การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง แนวคิดการเรียนก็คือเหมือนกันกับการแยกตัวประกอบของจำนวนนับตอนที่เราเคยเรียนตอน ป.5 ป.6 นั่นแหละคับ ตัวอย่างเช่น

\(6\) เราสามารถแยกตัวประกอบออกมาเป็น \(6=2\times 3\)

\(9\) เราสามารถแยกตัวประกอบออกมาเป็น \(9=3\times 3\)

ประมาณนี้แหละคับการแยกตัวประกอบ แต่ก่อนที่เราจะมาแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง เรามาทำความรู้จักพหุนามดีกรีสองก่อนว่าหน้าตามันเป็นอย่างไร

พหุนามดีกรีสองจะมีหน้าตารูปร่างเป็นแบบนี้ \(ax^{2}+bx+c\) เมื่อ \(a,b,c\) เป็นเป็นค่าคงตัว และ \(a\neq 0\) และ \(x\) เป็นตัวแปร

ยกตัวอย่างของพหุนามดีกรีสองเช่น

\(\to 5x^{2}+2x+6\)  ซึ่งพหุนามดีกรีสองนี้มี \(a=5\quad , b=2\quad ,c=6\)

\(\to -4x^{2}-9x+1\) ซึ่งพหุนามดีกรีสองนี้มี \(a=-4\quad ,b=-9\quad ,c=1\)

\(\to 8x^{2}+2x\) ซึ่งพหุนามดีกรีสองนี้มี \(a=8,\quad ,b=2 \quad ,c=0\)

\(\to -12x^{2}\) ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีสองนี้มี \(a=-12\quad b=0 ,\quad c=0\)

ต่อไปเราจะมาแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยจะทำให้เห็นเป็นกรณีๆ ไปเพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้น ถ้าใครเคยเรียนเกี่ยวกับการคูณพหุนามก็จะเป็นมองภาพและเรียนเรื่องนี้ง่ายยิ่งขึ้น เช่น เราเคยคูณพหุนามมาแล้วว่า

\((x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6\) นั่นแหละคับ เราจะได้ว่าถ้าเราแยกตัวประกอบ \(x^{2}+5x+6\) เราสามารถแยกออกได้เป็น \((x+2)(x+3)\)

เอาละคับเรามาแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองกันเลยคับ

กรณีที่ 1 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองกรณี \(c=0\)

ซึ่งถ้าค่า \(c=0\) พหุนามดีกรีสองพวกนี้จะมีหน้าตาแบบนี้เช่น \(6x^{2}+x\) หรือ \(-8x^{2}-4x\) เป็นต้น ซึ่งการแยกตัวประกอบเราก็ใช้การดึงตัวร่วมเลย มาดูกันเลยคับ

จงแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้

1. \(x^{2}+x\) 

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+x&=&x\color\red{x}+\color\red{x}\\&=&\color\red{x} (x+1)\end{array}

2. \(2x^{2}-2x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}2x^{2}-2x&=&\color\red{2x}x-\color\red{2x}\\&=&\color\red{2x}(x-1)\end{array}

3.\(15x^{2}-3x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}15x^{2}-3x&=&5\cdot \color\red{3x}x-\color\red{3x}\\&=&\color\red{3x}(5x-1)\end{array}

4.\(-25x^{2}-75x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}-25x^{2}-75x&=&-5\cdot\color\red{5x}x-15\cdot\color\red{5x}\\&=&\color\red{5x}(-5x-15)\end{array}

5.\(-6x^{2}+x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}-6x^{2}+x&=&-6x\color\red{x}+\color\red{x}\\&=&\color\red{x}(-6x+1)\end{array}

ต่อไปลองแยกตัวประกอบดีกรีมากกว่าสองดูบ้างครับ

6. \(49a^{3}-7a^{2}+35a\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}49a^{3}-7a^{2}+35a&=&7\cdot \color\red{7a}\cdot  a\cdot a-\color\red{7a}\cdot a+5\cdot\color\red{7a}\\&=&\color\red{7a}(7\cdot a\cdot a-a+5)\\&=&\color\red{7a}(7a^{2}-a+5)\end{array}

7. \(15x^{3}+25x^{2}-10x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}15x^{3}+25x^{2}-10x&=&3\cdot 5\cdot x\cdot x\cdot x+5\cdot 5\cdot x\cdot x-5\cdot 2\cdot x\\&=&\color\red{5x}3\cdot x\cdot x+\color\red{5x}\cdot 5\cdot x-\color\red{5x}\cdot 2)\\&=&\color\red{5x}(3x^{2}+5x-2)\end{array}

ต่อไปลองแยกตัวประกอบพหุนามที่เป็นลักษณะนี้บ้าง ค่อยๆดูนะคับ

8. \((4-a)+(4-a)x^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(4-a)+(4-a)x^{2}&=&\color\red{(4-a)}+\color\red{(4-a)}x^{2}\\&=&\color\red{(4-a)}(1+x^{2})\end{array}

9. \((x-1)+y^{2}(x-1)\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(x-1)+y^{2}(x-1)&=&\color\red{(x-1)}+y^{2}\color\red{(x-1)}\\&=&\color\red{(x-1)}(1+y^{2})\end{array}

10. \(ax+by+bx+ay\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}ax+by+bx+ay&=&\color\green{ax+bx}+\color\red{by+ay}\\&=&\color\green{x}(a+b)+\color\red{y}(a+b)\\&=&(a+b)(\color\green{x}+\color\red{y})\end{array}

กรณีที่ 2 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองกรณีที่ \(a=1\) และ\(b\) กับ  \(c\) ไม่เท่ากับ \(0\)

พหุนามดีกรีสองที่มี \(a=1\) และค่าของ \(b,c\) ไม่เท่ากับ \(0\) เช่น

\(\to x^{2}+8x+16\) จะเห็นว่า \(a=1,b=8,c=16\)

\(\to\color\red{x^{2}+11x+18}\)  จะเห็นว่า \(a=1,b=11,c=18\)

\(\to\color\green{x^{2}-5x-24}\) จะเห็นว่า \(a=1,b=-5,c=-24\)

\(\to\color\orange{x^{2}+6x-16}\) จะเห็นว่า \(a=1,b=6,c=-16\)

\(\to x^{2}-7x+10\) จะเห็นว่า \(a=1,b=-7,c=10\)

ซึ่งเราจะมาดูว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในฟอร์มนี้จะทำอย่างไร ซึ่งถ้าใครเรียนการคูณพหุนามมาแล้วจะเข้าใจเรื่องนี้มากขี้น ยกตัวอย่างเช่น

\(\to\)\((x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6\) นั่นหมายความว่า \(x^{2}+5x+6\) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น \((x+2)(x+3)\) นั่นเอง

\(\to\)\((x-2)(x-3)=x^{2}-5x+6\) นั่นหมายความว่า \(x^{2}-5x+6\) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น \((x-2)(x-3)\) นั่นเอง

\(\to\)\((x-4)(x+2)=x^{2}-2x-8\) นั่นหมายความว่า \(x^{2}-2x+8\) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น \((x-4)(x+2)\) นั่นเอง

\(\to\)\((x+10)(x-5)=x^{2}+5x-55\) นั่นหมายความว่า \(x^{2}+5x-55\) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น \((x+10)(x-5)\) นั่นเอง

ลองดูรูปภาพด้านล่างที่ผมโยงวิธีการคูณให้ดู ถ้าใครเข้าใจภาพนี้จะแยกตัวประกอบได้แบบสบายๆเลยครับ

ต่อไปเรามาลองทำแบบฝึกหัดการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองกันครับ เดี๋ยวถ้าว่างๆผมจะทำเป็นคลิปให้ดูเสริมอีกที ถ้าว่างนะ

แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง

1) \(x^{2}+15x+56\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+15x+56&=&(x+7)(x+8)\end{array}


2) \(x^{2}+11x+18\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+11x+18&=&(x+9)(x+2)\end{array}


3) \(x^{2}+12x+11\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+12x+11&=&(x+11)(x+1)\end{array}


4) \(x^{2}+18x+81\) 

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+18x+81&=&(x+9)(x+9)\end{array}


5)  \(x^{2}+32x+207\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+32x+207&=&(x+9)(x+23)\end{array}


6) \(x^{2}+16x+55\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}x^{2}+16x+55&=&(x+5)(x+11)\end{array}


7) \(x^{2}+11x+24\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+11x+24&=&(x+8)(x+3)\end{array}


8) \(x^{2}-8x-20\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-8x-20&=&(x-10)(x-2)\end{array}


9) \(x^{2}-5x-24\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-5x-24&=&(x-8)(x+3)\end{array}


10)  \(x^{2}-13x-48\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-13x-48&=&(x-16)(x+3)\end{array}


11) \(x^{2}-x-72\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-x-72&=&(x-7)(x+6)\end{array}


12) \(x^{2}-10x+24\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-10x+24&=&(x-6)(x-4)\end{array}


13)\(x^{2}-11x+30\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-11x+30&=&(x-6)(x-5)\end{array}


14) \(x^{2}-18x+81\)

วิธีทำ

\begin{array}{LCL}x^{2}-18x+81&=&(x-9)(x-9)\end{array}


15) \(x^{2}-9x+20\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-9x+20&=&(x-4)(x-5)\end{array}


16) \(x^{2}-2x+1\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-2x+1&=&(x-1)(x-1)\end{array}


17) \(x^{2}-19x+84\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-19x+84&=&(x-12)(x-7)\end{array}


18) \(x^{2}-10x+16\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-10x+16&=&(x-8)(x-2)\end{array}


19) \(x^{2}+x-6\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+x-6&=&(x+3)(x-2)\end{array}


20) \(x^{2}+x-90\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+x-90&=&(x+10)(x-9)\end{array}


21) \(x^{2}+7x-330\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+7x-30&=&(x+10)(x-3)\end{array}


22)\(x^{2}+4x-221\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+4x-21&=&(x+7)(x-3)\end{array}


Pin It