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{1}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=0)=\frac{1}{8}\)
ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 \(\{HTT,THT,TTH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{3}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=1)=\frac{3}{8}\)
ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 2 \(\{HHT,THH,HTH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{3}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=2)=\frac{3}{8}\)
ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 3 \(\{HHH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{1}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=1)=\frac{1}{8}\)
มาลองทำแบบฝึกหัดกันครับผม เป็นแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสวท นะคับลองทำดูไม่ยากนะค่อยๆทำความเข้าใจ
1. ข้อสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข้อ จำนวนข้อสอบที่ตอบถูกในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 40 คน แสดงด้วยตารางความถี่ดังนี้
| จำนวนข้อที่ตอบถูก |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| จำนวนนักเรียน(คน) |
0 |
1 |
2 |
5 |
6 |
3 |
8 |
7 |
3 |
3 |
2 |
ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) ในรูปตาราง
วิธีทำ จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) ก็คือ
0 นักเรียนตอบไม่ถูกเลย
1 นักเรียนตอบถูกหนึ่งข้อ
2 นักเรียนตอบถูกสองข้อ
\(\vdots\quad\vdots\)
10 นักเรียนตอบถูกสิบข้อ
ซึ่งถ้าเราดูจากตารางที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า
นักเรียนที่ตอบไม่ถูกสักข้อเลยมี 0 คน
นักเรียนที่ตอบถูกหนึ่งข้อมี 1 คน
นักเรียนที่ตอบถูกสองข้อ มี 2 คน
นักเรียนที่ตอบถูกสามข้อมี 5 คน
นักเรียนที่ตอบถูกสี่ข้อมี 6 คน
จากตรงนี้เราจะได้ว่า สุ่มนักเรียนมา 1 คน
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 0 ข้อ คือ \(P(X=0)=\frac{0}{40}=0\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 1 ข้อ คือ \(P(X=1)=\frac{1}{40}=0.025\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 2 ข้อ คือ \(P(X=2)=\frac{2}{40}=0.05\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 3 ข้อ คือ \(P(X=3)=\frac{5}{40}=0.125\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 4 ข้อ คือ \(P(X=4)=\frac{6}{40}=0.15\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 5 ข้อ คือ \(P(X=5)=\frac{3}{40}=0.075\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 6 ข้อ คือ \(P(X=6)=\frac{8}{40}=0.2\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 7 ข้อ คือ \(P(X=7)=\frac{7}{40}=0.175\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 8 ข้อ คือ \(P(X=8)=\frac{3}{40}=0.075\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 9 ข้อ คือ \(P(X=9)=\frac{3}{40}=0.075\)
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 10 ข้อ คือ \(P(X=10)=\frac{2}{40}=0.05\)
เอ้าลืมไปเขาเขียนในรูปของตาราง
| \(x\) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| \(P(X=x)\) |
0 |
\(\frac{1}{40}\) |
\(\frac{2}{40}\) |
\(\frac{5}{40}\) |
\(\frac{6}{40}\) |
\(\frac{3}{40}\) |
\(\frac{8}{40}\) |
\(\frac{7}{40}\) |
\(\frac{3}{40}\) |
\(\frac{3}{40}\) |
\(\frac{2}{40}\) |
2. ให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) ในรูปตารางและกราฟ
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าการทดลองสุ่มของเราคือทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ดังนั้นแซมเปิลสเปส(sample space) คือ
\begin{array}{lcl}s=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\end{array}
ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(n(s)=36\)
จากโจทย์กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต่า ดังนั้นจาก sample space ด้านบนเราได้ว่า
ผลต่างของแต้มเป็น 0 คือพวกนี้ \(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว
ผลต่างของแต้ม 1 คือพวกนี้ \(\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,6),(6,5),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)\}\) มีสมาชิก 10 ตัว
ผลต่างของแต้มเป็น 2 คือพวกนี้ \(\{(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(1,3),(3,1)\}\) มีสมาชิก 8 ตัว
ผลต่างของแต้มเป็น 3 คือพวกนี้ \(\{(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว
ผลต่างของแต้มเป็น 4 คือพวกนี้ \(\{(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)\}\) มีสมาชิก 4 ตัว
ผลต่างของแต้มเป็น 5 คือพวกนี้ \(\{(1,6),(6,1)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว
จากที่เราแจกแจงมาทั้งหมดด้านบนทำให้เรารู้อีกว่า ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(Z\) หรือก็คือผลต่างของแต้มลูกเต๋าผมจะแทนด้วย \(z\) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเซตคือ \(z=\{0,1,2,3,4,5\}\)
ต่อไปเราก็หาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) กันเลยครับ
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 0 เขียนแทนด้วย \(P(Z=0)=\frac{6}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 1 เขียนแทนด้วย \(P(Z=1)=\frac{10}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 2 เขียนแทนด้วย \(P(Z=2)=\frac{8}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 3 เขียนแทนด้วย \(P(Z=3)=\frac{6}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 4 เขียนแทนด้วย \(P(Z=4)=\frac{4}{36}\)
ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 5 เขียนแทนด้วย \(P(Z=5)=\frac{2}{36}\)
โจทย์เขาบอกให้ในรูปตารางและกราฟ ลงมือเขียนเลยไม่ยากแล้ว ได้ข้อมูลครบหมดแล้ว
| \(z\) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| \(P(Z=z)\) |
\(\frac{6}{36}=0.17\) |
\(\frac{10}{36}\) |
\(\frac{8}{36}\) |
\(\frac{6}{36}\) |
\(\frac{4}{36}\) |
\(\frac{2}{36}\) |
กราฟแสดงการแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z
มีทุกเรื่องให้อ่านครับ ลองค้นหาดู ฝากแชร์ ให้เพื่อนๆดูด้วยคับ
สนับสนุนเว็บไซต์