ถ้าหากว่าเรามีรูปสามเหลี่ยม 2 รูป แล้วมีคนมาถามเราว่าสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นเท่ากันทุกประการไหม วิธีการในการตรวจสอบก็คือนำสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นมาวางทับกันดู ถ้าวางทับกันสนิทพอดี นั่นก็แปลว่าสามเหลี่ยม 2 รูปนั้น เท่ากันทุกประการ แต่วิธีการตรวจสอบแบบนี้อาจจะยุ่งยาก เสียเวลา ดังนั้นจึงมีวิธีการตรวจสอบอีกแบบคือ ไปหาว่าสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นมีความสัมพันธ์กันแบบไหน ซึ่งก็จะมีหลายๆแบบคือ
1. สามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.)
ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูปใดๆ มีด้านที่ยาวเท่ากันเป็นคู่ๆ 2 คู่ และมุมที่อยู่ระหว่างด้านที่มันยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ และสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.) ดูรูปประกอบด้านล่าง
จากรูปจะเห็นว่า
\(1. MP=OP\)
\(2. MN=OS\)
\(3. P\widehat{M}N=R\widehat{O}S\)
ถ้ามีเงื่อนไข 3 ข้อนี้ คือ มีด้านยาวเท่ากัน 2 คู่ มีมุมที่มีขนาดเท่ากัน 1 คู่ สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการและมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.)
ต่อไปมาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดสำหรับเรื่องนี้ครับ
1) จากรูปจงพิสูจน์ว่า \(\triangle KLM \cong \triangle ONM\)
วิธีทำ จากรูป
\(1. KM=MO\) เหตุผล โจทย์กำหนดให้
\(2.LM=MN\) เหตุผล โจทย์กำหนดให้
\(3.K\widehat{M}L=N\widehat{M}O\) เหตุผล มุมตรงข้ามของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
ดังนั้น จึงได้ว่า \(\triangle KLM \cong \triangle ONM\) สามเหลี่ยมสองรูปนี้มีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน
2)กำหนด \(\square ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า AC เป็นเส้นทแยงมุม จงพิสูจน์ว่า \(\triangle ADC\cong \triangle CBA\)
วิธีทำ จากรูป
\(1. AB=DC\) เหตุผล ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวเท่ากัน
\(2. AD=BC\) เหตุผล ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวเท่ากัน
\(3. A\widehat{D}C=A\widehat{B}C\) เหตุผล มุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีแต่ละมุมมีขนาดเท่ากับ 90 องศาเท่ากัน
ดังนั้น \(\triangle ADC\cong \triangle CBA\) (ด.ม.ด.)
2. สามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.)
ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป ใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากัน 2 คู่ และด้านที่อยู่ระหว่างมุมที่มีขนาดเท่ากันมีความยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ ดังภาพด้านล่างนะคับ
จากรูปจะเห็นว่า
\(1. \widehat{C}=\widehat{O}\)
\(2.\widehat{B}=\widehat{N}\)
\(3. CB=ON\)
ถ้ามีเงื่อนไข 3 ข้อนี้ คือ มีมุมเท่ากัน 2 คู่ มีด้านยาวเท่ากัน 1 คู่ สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการและมีความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.)
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ
1) กำหนด \(PS=OS\) และ \(S\widehat{P}N=S\widehat{O}M\) จงพิสูจน์ว่า \(\triangle SPN \cong \triangle SOM\)
วิธีทำ จากรูป
\(1. PS=OS\) เหตุผล โจทย์กำหนดให้
\(2. S\widehat{P} N =S\widehat{O}M\) เหตุผล โจทย์กำหนดให้
\(3. P\widehat{S} O=O\widehat{S}P\) เหตุผล มุมร่วมกัน
ดังนั้น \(\triangle SPN \cong \triangle SOM\) โดยสามเหลี่ยมสองรูปนี้มีความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.)
2) จากรูปที่กำหนดให้ จงพิสูจน์ว่า \(\triangle BDA \cong \triangle BDC\)
วิธีทำ จากรูป
\(1. A\widehat{B}D=C\widehat{B}D\) เหตุผล โจทย์กำหนดให้
\(2. A\widehat{D}B=C\widehat{D}B\) เหตุผล โจทย์กำหนดให้
\(3. BD=BD\) เหตุผล เป็นด้านร่วมกัน
ดังนั้น \(\triangle BDA \cong \triangle BDC\) (ม.ด.ม.)
3. สามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.)
ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป ใดๆ มีด้านที่มีขนาดเท่ากัน 3 คู่ รูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ ดังภาพด้านล่างนะคับ
จากรูป จะเห็นว่า
\(1. BC=NO\)
\(2. AC=MO\)
\(3. AB=MN\)
ถ้ามีเงื่อนไข 3 ข้อนี้ คือ มีด้านเท่ากัน 3 คู่ สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการและมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.)
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรื่องนี้กันครับผม
1) จากรูป กำหนด \(AD=BC\) และ \(BD=AC\) จงพิสูจน์ว่า \(\triangle BAD\cong \triangle ABC\)
วิธีทำ จากรูป
\(1. AD=BC\) เหตุผล โจทย์กำหนดให้
\(2. BD=AC\) เหตุผล โจทย์กำหนดให้
\(3. AB=AB\) เหตุผล จะเห็นด้าน \(AB\) เป็นด้านร่วมกันของสามเหลี่ยม BAD และ สามเหลี่ยม ABC ดังนั้นจะยาวเท่ากันเพราะเป็นด้านร่วม
ดั้งนั้น \(\triangle BAD\cong \triangle ABC\) (ด.ด.ด.)
สนับสนุนเว็บไซต์