• ข้อสอบเวกเตอร์

    ข้อสอบเวกเตอร์ เป็นข้อสอบเวกเตอร์ที่ดีมากครับ เหมาะสำหรับนักเรียนนำไปฝึกฝนเพื่อเตรียมตัวในการสอบในห้องเรียน หรือว่าเตรียมตัวสอบแข่งขันเข้ามหาลัยก็ได้ครับ สำหรับในส่วนของผู้สอนนั้น สามารถนำไปเป็นสื่อในการสอนได้ครับ เป็นข้อสอบที่ดีมากๆเลย  แต่สำหรับนักเรียนผมแนะนำเอาไปฝึกเลยครับผม  ไม่ยากและก็ไม่ง่ายเกินไป เหมาะสำหรับการฝึกฝนและศึกษาด้วยตนเองเลยคับ สำหรับคนที่ต้องการอ่านความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ก็สามารถอ่านได้ตามลิงก์ด้านล่างเลยครับผม หรือสามารถค้นหาได้ในเว็บไซต์เลยก็ได้คับ



  • เฉลย Pat 1 เรื่องเวกเตอร์

    1. กำหนด \(A(a,b)\quad , B(4,-6)\) และ \(C(1,-4)\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้า \(P\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) ซึ่งอยู่ห่างจากจุด \(A\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\) ของระยะระหว่าง \(A\) และ \(B\) และเวกเตอร์ \(\vec{CP}=\vec{i}+\vec{2j}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54/36)

    วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ Pat 1 นะคับ ต้องวาดรูปคร่าวๆเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ดูภาพประกอบด้านล่างคับ

    จากรูปเรากำหนดให้จุด \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((x,y)\) 

    จากโจทย์จะได้ 

    \begin{array}{lcl}\vec{CP}&=&\vec{i}+\vec{2j}\\\vec{CP}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x-1\\y-(-4)\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\so\\x-1=1\\y+4=2\end{array}

    จาก \(x-1=1\) จะได้ \(x=2\)

    และ \(y+4=2\) จะได้ \(y=-2\)

    นั่นคือ \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((2,-2)\)

    ต่อไปเราก็หาค่า \(a\) และ \(b\) จากโจทย์เราจะได้ว่า \(\vec{PA}=\frac{3}{5}\vec{BA}\) เริ่มหาเลย

    \begin{array}{lcl}\vec{PA}&=&\frac{3}{5}\vec{BA}\\\begin{bmatrix}a-2\\b+2\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}a-4\\b+6\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}5a-10\\5b+10\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3a-12\\3b+18\end{bmatrix}\\so\\5a-10=3a-12\\5b+10=3b+18\end{array}

    จาก \(5a-10=3a-12\) แก้สมการจะได้ \(a=-1\)

    จาก \(5b+10=3b+18\) แก้สมการจะได้ \(b=4\)

    นั่นคือ \(a+b=-1+4=3\quad\underline{AnS}\)


    2. กำหนดให้ \(A,B,C\) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม    \(P\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(AC\)    \(Q\) อยู่บน \(AB\) ทำให้ \(AQ:QB=1:2\) ถ้า \(\vec{AB}=6\vec{i}-3\vec{j}\) และ \(\vec{BC}=2\vec{i}+3\vec{j}\) จงหา \(\vec{PQ}\) (Pat 1 ธ.ค. 54/13)

    วิธีทำ  ข้อสอบแบบนี้ต้องวาดรูปนะคับแล้วค่อยๆไปไล่ดูว่า \(\vec{PQ}\) เกิดจากเวกเตอร์อะไรบ้างบวกกันคับ เริ่มเลยนะคับ

    จากรูปจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\vec{PQ}&=&\vec{PA}+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}\vec{CA}+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}(\vec{CB}+\vec{BA})+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}(\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-6\\3\end{bmatrix})+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-8\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-4\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2\\-1\end{bmatrix}\\&=&-2\vec{i}-\vec{j}\quad\underline{Ans}\end{array}

    อธิบายเพิ่มเติมจากสมการข้างบนนะคับ

    การหาเวกเตอร์  \(\vec{AQ}\)

    \begin{array}{lcl}\vec{AQ}&=&\frac{1}{3}\vec{AB}\\&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}6\\-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\end{array}

    การหาเวกเตอร์ \(\vec{CB}\)

    \begin{array}{lcl}\vec{CB}&=&-\vec{BC}\\&=&-(2\vec{i}+3\vec{j})\\&=&-2\vec{i}-3\vec{j}\\&=&\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}\end{array}

     การหาเวกเตอร์ \(\vec{BA}\)

    \begin{array}{lcl}\vec{BA}&=&-\vec{AB}\\&=&-(6\vec{i}-3\vec{j})\\&=&-6\vec{i}+3\vec{j}\\&=&\begin{bmatrix}-6\\3\end{bmatrix}\end{array}

     


    3. กำหนดให้ \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\) ถ้า \(\vec{w}=a\vec{i}+b\vec{j}\) โดยที่ \(\vec{w}\) มีทิศเดียวกันกับ \(\vec{u}\) และ \(|\vec{w}|=10\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (A-NET 49)

    วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ A-NET นะคับ ไม่ยาก ง่ายๆคับ  โจทย์บอกว่าสองเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกันแสดงว่า เวกเตอร์นี้ต้องขนานกันแบบมีทิศทางเดียวกัน

    เนื่องจาก \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\) ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}|\vec{u}|&=&\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\|\vec{u}|&=&\sqrt{25}\\|\vec{u}|&=&5\end{array}

    จากที่ \(|\vec{u}|=5\) และ \(|\vec{w}|=10\) ซึ่งจะเห็นได้ว่า

    \(\vec{w}=2\vec{u}\) นั่นเองคับผมจากตรงนี้แหละเราจะเอาไปหาคำตอบกันครับ เริ่มเลย

    \begin{array}{lcl}\vec{w}&=&2\vec{u}\\\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&2\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}6\\8\end{bmatrix}\end{array}

    นั่นคือ

    \(a=6\) และ \(b=8\)

    ดังนั้น \(a+b=6+8=14\quad\underline{Ans}\)


    4.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี \(D\) เป็นจุดบนด้าน \(AC\) และ \(F\) เป็นจุดบนด้าน \(BC\)  ถ้า \(\vec{AD}=\frac{1}{4}\vec{AC}\quad , \vec{BF}=\frac{1}{3}\vec{BC}\)  และ \(\vec{DF}=a\vec{AB}+b\vec{BC}\) แล้ว \(\frac{a}{b}\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52)

    วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปออกมานะคับถึงจะทำข้อสอบได้ง่าย  ใครวาดรูปไม่เป็นบอกเลยว่ายากคับ จากรูปเราเราจะได้ว่า

    \[\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\]

    เราต้องจัด \(\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\) ให้อยู่ในรูปของ \(\vec{DF}=a\vec{AB}+b\vec{BC}\) เพื่อที่จะได้ค่า \(a\) และ \(b\) ออกมา ใครที่ยังไม่เข้าใจ ก็ลองอ่านตามมาคับ

    \begin{array}{lcl}\vec{DF}&=&\vec{DC}+\vec{CF}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AC}+\frac{2}{3}\vec{CB}\\&=&\frac{3}{4}[\vec{AB}+\vec{BC}]-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{3}{4}\vec{BC}-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{BC}\end{array}

    ตอนนี้เราจะเห็นได้ว่า

    \[\vec{DF}=\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{BC}\]

    ดังนั้น \(a=\frac{3}{4}\)  และ \(b=\frac{1}{12}\)

    นั่นคือ \(\frac{a}{b}=\frac{3}{4}\times 12=9\quad\underline{Ans}\)


    5. กำหนดให้ \(ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน   \(M\) เป็นจุดบนด้าน \(AD\) ซึ่ง \(\vec{AM}=\frac{1}{5}\vec{AD}\)  และ \(N\) เป็นจุดบนเส้นทแยงมุม \(AC\)  ซึ่ง \(\vec{AN}=\frac{1}{6}\vec{AC}\) ถ้า \(\vec{MN}=a\vec{AB}+b\vec{AD}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (PAT 1 มี.ค. 52 /24)

    วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปในคับถึงจะมองเห็นภาพ แล้วก็เริ่มหาว่า เจ้าเวกเตอร์ \(\vec{MN}\) นั้นมันเกิดจากเส้นไหนบวกกันบ้าง ซึ่งจากรูปเราจะเห็นว่า \(\vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}\)  ซึ่งบางคนอาจจะมองไม่เหมือนผมก็ได้นะ เพราะมันบวกได้หลายทาง เมื่อเราได้แบบนี้แล้วต่อไปเราก็จะแปลงไปแปลงมาเพื่อให้ได้ค่า \(a\) และ \(b\) ออกมาคับ เริ่มทำกันเลยคับ

    \begin{array}{lcl}\vec{MN}&=&\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}+\vec{AB}+\vec{DA}+\vec{BA}+\vec{AN}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}+\vec{AB}-\vec{AB}+\vec{DA}+\frac{1}{6}\vec{AC}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}-\vec{AD}+\frac{1}{6}(\vec{AD}+\vec{AB})\\&=&-\frac{1}{5}\vec{AD}+\frac{1}{6}\vec{AD}+\frac{1}{6}\vec{AB}\\&=&\frac{1}{6}\vec{AB}-\frac{1}{30}\vec{AD}\quad\cdots (1)\end{array}

    จาก \((1)\) เราคงเห็นแล้วว่า \(a=\frac{1}{6}\) และ \(b=-\frac{1}{30}\) ดังนั้น

    \(a+b=\frac{1}{6}-\frac{1}{30}=\frac{2}{15}\quad\underline{AnS}\)

    จากสมการข้างบนจะอธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่งเผื่อบางคนยังไม่รู้หรือว่าลืมๆแล้วก็คือ

    \(\vec{BA}=-\vec{AB}\)

    \(\vec{DA}=-\vec{AD}\)


    6. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆ โดยที่ \(|\vec{u}|=1\quad ,|\vec{v}=3\) และ  \(\vec{u}\)  ทำมุม \(60^{\circ}\) กับ \(\vec{v}\) ค่าของ \(\frac{|\vec{u}+\vec{v}|}{|2\vec{u}-\vec{v}|}\) เท่ากับเท่าใด (PAT 1 มี.ค.54/15)

    วิธีทำ   ข้อสอบพวกนี้ต้องจำสูตรให้ได้คับ แล้วก็แก้สมการเป็นด้วย สูตรที่ต้องใช้จะเกี่ยวข้องกับเรื่องผลคูณเชิงสเกลาร์   สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ ซึ่งก็คือ

    \[|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}\]

    \[|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}\]

    \[\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\]

    ใช้สูตรพวกนี้แหละคับผม มาเริ่มทำกันเลย

    ขั้นตอนแรกหา \(\vec{u}\cdot \vec{v}\) ก่อนคับ

    \begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(1)(3)\cos 60^{\circ}\\&=&(1)(3)(\frac{1}{2})\\&=&\frac{3}{2}\end{array}

    ขั้นตอนที่ 2  หา  \(|\vec{u}+\vec{v}|\)

    \begin{array}{lcl}|\vec{u}+\vec{v}|^{2}&=&|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}\\&=&1^{2}+3^{2}+2(\frac{3}{2})\\&=&1+9+3\\&=&13\\so\\|\vec{u}+\vec{v}|&=&\sqrt{13}\end{array}

    ขั้นตอนที่ 3  หา \(|2\vec{u}-\vec{v}|\)

    \begin{array}{lcl}|2\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|2\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(2\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&2^{2}(1)^{2}+9-4(\frac{3}{2})\\&=&13-6\\&=&7\\so\\|2\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{7}\end{array}

    เพราะฉะนั้น

    \(\frac{|\vec{u}+\vec{v}|}{|2\vec{u}-\vec{v}|}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}}\quad\underline{AnS}\)


    7. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย  ถ้าเวกเตอร์ \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) แล้วเวกเตอร์ \(5\vec{u}-\vec{v}\) มีขนาดเท่ากับเท่าใด  (PAT 1 ก.ค. 52/24)

    วิธีทำ  ข้อนี้เนื่องจาก \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\)   ดังนั้นสองเวกเตอร์นี้ดอทกันจะเท่ากับศูนย์ นั่นก็คือ

    \begin{array}{lcl}(3\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+3\vec{v})&=&0\\3\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{u}\cdot\vec{v}+3\vec{v}\cdot\vec{v}&=&0\\3|\vec{u}|^{2}+10\vec{u}\cdot\vec{v}+3|\vec{v}|^{2}&=&0\\3(1)+10\vec{u}\cdot\vec{v}+(3)(1)&=&0\\6+10\vec{u}\cdot\vec{v}&=&0\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{6}{10}\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{3}{5}\end{array}

    ตอนนี้เราได้ค่าของ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) แล้วนะคับ เก็บค่านี้ไว้ก่อนเดี๋ยวค่อยเอามาใช้คับ

    ต่อไปหาค่าของ \(5\vec{u}-\vec{v}\) เริ่มหากันเลยคับ

    \begin{array}{lcl}|5\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|5\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(5\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&5^{2}|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-10(\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&25(1)+1-10(-\frac{3}{5})\\&=&26+6\\&=&32\\so\\|5\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{32}\\&=&4\sqrt{2}\quad\underline{AnS}\end{array}






    12.  กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทำมุมป้านต่อกัน และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประกอบมุมเป็น \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีค่าเท่ากับ \(3\)  ตารางหน่วย ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีขนาด \(1\) และ \(5\) หน่วย ตามลำดับแล้ว \((2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้  (วิชาสามัญ 55)

    1. -27
    2. -19
    3. 0
    4. 19
    5. 27

    วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าเราวาดรูปคร่าวๆ ก็จะได้ประมาณนี้คับ

    จากโจทย์ \(|\vec{u}|=1\) และ \(|\vec{v}|=5\)

    เราสามารถหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้จาก \(|\vec{u}\times\vec{v}|\)  ซึ่ง

    \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\) เริ่มหาเลยคับผม

    \begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\\3&=&(1)(5)\sin\theta\\\sin\theta&=&\frac{3}{5}\quad\cdots\quad (1)\end{array}

    เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ เดี๋ยวค่อยเอาไปใช้คับ แต่เดี๋ยวก่อนจากสมการที่ \((1)\) ถ้าเราคิดต่อหรือว่าวาดสามเหลี่ยมมุมฉากดูเราจะได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) จริงไหม

    อีกอันหนึ่งที่เราควรหาเก็บไว้คือ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)

    จาก \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) เราจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(5)(1)\frac{4}{5}\\&=&4\end{array}

    ต่อไปเราเริ่มหาคำตอบกันเลยคับ

    \begin{array}{lcl}(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})&=&\left[(2\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{u}\right]-\left((2\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{v}\right)\\&=&(2\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v})\\&=&(2|\vec{u} |^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v} |^{2})\\&=&(2(1)^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+5^{2})\\&=&(2+4)-(2(4)+25)\\&=&6-33\\&=&-27\end{array}

  • เฉลยคณิตศาสตร์วิชาสามัญเรื่องเวกเตอร์

    1.กำหนดให้ \(\theta\) เป็นมุนระหว่างเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)

    ถ้า \(\vec{u}\cdot \vec{v}=\sqrt{3}\) และ \(|\vec{u}\times \vec{v}|=1\) แล้ว \(sin^{2}\theta\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ การทำข้อสอบเวกเตอร์ต้องจำสูตรให้ได้ เพราะใช้สูตรเยอะมาก ซึ่งในข้อนี้ใช้  2 สูตรนี้

    \[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\]

    \[|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta\]

    ดังนั้นจากโจทย์เราจึงได้ว่า

    \(\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta=\sqrt{3}\quad\cdots (1)\)

    \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta=1\quad\cdots (2)\)

    นำ \((2)\div (1)\) จะได้

    \begin{array}{lcl}\frac{|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta}{|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta}&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\\tan\theta&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}

    เนื่องจาก มุมระหว่างเวกเตอร์จะอยู่ระหว่าง \(0^{\circ}\) ถึง \(180^{\circ}\) 

    เนื่องจาก \(tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ดังนั้น \(\theta=30^{\circ}\)

    ตอนนี้หาคำตอบได้แล้ว เพราะเรารู้ค่า \(\theta\) แล้ว

    จึงได้คำตอบคือ

    \begin{array}{lcl}sin^{2}\theta&=&sin^{2}30^{\circ}\\&=&(\frac{1}{2})^{2}\\&=&\frac{1}{4}\quad\underline{Ans}\end{array}


    2.ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ใน 3 มิติ โดย \((\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{u}-\vec{v})=2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}\) แล้ว \(|3\vec{u}\times 3\vec{v}|\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(\frac{15}{4}\)
    2. \(\frac{15}{2}\)
    3. \(\frac{25}{3}\)
    4. \(\frac{35}{4}\)
    5. \(\frac{45}{2}\)

    วิธีทำ   แนะนำให้ไปอ่านตามลิงก์นี้ก่อนเพราะสูตรเยอะเรื่องเวกเตอร์      สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์  เริ่มทำเลยนะค่อยๆอ่านแล้วกัน

     สมบัติที่ต้องใช้เยอะคือ

    \(\vec{u}\times\vec{u}=0\)

    \((\vec{u}\times\vec{v})=-(\vec{v}\times\vec{u})\)

    \begin{array}{lcl}(\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{u}-\vec{v})&=&[(\vec{u}+\vec{v})\times \vec{u}]-[(\vec{u}+\vec{v})\times \vec{v}]\\&=&[(\vec{u}\times\vec{u})+(\vec{v}+\vec{u})]-[(\vec{u}\times\vec{v})+(\vec{v}\times\vec{v})]\\&=&(\vec{v}\times\vec{u})-(\vec{u}-\vec{v})\\&=&-(\vec{u}\times\vec{v})-(\vec{u}\times\vec{v})\\&=&-2(\vec{u}\times\vec{v})\end{array}

    ดังนั้นจะได้

    \begin{array}{lcl}-2(\vec{u}\times\vec{v})&=&2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}\\|-2(\vec{u}\times\vec{v})|&=&|2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}|\\|-2||\vec{u}\times\vec{v}|&=&\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+(\sqrt{5})^{2}}\\2|\vec{u}\times\vec{v}|&=&5\\|\vec{u}\times\vec{v}|&=&\frac{5}{2}\end{array}

    ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}|3\vec{u}\times3\vec{v}|&=&|(3)(3)(\vec{u}\times\vec{v})|\\&=&|(3)(3)||(\vec{u}\times\vec{v}|\\&=&9|\vec{u}\times\vec{v}|\\&=&9(\frac{5}{2})\\&=&\frac{45}{2}\end{array}


    3. กำหนดให้ \(m\) เป็นจำนวนจริงบวก ถ้าเวกเตอร์ \(m\vec{a}+\vec{b}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(m\vec{a}-\vec{b}\) โดยที่ \(|\vec{a}|=2\) และ \(|\vec{b}|=5\) แล้ว \(m\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ  ข้อนี้ต้องไปอ่าน  สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ ก่อนนะคับเรื่องเวกเตอร์ต้องใช้สูตรเยอะมาก  เนื่องจากเวกเตอร์สองอันนี้ตั้งฉากกันดังนั้นดอทกันจะได้ 0 นั่นก็คือ

    \begin{array}{lcl}(m\vec{a}+\vec{b})\cdot (m\vec{a}-\vec{b})&=&0\\m^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a})-m(\vec{a}\cdot\vec{b})+m(\vec{b}\cdot\vec{a})-(\vec{b}\cdot\vec{b})&=&0\\m^{2}|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}&=&0\\m^{2}(2)^{2}-(5)^{2}&=&0\\4m^{2}-25&=&0\\m^{2}&=&\frac{25}{4}\\m&=&\pm\frac{5}{2}\\m&=&\pm 2.5\end{array}

    เนื่องจาก \(m\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(m=2.5\)


    4. ถ้า \(\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\) และ \(\vec{v}\times\vec{w}=\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k}\) แล้วค่าของ \((\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}\) มีค่าเท่าใด

    วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรหรือว่าสมบัตของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้เลยไม่มีอะไรก็คือ

    \((\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}=(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u}\)

    และอีกอันก็คือ \((\vec{w}\times\vec{v})=-(\vec{v}\times\vec{w})\)

    เริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}(\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}&=&(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u}\\&=&-(\vec{v}\times\vec{w})\cdot\vec{u}\\&=&-(\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k})\cdot (2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})\\&=&(-\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k})\cdot (2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})\\&=&(-1)(2)+(-2)(1)+(-4)(-3)\\&=&-2-2+12\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}


    5.กำหนดให้ \(O\) เป็นจุดกำเนิด  \(A=(1,-4,-3)\) และ \(B=(3,-6,2)\) ถ้า \(C\) เป็นจุดบน \(OB\) ซึ่งทำให้ \(AC\) ตั้งฉากกับ \(OB\) แล้ว \(OC\) ยากเท่าใด

    วิธีทำ ข้อนี้ควรวาดรูปดูคร่าวๆก่อนนะคับก็จะได้รูปประมาณนี้

    พิจารณาสามเหลี่ยม \(OCA\) จะได้ว่า \(cos\theta=\frac{|OC|}{|OA|}\) เราจึงได้ว่า \(|OC|=|OA|cos\theta\)

    ต่อไปจากรูปเราจะเห็นว่า เวกเตอร์ \(\vec{OA}\) ทำมุม \(\theta\) กับเวกเตอร์ \(\vec{OB}\) ดังนัั้นจากความรู้ผลคูณเชิงสเกลาร์จึงได้ว่า \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|cos\theta\) นั่นก็คือ

    \(\vec{OA}cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OB}|}\)

    ก่อนจะหาคำตอบ ผมมาทบทวนเกี่ยวกับเวกเตอร์นิดหนึ่ง

    \(\vec{OB}=(3-0)\vec{i}+(-6-0)\vec{j}+(2-0)\vec{k}=3\vec{i}-6\vec{j}+2\vec{k}\) ดังนั้น

    \(|\vec{OB}|=\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{9+36+4}=7\)

    \(\vec{OA}=(1-0)\vec{i}+(-4-0)\vec{j}+(-3-0)\vec{k}=\vec{i}-4\vec{j}-3\vec{k}\) ดังนั้น

    \(|\vec{OA}|=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}\)

    และ\(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=(3)(1)+(-6)(-4)+(2)(-3)=3+24-6=21\)

    ต่อไปเอาข้อมูลข้างบนแทนค่าเพื่อหาคำตอบเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\vec{OA}cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OB}|}&=&\frac{21}{7}\\&=&3\end{array}

    ดังนั้น \(OC=3\quad\underline{Ans}\)


    6. กำหนด \(A(a,b)\quad , B(4,-6)\) และ \(C(1,-4)\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้า \(P\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) ซึ่งอยู่ห่างจากจุด \(A\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\) ของระยะระหว่าง \(A\) และ \(B\) และเวกเตอร์ \(\vec{CP}=\vec{i}+\vec{2j}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1)

    วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ Pat 1 นะคับ ต้องวาดรูปคร่าวๆเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ดูภาพประกอบด้านล่างคับ

    จากรูปเรากำหนดให้จุด \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((x,y)\) 

    จากโจทย์จะได้ 

    \begin{array}{lcl}\vec{CP}&=&\vec{i}+\vec{2j}\\\vec{CP}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x-1\\y-(-4)\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\so\\x-1=1\\y+4=2\end{array}

    จาก \(x-1=1\) จะได้ \(x=2\)

    และ \(y+4=2\) จะได้ \(y=-2\)

    นั่นคือ \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((2,-2)\)

    ต่อไปเราก็หาค่า \(a\) และ \(b\) จากโจทย์เราจะได้ว่า \(\vec{PA}=\frac{3}{5}\vec{BA}\) เริ่มหาเลย

    \begin{array}{lcl}\vec{PA}&=&\frac{3}{5}\vec{BA}\\\begin{bmatrix}a-2\\b+2\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}a-4\\b+6\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}5a-10\\5b+10\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3a-12\\3b+18\end{bmatrix}\\so\\5a-10=3a-12\\5b+10=3b+18\end{array}

    จาก \(5a-10=3a-12\) แก้สมการจะได้ \(a=-1\)

    จาก \(5b+10=3b+18\) แก้สมการจะได้ \(b=4\)

    นั่นคือ \(a+b=-1+4=3\quad\underline{AnS}\)


    7. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย  ถ้าเวกเตอร์ \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) แล้วเวกเตอร์ \(5\vec{u}-\vec{v}\) มีขนาดเท่ากับเท่าใด  (PAT 1 ก.ค. 52/24)

    วิธีทำ  ข้อนี้เนื่องจาก \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\)   ดังนั้นสองเวกเตอร์นี้ดอทกันจะเท่ากับศูนย์ นั่นก็คือ

    \begin{array}{lcl}(3\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+3\vec{v})&=&0\\3\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{u}\cdot\vec{v}+3\vec{v}\cdot\vec{v}&=&0\\3|\vec{u}|^{2}+10\vec{u}\cdot\vec{v}+3|\vec{v}|^{2}&=&0\\3(1)+10\vec{u}\cdot\vec{v}+(3)(1)&=&0\\6+10\vec{u}\cdot\vec{v}&=&0\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{6}{10}\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{3}{5}\end{array}

    ตอนนี้เราได้ค่าของ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) แล้วนะคับ เก็บค่านี้ไว้ก่อนเดี๋ยวค่อยเอามาใช้คับ

    ต่อไปหาค่าของ \(5\vec{u}-\vec{v}\) เริ่มหากันเลยคับ

    \begin{array}{lcl}|5\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|5\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(5\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&5^{2}|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-10(\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&25(1)+1-10(-\frac{3}{5})\\&=&26+6\\&=&32\\so\\|5\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{32}\\&=&4\sqrt{2}\quad\underline{AnS}\end{array}






    12.  กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทำมุมป้านต่อกัน และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประกอบมุมเป็น \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีค่าเท่ากับ \(3\)  ตารางหน่วย ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีขนาด \(1\) และ \(5\) หน่วย ตามลำดับแล้ว \((2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้  (วิชาสามัญ 55)

    1. -27
    2. -19
    3. 0
    4. 19
    5. 27

    วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าเราวาดรูปคร่าวๆ ก็จะได้ประมาณนี้คับ

    จากโจทย์ \(|\vec{u}|=1\) และ \(|\vec{v}|=5\)

    เราสามารถหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้จาก \(|\vec{u}\times\vec{v}|\)  ซึ่ง

    \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\) เริ่มหาเลยคับผม

    \begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\\3&=&(1)(5)\sin\theta\\\sin\theta&=&\frac{3}{5}\quad\cdots\quad (1)\end{array}

    เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ เดี๋ยวค่อยเอาไปใช้คับ แต่เดี๋ยวก่อนจากสมการที่ \((1)\) ถ้าเราคิดต่อหรือว่าวาดสามเหลี่ยมมุมฉากดูเราจะได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) จริงไหม

    อีกอันหนึ่งที่เราควรหาเก็บไว้คือ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)

    จาก \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) เราจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(5)(1)\frac{4}{5}\\&=&4\end{array}

    ต่อไปเราเริ่มหาคำตอบกันเลยคับ

    \begin{array}{lcl}(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})&=&\left[(2\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{u}\right]-\left((2\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{v}\right)\\&=&(2\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v})\\&=&(2|\vec{u} |^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v} |^{2})\\&=&(2(1)^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+5^{2})\\&=&(2+4)-(2(4)+25)\\&=&6-33\\&=&-27\end{array}

  • เวกเตอร์(vector)

    เราสามารถแบ่งปริมาณออกได้สองประเภทคือ ปริมาณเวคเตอร์ กับ ปริมาณสเกลลาร์ ปริมาณสองปริมาณนี้

    มีความแตกต่างกันอย่างไร  เรามาดูนิยามของปริมาณทั้งสองปริมาณนี้ดีกว่า

  • เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

    เวกเตอร์  คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ครูวิษณุเดินทางไปทิศใต้ด้วยระยะทาง 10 กิโลเมตร อย่างนี้เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งการเขียนปริมาณเวกเตอร์ เราจะเขียนแทนด้วย ลูกศร ความยาวลูกศร คือขนาดของเวกเตอร์  ซึ่งการเขียนเวกเตอร์แทนด้วยลูกศรจะยุ่งยากต่อการนำเวกเตอร์มาคำนวณ ดังนั้นจึงมีการเขียนเวกเตอร์ให้อยู่ในระบบพิกัดฉาก ซึ่งเราจะมาดูกันในบทความนี้ว่าเวกเตอร์ในระบบพิฉากนั้นเป็นอย่างไร

    มาดูรูปบนก่อนนะครับ

    จะเห็นว่า \(\vec{u}\)     มีระยะทางแกน X  ไปทางขวายาว  3  หน่วย

    และมีระยะทางแกน Y ไปทางด้านบนยาว 4  หน่วย  ดังนั้นเราสามารถเขียนเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ในระบบพิกัดฉากได้ดังนี้คือ 

    \(\vec{u}=\begin{bmatrix}
    3\\4

    \end{bmatrix}\)

    ถ้าเราต้องการหาขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{u}\)  ก็หาได้ง่ายๆโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเลยจริงไหมดูรูปเอานะ ฉะนั้นขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(|\vec{u}|\)

    \(|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)

    ต่อไปดูรูปล่างนะครับ

    จะเห็นว่า \(\vec{v}\)     มีระยะทางแกน X  ไปทางซ้ายยาว  3  หน่วย

    และมีระยะทางแกน Y ไปทางด้านล่างยาว 3  หน่วย  ดังนั้นเราสามารถเขียนเวกเตอร์ \(\vec{v}\) ในระบบพิกัดฉากได้ดังนี้คือ 

    \(\vec{v}=\begin{bmatrix}
    -3\\-3

    \end{bmatrix}\)

    ถ้าเราต้องการหาขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{v}\)  ก็หาได้ง่ายๆโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเลยจริงไหมดูรูปเอานะ ฉะนั้นขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{v}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(|\vec{v}|\)

    \(|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

    หมายเหตุ

    ถ้าระยะทางแกน X ไปทางขวาจะเป็นบวก

    ถ้าระยะทางแกน X ไปทางซ้ายจะเป็นลบ

    ถ้าระยะทางแกน Y ไปทางด้านบนจะเป็นบวก

    ถ้าระยะทางแทน Y ไปทางด้านล่างจะเป็นลบ

    ดูรูปประกอบเอาเองนะครับไม่น่ายาก


    เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

    จากรูปนะ เวกเตอร์ \(\vec{AB}\)   เป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่พิกัด (2,2)  และจุดสิ้นสุดที่พิกัด (6,5)  ดังนั้นเวกเตอร์   \(\vec{AB}\)  สามารถเขียนให้อยู่ในระบบพิกัดฉากได้คือ

    \(\vec{AB}=\begin{bmatrix}
    6-2\\5-2

    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
    4\\3

    \end{bmatrix}\)

    เป็นอย่างไรบ้าง concept ของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติไม่ยากและเราสามารถนำความตรงนี้ไปขยายใช้ได้กับเวกเตอร์ในระบบพิกัดสามมิติได้ด้วยจริงไหม

    แบบฝึกหัดเกี่ยวกับเวกเตอร์

    1.จงหาเวกเตอร์ที่ลากระหว่างจุดต่อไปนี้

    1)  จาก (1,3) ไปยัง (3,9)

    วิธีทำ ผมตัั้งชื่อให้เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ \(\vec{u}\)

    \(\vec{u}=\begin{bmatrix}
    3-1\\9-3

    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
    2\\6

    \end{bmatrix}\)


    2)  จาก (1,-1)  ไปยัง (-1,1)

    วิธีทำ ผมตัั้งชื่อให้เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ \(\vec{u}\)

    \(\vec{u}=\begin{bmatrix}
    -1-1\\1-(-1)

    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
    -2\\2

    \end{bmatrix}\)

    ต่อไปเราลองขยายความรู้ตรงนี้ไปศึกษา เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ  บ้างลองอ่านดูนะครับ


    2. เวกเตอร์ใดต่อไปนี้ขนานกับเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\) ที่จุด (6,0)

        ก. \(3\vec{i}+4\vec{j}\)      

        ข.  \(3\vec{i}-4\vec{j}\)

        ค.   \(5\vec{i}-3\vec{j}\)

    วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับวงกลมที่จุด (6,0)  ผมให้จุด (x,y) เป็นจุดใดๆที่อยู่บนเส้นตรงนี้เราจะได้สมการเส้นตรงคือ  \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\)  แทนค่า x=6,y=0 จะได้

    \(y-0=m(x-6)\)

    \(y=m(x-6)\)

    แต่เกิดปัญหาครับเราไม่สามารถหาความชันของเส้นตรงนี้ได้เพราะเรารู้พิกัดแค่พิกัดเดียวคือ (6,0) ต้องรู้สองพิกัดจึงจะหาความชันของเส้นตรงได้ครับ แต่อย่าพึ่งกลัวเขาให้วงกลมมาด้วยแสดงว่าต้องมีอะไรเกี่ยวกับวงกลมนี้แน่ครับก่อนอื่นหาจุดศูนย์กลางของวงกลมก่อนครับ

    \begin{array}{lcl}x^{2}+y^{2}-4x+6y-12&=&0\\(x^{2}-4x)+(y^{2}+6y)&=&12\\(x^{2}-2(2)x+2^{2})+(y^{2}+2(3)y+3^{2})&=&12+2^{2}+3^{2}\\(x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=&5^{2}\end{array}

    ดังนั้นจะได้ว่าวงกลมนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,-3) และรัศมียาว 5 หน่วย ถ้าลองว่ารูปคร่าวก็เป็นดังนี้ครับ

    ถ้าเราดูจากรูปเราจะเห็นรัศมีวงกลมซึ่งจะเห็นจุดสองจุดอยู่บนเส้นรัศมีนี้ดังนั้นเราสามารถหาความชันของเส้นรัศมีนี้ได้ เมื่อเรารู้ความชันของรัศมีเราก็สามารถหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมได้   เหตุผลเพราะว่าเส้นสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีวงกลมที่จุดสัมผัส   เมื่อมันตั้งฉากกันแสดงว่าเอาความชันของเส้นทั้งสองมาคูณกันจะเท่ากับ -1 ครับ  ดังนั้นเราจะหาความชันของเส้นรัศมีก่อนจะได้

    \(m=\frac{-3-0}{2-6}=\frac{3}{4}\)

    ดังนั้นความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมเท่ากับ \(-\frac{4}{3}\)  โจทย์ให้หาเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมดังนั้นเวกเตอร์ที่จะขนานกับเส้นสัมผัสวงกลมต้องมีความชันเท่ากันอย่าลืมนะเส้นตรงขนานกันความชันจะเท่ากัน

    พิจารณาเวกเตอร์ ก. \(3\vec{i}+4\vec{j}\) 

    ความหมายของเตอร์นี้ก็คือก็คือเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด (0,0)  และจุดสิ้นสุดที่จุด (3,4) ดังนั้นเวกเตอร์นี้มีความชันคือ \(m=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}\)

    พิจารณาเวกเตอร์  ข.  \(3\vec{i}-4\vec{j}\)

    ความหมายของเตอร์นี้ก็คือก็คือเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด (0,0)  และจุดสิ้นสุดที่จุด (3,-4) ดังนั้นเวกเตอร์นี้มีความชันคือ \(m=\frac{-4-0}{3-0}=-\frac{4}{3}\)  จะเห็นว่าเวกเตอร์นี้มีความชันเท่ากับเส้นสัมผัสวงกลมดังนั้นเวกเตอร์นี้ขนานกับเส้นสัมผัสวงกลมครับ


    3. กำหนดให้จุด \(A,B\) และ \(C(3,1)\) เป็นจุดบนเส้นตรงเดียวกัน ถ้า \(\vec{AB}=\frac{3}{5}\vec{AC}\) และ \(\vec{BC}=\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\) แล้ว จงหาพิกัดของจุด \(A\)

    วิธีทำ กำหนดพิกัด \(B\) คือ \((x,y)\)  และกำหนดพิกัดของ \(A\) คือ \((m,n)\)  จากโจทย์เราจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\vec{BC}&=&\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3-x\\1-y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\\so\\3-x=2\quad then\quad x=1\\1-y=-4\quad then\quad y=-3\end{array}

    ดังนั้น พิกัดของจุด \(B\) คือ \((1,5)\) ต่อไปหาพิกัดของ จุด \(A\)

    จาก 

    \begin{array}{lcl}\vec{AB}&=&\frac{3}{5}\vec{AC}\\\begin{bmatrix}1-m\\-3-n\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}3-m\\1-n\end{bmatrix}\\so\\1-m=\frac{3}{5}(3-m)\cdots\quad (1)\\5-n=\frac{3}{5}(1-n)\cdots\quad (2)\end{array}

    ต่อไปเรามาแก้สมการ \((1)\) และ \((2)\) เพื่อ หาค่าของ \(m\) และ \(n\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}1-m&=&\frac{3}{5}(3-m)\\5-5m&=&3(3-m)\\5-5m&=&9-3m\\-5m+3m&=&9-5\\-2m&=&4\\m&=&-2\end{array}

    ต่อไปหา \(n\)

    \begin{array}{lcl}5-n&=&\frac{3}{5}(1-n)\\25-5n&=&3(1-n)\\25-5n&=&3-3n\\-5n+3n&=&-25+3\\-2n&=&-22\\n&=&11\end{array}

    นั่นคือพิกัดของจุด \(A\) คือ \((-2,11)\quad\underline{AnS}\)