42. กำหนดเมทริกซ์ \(A=\begin{bmatrix}x&-1\\1&-x\end{bmatrix}\)

ถ้า \(a,b\) เป็นคำตอบของสมการ   \(\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})=45\)

โดย \(a>b\) แล้ว \(2a-b\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ   ข้อนี้ก่อนเริ่มแก้สมการหา \(\det (A)\) ไว้ก่อนเลย จากโจทย์เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\det (A)&=&(x)(-x)-(1)(-1)=-x^{2}+1=\color{red}{1-x^{2}}\end{array}

ต่อไปเราแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(a,b\) กันเลยครับผม เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})&=&45\\2^{2}\det (A^{2})+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\2^{2}\det (A)\det (A)+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\4(1-x^{2})^{2}+\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&45\\\frac{4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}}{1-x^{2}}&=&45\\4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\5(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&\frac{45}{9}\\(1-x^{2})^{2}&=&9\\1-2x^{2}+x^{4}&=&9\\x^{4}-2x^{2}-8&=&0\\(x^{2}-4)(x^{2}+2)&=&0\\so\\x^{2}=4\rightarrow x=\pm 2\quad \\ x^{2}=-2\quad \color{red}{no\quad solution\quad because\quad x^{2}\geq 0}\end{array}

ตอนนี้เราจะเห็นว่า \(x\) ของเราเท่ากับ \(\pm 2\) นั่นก็คือ \(a=2\)  และ \(b=-2\) เพราะโจทย์บอกว่า \(a\) ต้องมากว่า \(b\)

ดังนั้น

\(\underline{Ans}\quad 2a-b=2(2)-(-2)=4+2=6\)

46. ถ้า \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) สำหรับบาง \(x>0\) แล้วค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ (Pat 1 พ.ย.57 ข้อ 29)

วิธีทำ ข้อนี้เรานำสมการ \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) มาแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(\sin^{2}x\) แสดงว่าตรงไหนที่เป็นค่า \(\cos x\) เราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ \(\sin x\) ให้หมดครับ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า

\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) ดังนั้น

\(\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\) ครับผม

เริ่มแก้สมการกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(\cos^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(1-\sin^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\end{array}

เพื่อความสะดวกในการแก้สมการ ผมจะกำหนดให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{A^{2}}{5}+\frac{(1-A)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{A^{2}}{5}+\frac{1-2A+A^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{7A^{2}+5(1-2A+A^{2})}{35}&=&\frac{1}{12}\\7A^{2}+5-10A+5A^{2}&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5-\frac{35}{12}&=&0\\144A^{2}-120A+60-35&=&0\\144A^{2}-120A+25&=&0\\(12A-5)(12A-5)&=&0\\so\\A&=&\frac{5}{12}\end{array}

จากที่เราให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้น

\[\color{red}{\sin^{2}x}=\color{red}{\frac{5}{12}}\]

ต่อไปโจทย์ให้เราหาค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) แต่ก่อนจะหาเราต้องทำการจัดรูปก่อนคับโดยใช้สูตรพวกมุมสองเท่า สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ

\(\sin 2x=2\sin x\cos x\) และ

\(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)

ดังนั้นจากที่โจทย์ให้หาเราจะได้ว่า

พิจารณา \(\sin^{2}(2x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\sin^{2}(2x)&=&(\sin 2x)^{2}\\&=&(2\sin x\cos x)^{2}\\&=&2^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x\\&=&4\sin^{2}x(1-\sin^{2}x)\\&=&4\times \frac{5}{12}\times (1-\frac{5}{12})\\&=&2\times \frac{5}{12}\times \frac{7}{12}\\&=&\frac{35}{36}\end{array}

ดังนั้น \(\sin^{2}(2x)=\frac{35}{36}\)

พิจารณา \(\cos^{2}(2x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\cos^{2}(2x)&=&(\cos 2x)^{2}\\&=&(\cos^{2}x-sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-\sin^{2}x-\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2(\frac{5}{12}))^{2}\\&=&(1-\frac{10}{12})^{2}\\&=&\frac{1}{36}\end{array}

ต่อไปเราเอาค่าที่เราหาด้านบนไปแทนในนี้ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}&=&\frac{35}{36}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{36}\times\frac{1}{7}\\&=&\frac{25}{126}\quad\underline{Ans}\end{array}

47.ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \(3\sin(x-y)=2\sin(x+y)\) แล้ว \((\tan^{3}x)(\cot^{3}y)\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค.57 ข้อ 23)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมากสามารถเก็บคะแนนได้แบบสบายๆ โดยใช้ความรู้ของพวกฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง  ต้องจำสูตรพวกนี้ให้ได้เช่น

\[\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\]

\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\]

เรามาเริ่มทำกันเลยครับเริ่มจากสมการที่โจทย์ให้มาเลย

\begin{array}{lcl}3\sin(x-y)&=&2\sin(x+y)\\3\left[\sin x\cos y-\cos x\sin y\right]&=&2\left[\sin x\cos y+\cos x\sin y\right]\\3\sin x\cos y-3\cos x\sin y&=&2\sin x\cos y+2\cos x\sin y\\3\sin x\cos y-2\sin x\cos y&=&2\cos x\sin y+3\cos x\sin y\\\sin x\cos y&=&5\cos x\sin y\\\frac{\color{red}{\sin x}\color{green}{\cos y}}{\color{red}{\cos x}\color{green}{\sin y}}&=&5\\\color{red}{\tan x}\color{green}{\cot y}&=&5\\so\\\left[\tan x\cot y\right]^{3}&=&5^{3}\\\tan^{3}x\cot^{3}y&=&125\quad\underline{Ans}\end{array}

48. ถ้า \(1-\cos 20^{\circ}=\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52 ข้อ 5(2))

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องใช้ความรู้สูตรผลบวกและผลต่างของตรีโกณมิติ ก็คือ

\[\cot (A+B)=\frac{\cot B\cot A-1}{\cot B+\cot A}\]

\[\cot (A-B)=\frac{\cot B\cot A+1}{\cot B-\cot A}\]

อีกอย่างที่ต้องรู้ก็คือ \(\cot 45^{\circ}=1\)

เริ่มทำจากตรงนี้ก่อน

\begin{array}{lcl}\cot (25^{\circ}+20^{\circ})&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\1&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ ต่อไปเราก็มาเริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}1-\cos 20^{\circ}&=&\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\\(1-\cot 20^{\circ})(1-\cot 25^{\circ})&=&x\\1-\cot 20^{\circ}-\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1-\left(\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}\right)+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\ from\quad (1)\quad \cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\\1-[\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1]+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1-\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1&=&x\\x&=&2\end{array}

49. ค่าของ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ})\cdots (1+\tan 43^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54 ข้อ 30)

วิธีทำ ข้อนี้บอกเลยว่าข้อสอบเขาเล่นเกี่ยวกับเรื่องนี้ครับ คือ \(\tan (A+B)\) ฉะนั้นใครจำสูตรของ \(\tan (A+B)\) ได้ ก็จะทำได้ครับซึ่งสูตรของเขาคือ

\[\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\]

ที่นี้วิธีการทำข้อนี้ลองจับเอาคู่นี้คูณกันดูครับ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) จะได้

\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}

ตัวหนังสือที่แดงๆด้านบน มันจะเท่ากับ \(1\) ทำไมนั่นเหรอ ลองไปดูอันนี้คับ

พิจารณา

\begin{array}{lcl}\tan (1^{\circ}+44^{\circ})&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}&=&\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}\\1&=&\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}

ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\&=&1+1\\&=&2\end{array}

ทำนองเดียวกันถ้าเราจับคู่อื่นคูณกันบ้าง ก็จะได้ค่าเท่ากับ \(2\) เหมือนกันเช่น

\((1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ})=2\)

\((1+\tan 3^{\circ})(1+\tan 42^{\circ})=2\) ซึ่งจะมีแบบนี้ทั้งหมด \(22\) คู่

ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ \(2^{22}\) นั่นเอง

50. ถ้า \(\cos 5\theta=a\cos^{5}\theta+b\cos^{3}\theta+c\cos\theta\) เมื่อ \(\theta\) เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วค่าของ \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 เม.ย. 57 ข้อ 33)

วิธีทำ  ข้อนี้ให้พวกเราเอา \(\cos 5\theta\) มีจัดรูปให้ได้เหมือนกับฝั่งขวาของสมการ เราก็จะได้ว่า \(a,b,c\) เป็นเท่าไร มาดูวิธีการทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\cos 5\theta &=&\cos (4\theta +\theta)\\&=&\cos 4\theta\cos\theta-\sin 4\theta \sin\theta\\&=&\cos 2(2\theta )\cos\theta -[\sin 2(2\theta )\sin\theta ]\\&=&(2\cos^{2}2\theta -1)\cos\theta -[2\sin 2\theta\cos 2\theta\sin\theta ]\\&=&[2(2\cos^{2}\theta -1)^{2}-1)]\cos\theta -[(2)(2)\sin\theta\cos\theta(2\cos^{2}\theta -1)\sin\theta ]\\&=&[2(4\cos^{4}\theta -4\cos^{2}\theta +1)-1]\cos\theta -[4\sin^{2} \cos\theta (2\cos^{2}\theta -1)]\\&=&[8\cos^{4}\theta -8\cos^{2}\theta +2-1]\cos\theta - [\sin^{2}\theta (8\cos^{3}\theta -4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta - [(1-\cos^{2}\theta )(8\cos^{3}\theta - 4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -[8\cos^{3}\theta +4\cos^{3}\theta -8\cos^{5}\theta -4\cos\theta ]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -8\cos^{3}\theta -4\cos^{3}\theta +8\cos^{5}\theta +4\cos\theta\\&=&16\cos^{5}\theta -20\cos^{3}\theta + 5\cos\theta\end{array}

จาก ด้านบนจะเห็นว่า \(a=16,\quad b=(-20),\quad c=5\) ดังนั้น

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=16^{2}+(-20)^{2}+(5)^{2}=681\)

56. \(\tan \left[ \arccos ( \frac{5}{13}) +\arcsin (\frac{3}{5}) \right]\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

วิธีทำ โจทย์แนวนี้หาคำตอบไม่ยากคับ ใครอยากทำโจทย์แบบนี้เพิ่มให้ไปอ่านตามลิงก์นี้

•  โจทย์Pat1 เรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• แบบฝึกหัดโจทย์ผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• แบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ผกผันของฟังก์ชันไซน์หรืออาร์คไซน์(arcsine)
• พื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เอาละเรามาเริ่มทำโจทย์กันดีกว่า เป็นข้อสอบ A-level คณิตศาสตร์ ใครเร็วใครได้เพราะข้อสอบไม่ยากมาก

กำหนดให้ \(A=\arccos\frac{5}{13}\) จะได้ว่า \(\cos A=\frac{5}{13}\)

กำหนดให้ \(B=\arcsin\frac{3}{5}\) จะได้ว่า \(\sin B=\frac{3}{5}\)

แล้วให้เราข้อมูลนี้คือ \(\cos A=\frac{5}{13}\) และ \(\sin B=\frac{3}{5}\)  ไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อหาค่าของ \(\tan A,\tan B\)  ได้รูป ดังนี้

เริ่มทำต่อเลยนะคับ จากที่เรากำหนดให้ \(A=\arccos\frac{5}{13}\) และ \(B=\arcsin\frac{3}{5}\)  เมื่อนำไปแทนค่าในนี้ \(\tan \left[ \arccos ( \frac{5}{13}) +\arcsin (\frac{3}{5}) \right]\)  เราก็จะได้่ว่าสิ่งที่เราต้องการหาก็คือ \(\tan (A+B)\) นั่นเอง ใช้สูตรเท็น เอ บวก บี เลย จำสูตรได้ก็ทำได้ข้อนี้ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\tan (A+B)&=&\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\\&=&\frac{\frac{12}{5}+\frac{3}{4}}{1-\frac{12}{5}\cdot \frac{3}{4}}\\&=&\frac{\frac{63}{20}}{\frac{20-36}{20}}\\&=&-\frac{63}{16}\end{array}

1. จำนวนจริง \(x\) ที่สอดคล้องกับสมการ \(\log_{4}x=\log_{9}3+\log_{3}9\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ อาศัยสมบัติของลอการิทึมและแก้สมการก็เท่านั้นเอง ไปดูวิธีการทำกันเลยค่อยๆอ่านนะคับ

\begin{array}{lcl}\log_{4}x&=&\log_{9}3+\log_{3}9\\\log_{4}x&=&\log_{3^{2}}3+\log_{3}3^{2}\\log_{4}x&=&\frac{1}{2}\log_{3}3+2\log_{3}3\\\log_{4}x&=&\frac{1}{2}+2\\\log_{4}x&=&\frac{5}{2}\\so\\x&=&4^{\frac{5}{2}}\\x&=&(2^{2})^{\frac{5}{2}}\\x&=&2^{5}\\x&=&32\quad\underline{Ans}\end{array}

2. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(x^{(\log_{2}x+1)}=64\) 

1. \(\frac{33}{8}\)
2. \(\frac{31}{4}\)
3. \(\frac{33}{4}\)
4. \(4\)
5. \(8\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้เทคนิคนิดหนึ่งเพื่อให้ง่ายต่อการมอง ก็คือเทคนิคการแทนค่าด้วยตัวแปรครับ ผมจะให้

\(A=\log_{2}x\) ดังนั้นจะได้ \(\frac{1}{A}=\log_{x}2\) เอาละเริ่มการสมการเพื่อหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}x^{(\log_{2}x+1)}&=&64\\x^{A+1}&=&64\\\log(x^{(A+1)})&=&\log 64\\(A+1)\log x&=&\log 2^{6}\\(A+1)\log x&=&6\log2\\A+1&=&\frac{6\log 2}{\log x}\\A+1&=&6\log_{x}2\\A+1&=&6\times\frac{1}{A}\\A(A+1)&=&6\\A^{2}+A-6&=&0\\(A+3)(A-2)&=&0\\so\\A=-3\quad ,A=2\end{array}

พิจารณาต่อเพื่อหาคำตอบ

จาก \(A=-3\) จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&-3\\\log_{2}x&=&-3\\x&=&2^{-3}\\x&=&\frac{1}{2^{3}}\\x&=&\frac{1}{8}\end{array}

จาก \(A=2\) จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&2\\\log_{2}x&=&2\\x&=&2^{2}\\x&=&4\end{array}

ดังนั้นผลบวกคำตอบของสมการนี้คือ

\(4+\frac{1}{8}=\frac{33}{8}\quad\underline{Ans}\)

3.ค่าของ \(\log_{2}(3^{\log_{3}16})\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นการหาค่าลอการิทึมธรรมดาแต่ต้องรู้จักพวกสมบัติของลอการิทึมต่างๆของลอการิทึมนะคับถึงจะทำได้ เอาละมาเริ่มทำกันได้เลย

\begin{array}{lcl}\log_{2}(3^{\log_{3}16})&=&(\log_{3}16)(\log_{2}3)\\&=&\frac{\log 16}{\log 3}\cdot \frac{\log 3}{\log 2}\\&=&\frac{\log 16}{\log 2}\\&=&\log_{2}16\\&=&\log_{2}2^{4}\\&=&4\log_{2}2\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}

4. ค่าในข้อใดต่อไปนี้คือคำตอบของสมการ \(2^{x}\cdot 2^{x+1}\cdot 2^{x+2}=4^{x}+4^{x+1}+4^{x+2}\)

1.  \(\log_{2}\frac{21}{10}\)
2. \(\log_{2}\frac{21}{8}\)
3. \(\log_{2}\frac{21}{6}\)
4. \(\log_{2}\frac{21}{4}\)
5. \(\log_{2}\frac{21}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ได้ยากจัดรูปแก้สมการนิดหน่อยก็เท่านั้นเองไปดูกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}2^{x}\cdot 2^{x+1}\cdot 2^{x+2}&=&4^{x}+4^{x+1}+4^{x+2}\\2^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2\cdot 2^{x}\cdot 2^{2}&=&2^{2x}+2^{2x}\cdot 4+2^{2x}\cdot 4^{2}\\2^{3x}\cdot 2^{3}&=&2^{2x}(1+4+16)\\\frac{2^{3x}}{2^{2x}}&=&\frac{1+4+16}{2^{3}}\\2^{x}&=&\frac{21}{8}\\so\\\log 2^{x}&=&\log \frac{21}{8}\\x\log 2&=&\log \frac{21}{8}\\x&=&\frac{\log\frac{21}{8}}{\log 2}\\x&=&\log_{2}\frac{21}{8}\quad\underline{Ans}\end{array}

5.ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(\log_{2}x+6\log_{x}2-5=0\)  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 8
2. 10
3. 12
4. 14
5. 16

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับผม จะใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปร เหมือนข้อข้างบนเพื่อให้ง่ายต่อการมอง

กำหนดให้ \(A=\log_{2}x\) จะได้ว่า \(\frac{1}{A}=\log_{x}2\) เริ่มแก้สมการกันเลย

\begin{array}{lcl}\log_{2}x+6\log_{x}2-5&=&\\A+6\times\frac{1}{A}-5&=&0\\A+\frac{6}{A}-5&=&0\\A^{2}-5A+6&=&0\\(A-3)(A-2)&=&0\\so\\A=3\quad ,A=2\end{array}

พิจารณา กรณีที่ \(A=3\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}A&=&3\\\log_{2}x&=&3\\x&=&2^{3}\\x=8\end{array}

พิจารณา กรณีที่ \(A=2\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}A&=&2\\\log_{2}x&=&2\\x&=&2^{2}\\x&=&4\end{array}

ดังนั้นผลบวกของคำตอบสมการนี้คือ \(8+4=12\quad\underline{Ans}\)

6. \(\log_{7}625)(\log_{5}343)\) มีค่าเท่ากับข้อใด

วิธีทำข้อนี้ดูเอาเองไม่ขออธิบายอะไรมาก เพราะพื้นๆเลย

\begin{array}{lcl}(\log_{7}625)(\log_{5}343)&=&(\log_{7}5^{4})(\log_{5}7^{3})\\&=&(4\log_{7}5)(3\log_{5}7)\\&=&4\cdot 3\log_{5}7\cdot \log_{7}5\\&=&12\cdot\log_{5}7\cdot\frac{1}{\log_{5}7}\\&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

ผมจะนำข้อสอบต่างๆที่เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนมาเฉลยให้ดูนะคับ ซึ่งข้อสอบนั้นอาจจะเป็นพวกข้อสอบ Pat 1 ,A-level , 9 วิชาสามัญ ,Entrance และอื่นๆ แล้วแต่ว่าจะเป็นเจอข้อไหนที่น่าสนใจ เอาเป็นข้อที่ไม่ยากมาก แบบกลางๆ จะได้สนุกในการทำคับผม

1. จงหาค่าของ \(i^{101}+i^{101!}\) 

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าผมจำไม่ผิดน่าจะเป็นพวกข้อสอบ 9 วิชาสามัญคับ ข้อนี้ใช้ความรู้เกี่ยวกับการหาค่าของพวก \(i^{n}\) ซึ่งวิธีการทำคือ เอา \(n\) ไปหารด้วย \(4\) เพื่อหาเศษออกมา คือ

\(n\div 4\) เหลือเศษ 1 จะได้ \(i^{n}=i\)

\(n\div 4\) เหลือเศษ 2 จะได้ \(i^{n}=-1\)

\(n\div  4\) เหลือเศษ 3 จะได้ \(i^{n}=-i\)

\(n\div 4\) ลงตัวหรือว่าได้เศษ 0 จะได้ \(i^{n}=1\)

จากข้อนี้เราจะเห็นว่า \(101\div 4\) เหลือเศษ 1 ดังนั้น \(i^{101}=i\)

และจะเห็นว่า \(\frac{101!}{4}=\frac{101\times 100\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1}{4}\) ลงตัว ดังนั้น \(i^{101!}=1\)

นั่นคือ \(i^{101}+i^{101!}=i+1\quad\underline{Ans}\)