• การหาค่าลิมิตของลำดับ

    วันนี้ผมจะพาทุกคนหาค่าลิมิตของลำดับ ซึ่งการหาค่าลิมิตของลำดับนี้ ก่อนอื่นผมอย่างให้ทุกคนไปอ่าน ความรู้พื้นฐานพวกนี้ก่อนครับ

    ลิมิตของลำดับ

    ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ พื้นที่พวกนี้ก่อนนะครับถึงจะหาค่า ลิมิตของลำดับได้อย่างสบายๆครับ ไปเริ่มทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกปรือฝีมือกันเลยครับทุกคนครับ

    1.จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลำดับเพื่อตรวจสอบว่าลำดับในแต่ละข้อเป็นลำดับลู่เข้าหรือลูออก

    1) \(a_{n}=\frac{8}{3n}\)

    วิธีทำ การตรวจสอบว่าลำดับนั้นลู่เข้า หรือ ลู่ออก ก็คือไปหาลิมิตนั้นเอง ถ้าลำดับนั้นมีลิมิต แสดงว่าลำดับนั้นลู่เข้า แต่ถ้าลำดับนั้นหาลิมิตไม่ได้ ก็แสดงว่าลำดับนั่นลู่ออกครับ   เมื่อเริ่มทำกันเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{8}{3n}&=&\frac{8}{3}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&\frac{8}{3}(0)\\&=&0\end{array}

    หาลิมิตได้ ดังนั้นลำดับ \(a_{n}=\frac{8}{3n}\) เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

    2) \(a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ มันก็คือหาลิมิตของ หนึ่งกว่าๆ ยกกำลังมากขี้นเรื่อยๆ ค่าก็จะมากขึ้นเรื่อยๆไม่ลู่เข้าค่ายใดค่าหนึ่งเลย อย่าลืมนะ แปดหารด้วยเจ็ดได้หนึ่งกว่าๆนะ ข้อนี้มองรู้เลยว่าเป็นลำดับลู่ออก

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{8^{n}}{7^{n}}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^{n} \\หาค่าไม่ได้ เพราะ |\frac{8}{7}|>1\end{array}

    ดังนั้นลำดับ  \(a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}\)  เป็นลำดับลู่ออกครับ

    3) \(a_{n}=(-1)^{n}\)

    วิธีทำ ข้อนี้คิดง่ายๆเลยครับ เป็นอย่างนี้

    \(a_{1}=(-1)^{1}=-1\)

    \(a_{2}=(-1)^{2}=1\)

    \(a_{3}=(-1)^{3}=-1\)

    \(a_{4}=(-1)^{4}=1\)

    ซึ่งจะเห็นได้ว่า ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ \(a_{n}=-1\)

                        ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ \(a_{n}=1\)

    นั่นคือลำดับนี้แกว่งไปแกว่งมา เป็นลำดับหลายใจ จะไปหาหนึ่งก็ไม่ไป จะไปหาลบหนึ่งก็ไม่ไป นั่นคือลำดับนี้เป็นลำดับลู่ออกครับ

    4) \(a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่ยากครับ ถ้าทำบ่อยจะรู้เองว่าลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า เพราะหาลิมิตได้ครับและลิมิตของมันเท่ากับ \(0\) เดี๋ยวหาให้ดูครับ ดูไปพร้อมๆกัน

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&=&3\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{2})^{n}\\&=&3(0)\\&=&0\end{array}

    หาลิมิตได้ ดังนั้นลำดับ \(a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)  ลู่เข้าครับ

    5) \(a_{n}=4+\frac{1}{n}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่ยากอีกแล้วครับ ลำดับนี้ลู่เข้าครับ ลองหาลิมิตกันกันเลย

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\frac{1}{n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4+0\\&=&4\end{array}

    หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับ  \(a_{n}=4+\frac{1}{n}\) เป็นลำดับลู่เข้าครับ

    6) \(a_{n}=\frac{6n-4}{6n}\)

    วิธีทำ เริ่มทำเลยนครับใช้ทฤษฎีลิมิตมาช่วยหาจะได้ง่ายครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{6n-4}{6n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{6n}{6n}-\frac{4}{6n})\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\frac{4}{6}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&1-\frac{4}{6}(0)\\&=&1\end{array}

    หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับผม

    7)  \(a_{n}=\frac{3n+5}{6}\)

    วิธีทำ เมื่อ \(n\) มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ \(a_{n}\) จะเพิ่มขึ้น และไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่งเลย ดังนั้น ลำดับ  \(a_{n}=\frac{3n+5}{6}\) เป็นลำดับลู่ออกครับ

    8) \(a_{n}=\frac{n}{n+1}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ก่อนจะหาลิมิตผมขอจัดรูปของ \(a_{n}\) ก่อนนะครับซึ่งจะได้ดังนีั

    \begin{array}{lcl}\frac{n}{n+1}&=&\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\end{array}

    ต่อไปเราก็นำ\(a_{n}\) ที่ได้จากการจัดรูปนี้มาหาลิมิตครับ ซึ่งจะเห็นว่าลิมิตมันมีค่าเท่ากับหนึ่งใครที่มองไม่ออกก็ดูตามนี้ครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{1}{1+0}\\&=&1\end{array}

    ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

    9) \(a_{n}=\frac{4+5n}{n^{2}}\)

    วิธีทำ จัดรูปของ \(a_{n}\)  ก่อนครับจะได้

    \begin{array}{lcl}\frac{4+5n}{n^{2}}&=&\frac{4}{n^{2}}+\frac{5n}{n^{2}}\\&=&\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n}\end{array}

    จัดรูปสวยแล้วก็หาค่าลิมิตครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n^{2}}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{n}\\&=&4\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}+5\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4(0)+5(0)\\&=&0\end{array}

    ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

    10)  \(a_{n}=\frac{2n-1}{3n+1}\)

    วิธีทำ  ก่อนหาลิมิตจัดรูป \(a_{n}\) ก่อนครับ

    \begin{array}{lcl}\frac{2n-1}{3n+1}&=&\frac{n(2-\frac{1}{n})}{n(3+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{(2-\frac{1}{n})}{(3+\frac{1}{n})}\end{array}

    หาลิมิตกันต่อเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(2-\frac{1}{n})}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(3+\frac{1}{n})}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}2-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{2-0}{3-0}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}

    หาลิมิดได้แสดงว่าลำดับนี้ ลู่เข้าครับ

    11) \(a_{n}=\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ดูดีจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ \(a_{n}\) ของลำดับจะเพิ่มขึ้น และไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่ง ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่ออก

    13) \(a_{n}=\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}\)

    วิธีทำ  จัดรูปให้สวยงามก่อนที่จะหาลิมิต

    \begin{array}{lcl}\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}&=&4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}\end{array}

    เริ่มหาลิมิตกันเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{n^{2}}\\&=&4-2(0)+3(0)\\&=&4\end{array}

    หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

    14) \(a_{n}=\frac{3n^{2}-1}{10n-5n^{2}}\)

    วิธีทำ ก่อนหาลิมิตลองๆจัดรูปก่อนครับผม ก็จะได้

    \begin{array}{lcl}\frac{3n^{2}-1}{10n-5n^{2}}&=&\frac{n^{2}(3-\frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(\frac{10}{n}-5)}\\&=&\frac{3-\frac{1}{n^{2}}}{\frac{10}{n}-5}\end{array}

    ดังนั้น ต่อไปเราก็หาลิมิตเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3-\frac{1}{n^{2}}}{\frac{10}{n}-5}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{10}{n}-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}5}\\&=&\frac{3-0}{0-5}\\&=&-\frac{3}{5}\end{array}

    ลำดับนี้หาลิมิตได้ดังนั้น ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า

    15) \(a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

    วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ต้องจัดรูปเพราะมองออกเลยว่าลิมิตต้องเป็น 0 แน่ครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\\&=&0-0\\&=&0\end{array}

    ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

    16) \(a_{n}=\frac{3^{n+1}}{5^{n+2}}\)

    วิธีทำ ลองจัดรูปก่อนครับข้อนี้จะได้

    \begin{array}{lcl}\frac{3^{n+1}}{5^{n+2}}&=&\frac{3^{n+1}}{5(5^{n+1})}\\&=&\frac{1}{5}\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}}\\&=&\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\end{array}

    ต่อไปก็หาลิมิตครับจากที่จัดรูปน่าจะพอมองออกแล้วนะครับว่าลิมิตเป็นเท่าไร

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}&=&\frac{1}{5}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\\&=&\frac{1}{5}(0)\end{array}

    หมายเหตุสำหรับการหาค่าของ \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\) เราใช้ทฤษฎีบทนี้ในการค่าก็ได้ครับ ซึ่งก็คือ

    ถ้า\(|r|<1\)  แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0\)

    เช่น ในที่นี้ เราจะเห็นว่า \(r=\frac{3}{5}\) และ \(|\frac{3}{5}|<1\) ดังนั้นลิมิตนี้จึงเท่ากับ \(0\)

    แต่ถ้า

    \(|r|>1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}\) จะหาค่าไม่ได้ครับ

    17. \(a_{n}=\frac{2^{n-}+3}{3^{n+2}}\)

    วิธีทำ จัดรูปให้สวยงามก่อนแล้วค่อยหาลิมิต

    \begin{array}{lcl}\frac{2^{n-1}+3}{3^{n+2}}&=&\frac{2^{n-1}}{27\cdot 3^{n-1}}+\frac{3}{3^{n+2}}\\&=&\frac{1}{27}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\frac{1}{3^{n+1}}\end{array}

    ต่อไปหาลิมิตเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{27}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3^{n+1}}&=&\frac{1}{27}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3^{n-1}}\\&=&\frac{1}{7}(0)+0\\&=&0\end{array}

    ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

    18)  \(a_{n}=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}\)

    วิธีทำ ก่อนหาลิมิตจัดรูปก่อนครับ ถ้าใครจะรูปเป็นก็ไม่ยากเลยครับ จะได้ดังนี้

    \begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}&=&\frac{\sqrt{n}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}\\&=&\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}\end{array}

    ต่อไปก็หาค่าลิมิตครับผม แต่หลังจากจัดรูปแล้วน่าจะพอมองออกนะว่าลิมิตมันควรเป็น 1

    เริ่มหาลิมิตเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\\&=&\frac{1-0}{1+0}\\&=&1\end{array}

    ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ 

    19)  \(a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}\)

    วิธีทำ ก่อนหาลิมิตจัดรูปก่อนครับจะได้

    \begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}&=&\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}\\&=&\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\end{array}

    ต่อไปก็หาลิมิตครับเริ่มกันเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{1-0}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}

    ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

    อ่านและทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมตามลิงค์ด้านล่างเลยครับ

  • ลิมิตของลำดับ

    ลิมิตของลำดับ เรามาดูความหมายของลิมิตของลำดับกันครับสำหรับในหัวข้อนี้ ซึ่งลิมิตของลำดับนั้นเป็นสมบัติบางประการที่สำคัญที่ซ่อนอยู่ในลำดับครับ ซึ่งในการพิจารณาหาค่าลิมิตของลำดับจะพิจารณาพจน์ที่ \(n\) ของลำดับเมื่อ \(n\) มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด

    พิจารณาลำดับนี้ดูครับ กำหนดลำดับ \(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)

    \(n\) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
    \(a_{n}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{16}\) \(\frac{1}{32}\) \(\frac{1}{64}\) \(\frac{1}{128}\) \(\frac{1}{256}\) ...

    ปล. เส้นประไม่เกี่ยวกับกราฟนะครับเพียงแต่วาดไว้เพื่อชี้ให้เห็นว่ากราฟหรือว่าจุดสีน้ำเงินมันจะเข้าใกล้ \(0\) เมื่อ  \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

    ซึ่งจากตารางและรูปกราฟข้างบนเราจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จะทำให้  \(a_{n}\) ลดลง เช่น

    \(n=1\rightarrow a_{n}=\frac{1}{2}=0.5\)

    \(n=2\rightarrow a_{n}=\frac{1}{4}=0.25\)

    \(n=3\rightarrow a_{n}=\frac{1}{8}=0.125\)

    \(\vdots\)

    \(n=8\rightarrow a_{n}=\frac{1}{256}=0.00390625\)

    ซึ่งที่เราจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพื่อขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีสิ้นสุด ค่าของ \(a_{n}\) จะลดลงและมีค่าเข้าใกล้ \(0\)

    เราจะกล่าวว่าลำดับ \(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)  มีลิมิตเท่ากับ \(0\)  ซึ่งเขียนแทนด้วย

    \[\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^{n}}=0\]

    เราเรียกลำดับอนันต์ที่มีลิมิตว่าลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

    พิจารณาลำดับนี้  \(a_{n}=2n-1\)

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
    \(a_{n}\) 1 3 5 7 9 11 13 15 ...

    จากตารางข้างบนจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ \(a_{n}\) ก็เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เหมือนกันโดยเป็นเพิ่มแบบไม่เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งเลย เราเรียกลำดับอนั้นต์แบบนี้ว่า ลำดับลู่ออก(divergent sequence)

    พิจารณาลำดับนี้\(a_{n}=(-1)^{n+1}\)

    \(n\) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
    \(a_{n}\) 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ...

    จากตารางจะเห็น เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ \(a_{n}\) มีได้แค่สองค่าเท่านั้นคือ \(1\) กับ \(-1\)  ก็คือแกว่งไปแกว่งมาระหว่างสองค่านี้เท่านั้นลำดับแบบนี้เราถือว่าไม่มีลิมิตเป็นลำดับลู่ออก และจะเรียกลำดับลู่ออกประเภทนี้ที่ค่าของ \(a_{n}\) สลับไปสลับมาว่า ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)

    ต่อไปมาดูทฤษฏีบทที่สำคัญสำหรับการหาลิมิตครับ

    ทบ. 1   ให้ \(r\) เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า 

    \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{r}}=0\)  และ \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n^{r}\)  หาค่าไม่ได้

    ทบ.2   ให้ \(r\) เป็นจำนวนจริง

    ถ้า  \(|r|<1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0\)

    ถ้า \(|r|>1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}\) หาค่าไม่ได้

    ทบ.3  ให้ \(a_{n}\) เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ \(0\) และให้ \(m\) เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ \(2\)

    ถ้า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L\)  แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[m]{a_{n}}=\sqrt[m]{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}=\sqrt[m]{L}\)

    ผมว่าเรามาเริ่มทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับลิมิตกันเลยดีกว่าครับ อ่านมากงง ลองทำแบบฝึกหัดเลยดีกว่า

    1. จงเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลำดับลู่ออก

    1.\(a_{n}=sin\frac{n\pi}{2}\)

    วิธีทำ  มาดูกราฟกันเลยครับ แบบฝึกหัดนี้สามารถใช้โปรแกรม geogebra ทำได้นะครับ แต่อยากให้พยายามทำมือให้ชำนาญก่อนแล้วค่อยใช้โปรแกรมช่วยครับ

    ดูจากกราฟ จะเห็นว่าลำดับ \(a_{n}=sin\frac{2\pi}{2}\) ลู่ออกครับ

    2) \(a_{n}=\frac{5}{n+1}\)

    วิธีทำ ดูจากกราฟจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นค่าของ \(a_{n}\) จะลดลงเรื่อยๆเข้าสู่ \(0\) ดังนั้นลำดับนี้ลู่ออกครับ

    3) \(a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{n}}\)

    วิธีทำ จะรูปกราฟด้านล่างนะครับจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้น \(a_{n}\) มันจะพุ่งเข้าใกล้ \(1\) ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ ถ้าเป็นการหาค่าลิมิต ลิมิตของลำดับนี้จะมีค่าเป็น \(1\)

    สามารถอ่านเพิ่มเติมตามลิงค์ด้านล่างได้อีกครับ เยอะแยะมากมายเลยความรู้

  • ลิมิตของลำดับอนันต์

    วันนี้ตรงกับวันที่ 3  มิถุนายน 2564 ตรงกับวันหยุดแต่ผมไม่เคยหยุดทำงาน เพราะในหัวสมองมันแล่นตลอดหรือภาษาพระเขาเรียกว่าฟุ้งซ่านนั่นเอง ความฟุ้งซ่านนั้นเป็นเรื่องธรรมดา ธรรมชาติ การหยุดความฟุ้งซ่านนั่นหยุดยากต้องอาศัยฌานระดับสูง แต่ในระดับปถุชนคนธรรมดาอย่างเรา ก็แค่ให้รู้ตัวอยู่ว่ากำลังฟุ้งซ่านอยู่นะ มีสติรู้ตัวเองอยู่เสมอว่ากำลังฟุ้งซ๋านแค่นี้ก็พอแล้ว  เอาละเรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาค่าลิมิตของลำดับอนันต์กันเถอะ  แต่รู้สึกว่าเรื่องเกี่ยวกับลิมิตของลำดับนี้ผมได้เขียนไว้มากหลายแล้ว อย่างไรก็ศึกษาเพิ่มเติมตามลิงค์ด้านล่างนะคับผม

    เอาละไปเริ่มทำแบบฝึกหัดกันเลยครับผม ไปแบบฝึกหัดจากหนังสือเรียนของ สสวท. นะคับอย่างไรก็อ่านเพิ่มเติมด้วยครับผม

    \(1. \quad a_{n}=\frac{8}{3n}\)

    วิธีทำ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8}{3n}&=&\frac{8}{3}\lim\frac{1}{n}\\&=&\frac{8}{3}(0)\\&=&0\end{array}

    hint: อย่าลืมนะว่า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\)

    ดังนั้นข้อนี้ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

    \(2.\quad a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}\)

    วิธีทำ ข้อนี้เราใช้ สูตรลิมิต ข้อที่ว่าถ้า \(|r|>1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}\) หาค่าไม่ได้  เริ่มทำเลย

    และอย่าลืม \(\frac{8^{n}}{7^{n}}=\left(\frac{8}{7}\right)^{n}\)

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^{n}&=&\color\red{NO\quad LIMIT}\end{array}

    ข้อนี้ไม่ลิมิตนะคับเพราะจะเห็นว่า \(r=\frac{8}{7}\) และ \(|r|=|\frac{8}{7}|>1\) ดังนั้นลำดับนี้ไม่มีลิมิต หรือว่าเป็นลำดับลู่ออก(divergent sequence) นั่นเองครับ

    \(3. \quad a_{n}=\frac{4^{1-n}}{2^{8-2n}}\)

    วิธีทำ ข้อนี้เดี่ยวเราลองจัดรูปของลำดับดูครับแล้วจะง่าย

    \begin{array}{lcl}\frac{4^{1-n}}{2^{8-2n}}&=&\frac{2^{2(1-n)}}{2^{8-2n}}\\&=&2^{(2-2n)-(8-2n)}\\&=&2^{-6}\\&=&\frac{1}{2^{6}}\\&=&\frac{1}{64}\end{array}

    จะเห็นว่าเมื่อเราจัดลำดับเสร็จแล้วปรากฏว่าลำดับนี้คือ \(a_{n}=\frac{1}{64}\) นั่นคือ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{64}=\frac{1}{64}\end{array}

    ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) 

    \(4.\quad a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ จริงๆแล้วถ้าเราจำพวก สูตรลิมิต ได้มองแป๊ปเดียวได้แล้ว เริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&=&3\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\\&=&3(0)\\&=&0\end{array}

    hint: ข้อนี้ใช้ สูตรลิมิต ที่ว่า \(|r|<1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0\) ซึ่งจะเห็นว่า \(r=\frac{1}{2}\)และ \(|\frac{1}{2}|<1\) ดังนั้น  \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}^{n}=0\) 

    ดังนั้นลำดับข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) 

    \(5.\quad a_{n}=4+\frac{1}{n}\)

    วิธีทำ ข้อนี้มองแล้วตอบได้เลยลู่เข้าแน่นอน เริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4+\frac{1}{n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4+0\\&=&4\end{array}

    เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) 

    \(6. \quad a_{n}\frac{6n-4}{6n}\)

    วิธีทำ ข้อนี้เราจัดรูปลำดับก่อนแล้วค่อยหาลิมิตครับ \(\frac{6n-4}{6n}=\frac{6n}{6n}-\frac{4}{6n}=1-\frac{4}{6n}\)

    เห็นไหมจัดรูปแล้วหาลิมิตจะง่ายขึ้น เริ่มหาลิมิตกันเลย

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{4}{6n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{6n}\\&=&1-0\\&=&1\end{array}

    เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) และลู่เข้าสู่ 1

    \(7.\quad a_{n}=\frac{3n+5}{6}\)

    วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าลำดับมันเป็นเศษส่วนพหุนาม และดีกรีของตัวส่วนคือ 0  ดีกรีของตัวเศษคือ 1 ถ้าดีกรีของตัวส่วนน้อยกว่าดีกรีของตัวเศษ ลำดับนั้นจะลู่ออกคับ ดังนั้นข้อนี้เป็นลำดับลู่ออก (divergent sequence) หรือเราดูง่ายๆเลย สามมันคูณอยู่กับ n และบวกเพิ่มอีก 5 เมื่อ n เข้าสู่อินฟินิตี้หรือมากขึ้นเรื่อยๆ และมันหารด้วยค่าคงที่คือ 6 ฉะนั้นมันก็ย่อมมากขึ้นเรื่อยๆตาม n ที่มันมากขึ้นเรื่อยๆ มันไม่ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งเลย ก็คือไม่มีลิมิต หรือว่าหาค่าลิมิตไม่ได้นั่นเองครับผม

    \(8.\quad a_{n}=\frac{n}{n+1}\) 

    วิธีทำ ข้อนี้จัดรูปลำดับแล้วค่อยหาลิมิตคับ  \(\frac{n}{n+1}=\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\)

    ต่อไปเริ่มหาลิมิตกันเลย

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1 }{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{1}{1+0}\\&=&1\end{array}

    เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) 

    \(9.\quad a_{n}=\frac{4+5n}{n^{2}}\)

    วิธีทำ ขอนี้เราให้สังเกตนะว่า ดีกรีของตัวส่วนคือ 2 มากกว่าดีกรีของตัวเศษคือ 1 ลองหาลิมิตดูนะ ก่อนจะหาลิมิตลองจัดรูปก่อน โดยวิธีการจัดรูปคือเอา \(n^{2}\) หารทุกพจน์เลยก็จะได้ดังนี้คับ

    \(\frac{4+5n}{n^{2}}=\frac{n^{2}(\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n})}{n^{2}}=\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n}\)

    จัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับทุกคนน่าจะมองออก แล้วนะว่าลิมิตเท่ากับเท่าไร ถ้ามองไม่ออกก็ตามมาดูเลย

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n^{2}}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{n}&=&\displaystyle 4\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}+\displaystyle 5\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4(0)+5(0)\\&=&0\end{array}

    ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

    ต่อไปถ้าเราไปเจอลำดับที่อยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนาม แล้วดีกรีของตัวส่วนมากกว่าดีกรีของตัวเศษ แล้วลิมิตของลำดับนั้นจะมีค่าเท่ากับ 0 นะจ๊ะจำไว้เลยจะได้เอาไปใช้

    \(10.  \quad a_{n}=\frac{2n-1}{3n+1}\)

    วิธีทำ  ข้อนี้ลำดับเป็นเศษส่วนพหุนามที่มีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีตัวเศษ ถ้าเป็นแบบลำดับแบบนี้จะเป็นลำดับลู่เข้า  วิธีการคือเอาลำดับนี้มาจัดรูปก่อนโดยการเอา \(n\) ไปหารทั้งเศษและส่วนครับก็จะได้แบบนี้

    \(\frac{2n-1}{3n+1}=\frac{n(2-\frac{1}{n}}{n(3+\frac{1}{n}}=\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}}\)

    หลังจากจัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับทุกคน

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}2-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{2-0}{3+0}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}

    ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

    จำไว้เลยนะลิมิตของลำดับที่เป็นเศษส่วนพหุนาม ถ้าเศษส่วนของพหุนามนั้นมีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีตัวเศษลำดับนั้นจะเป็นลำดับลู่เข้าคือหาลิมิตได้และค่าของลิมิตจะไม่ใช่ศูนย์ ก็คือเป็นอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลขศูนย์ ดังนั้นถ้าเขาถามว่าข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก เราก็ตอบได้ทันที่ว่าลู่เข้าเพราะดีกรีของตัวส่วนกับตัวเศษเท่ากันครับ

    \(11.\quad a_{n}=\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องทำแล้วเพราะลำดับนี้อยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนามดีกรีของตัวส่วนคือ 1 น้อยกว่าดีกรีของตัวเศษคือ 2  ลำดับนี้จะเป็นลำดับลู่ออก หรือถ้าใครลองจัดลำดับแล้วหาลิมิตของลำดับนี้ดู ค่าของลิมิตที่ออกมาจะมีส่วนเป็น 0 เดี่ยวผมจะลองทำให้ดูคร่าวนะจ๊ะ  ผมจะเอา \(n^{2}\) หารทั้งเศษและส่วนครับจะได้แบบนี้นะ

    \(\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}=\frac{n^{2}(3-\frac{5}{n})}{n^{2}(\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}})}=\frac{3-\frac{5}{n}}{\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}}}\)

    จัดรูปเสร็จแล้วลองหาลิมิตดูจะได้ค่าลิมิตออกมาตัวส่วนเป็น 0

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3-\frac{5}{n}}{\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}}}&=&\frac{3-0}{0-0}\\&=&\frac{3}{0}\end{array}

    \(12. \quad a_{n}=\frac{7n^{2}}{5n^{2}-3}\)

    วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นได้ว่าลำดับของเราเป็นเศษส่วนพหุนามที่มีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีของตัวเศษ ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าแน่ เดี่ยวเราจะมาจัดรูปของลำดับใหม่แล้วก็หาลิมิตกันเลยครับผม

    \(\frac{7n^{2}}{5n^{2}-3}=\frac{7n^{2}}{n^{2}(5-\frac{3}{n^{2}})}=\frac{7}{5-\frac{3}{n^{2}}}\)

    จัดรูปแล้วเริ่มหาลิมิตกันเลยครับผม

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{7}{5-\frac{3}{n^{2}}}&=&\frac{7}{5-0}\\&=&\frac{7}{5}\end{array}

    ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

    \(13.\quad a_{n}=\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}\)

    วิธีทำ ลำดับนี้อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนามที่ดีกรีของตัวส่วนกับดีกรีของตัวเศษเท่ากัน ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า

    เมื่อเป็นลำดับลู่เข้าต่อไปเราก็หาลิมิตของลำดับกันเลยครับ เอาลำดับมาจัดรูปก่อนโดยการนำ \(n^{2}\) ไปหารทุกพจน์ครับ จะได้

    \(\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}=\frac{n^{2}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})}{n^{2}}=4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}\)

    จัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})&=&4-0+0\\&=&4\end{array}

    \(14. \quad a_{n}=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}\)

    วิธีทำ ข้อนี้จัดรูปลำดับก่อนนะครับสังเกตทั้งตัวส่วนและตัวเศษมีมีดีกรีเท่ากัน ดังนั้นเอา \(\sqrt{n}\) หารทุกพจน์เลยครับจะได้ดังนี้

    \(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}=\frac{\sqrt{n}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}\)

    จัดรูปแล้วก็หาลิมิตต่อเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\\&=&\frac{1-0}{1+0}\\&=&1\end{array}

    ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้า(convergent sequence)

    \(15.\quad a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}\)

    วิธีทำ ข้อนี้จำวิธีการทำดีๆนะครับเพราะถ้าการหาลิมิตของลำดับที่ติดรูทจะทำเหมือนกันหมดเลย ก็คือจะทำตัวที่อยู่ข้างในรูทอย่างเช่นข้อนี้ให้เอา \(n^{2}\) หารทุกพจน์ที่อยู่ในรูท เลยนะ ก็จะเห็นภาพที่คลี่คลายและสามารถทำต่อได้เอง ไปดูกัน

    \begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}&=&\frac{\sqrt{n^{2}(1-\frac{1}{n^{2}})}}{4n}\\&=&\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}\\&=&\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\end{array}

    จัดรูปเสร็จแล้วต่อไปหาลิมิตกันต่อ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}&=&\frac{\sqrt{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4}\\&=&\frac{\sqrt{1-0}}{4}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}

    ดังนั้นข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)


    2. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ ถ้าเป็นจริง จงให้เหตุผล ถ้าเป็นเท็จ จงยกต้วอย่างค้าน

    1) ถ้า \(a_{n}\) และ \(b_{n}\) เป็นลำดับลู่ออก แล้ว \(a_{n}+b_{n}\) เป็นลำดับลู่ออก

    วิธีทำ ข้อนี้เป็นเท็จแน่นอนครับ เพราะว่าจะเห็นว่า 

    ถ้าเราให้

    \(a_{n}=n\)  และ \(b_{n}=-n\) ซึ่งลำดับทั้งสองนี้ เป็นลำดับลู่ออก แต่ถ้าเราเอาลำดับทั้งสองอันนี้บวกกัน \(a_{n}+b_{n}=0\) ซึ่งจะเห็นได้ว่า

    \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}0=0\)

    นั่นแสดงว่าลำดับ \(a_{n}+b_{n}\) เป็นลำดับลู่เข้า


    3.บริษัทแห่งหนึ่งมีงบรายจ่ายของปีแรกอยู่ที่ 2.5 พันล้านบาท แต่เนื่องจากราคาน้ำมันที่สูงขึ้น บริษัทจึงวางแผนที่จะประหยัดงบประมาณโดยปรับลดงบรายจ่ายลง \(20\%\) ของปีก่อนหน้านี้

    1) จงคำนวณงบรายจ่ายของ 4 ปีแรกหลังจากปรับลดงบ

    วิธีทำ  ปรับงบรายจ่ายลง 20% นั่นหมายความว่าใช้งบได้เพียง 80% นั่นก็คือ

    ปีแรกบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ \(2.5\times 0.8\) พันล้านบาท

    และปีที่สองก็ปรับลดอีก 20%  ก็คือเอางบปีแรกมาปรับลด 20% หรือก็คือใช้งบได้เพียง 80% ดังนั้น

    ปีที่สองบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ \(2.5\times 0.8\times 0.8=2.5(0.8)^{2}\) พันล้านบาท [เอางบรายจ่ายปีแรกมีคูณ 80%หรือก็คือคูณกับ 0.8 นั่นเอง และปีถัดไปก็ทำแบบนี้อีก

    ปีที่สามบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ \(2.5(0.8)^{3}\) พันล้านบาท

    ปีที่สี่บริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ \(2.5(0.8)^{4}\) พันล้านบาท