การแก้โจทย์ปัญหาสมการกำลังสองตัวแปรเดียว นั้นมีขั้นตอนคร่าวๆที่จะขอสรุปให้ดังต่อไปนี้

1.อ่านและวิเคราะห์โจทย์ คร่าวว่า โจทย์ให้อะไรมาบ้าง และถามหาอะไรครับ

2. กำหนดตัวแปร หลักการกำหนดตัวแปร คือ โจทย์ถามหาอะไรก็ให้ตัวนั้นเป็นตัวแปร เช่น โจทย์ถามว่าความยาวของด้านสี่เหลี่ยมรูปนี้ยาวเท่าไร หลักการกำหนดตัวแปรคือ ให้สี่เหลี่ยมรูปนี้มีความยาว x  หน่วย

3.หลักการที่สามสำคัญมากเป็นการสร้างตัวแบบสมการขึ้นมา จากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดมาให้

4.แก้สมการจากข้อที่ 3 ที่เราขึ้นมาครับ

5.ตรวจสอบคำตอบ ดูความสมเหตุสมผลของคำตอบ

มาเริ่มทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ เฉลยให้ดูเป็นบ้างข้อน่ะ เป็น guide line ให้เดินตาม พยายามทำเองน่ะ ไม่ยากจำหลักให้ได้ก็สบายแล้ว

แบบฝึกหัด

1.รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่รูปหนึ่งมีพื้นที่  441 ตารางเซนติเมตร จงหาว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กที่มีความยาวของด้านน้อยกว่ารูปใหญ่ด้านละ 3 เซนติเมตร จะมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร

วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์ จากโจทย์ให้หาพื้นของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก แต่ก่อนจะหาพื้นที่รูปเล็กได้ต้องหาความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่ให้ได้ก่อน

ในการที่เราจะหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เราต้องรู้ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นจะกำหนดตัวแปรดังนี้   ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีความยาวด้านยาว \(x \)เซนติเมตร

สร้างตัวแบบสมการจากเงื่อนไขของโจทย์

จากโจทย์บอกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีพื้นที่ \(441 \)ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหาได้จาก  ด้าน \(\times \)ด้าน จะได้

\(x\times x = 441 \)

\(x^{2}=441\)

\(\sqrt{x^{2}}=\sqrt{441}\)

\(x=21\)

ดังนั้นจะได้ว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีด้านยาวด้านละ \(21\)เซนติเมตร

แต่ยังไม่ใช่คำตอบน่ะครับ โจทย์ให้หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก โดยความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีความสัมพันธ์กับความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก  คือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กมีความยาวด้านยาวน้อยกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่ด้านละ 3 เซนติเมตร ดังนั้น

จะได้ว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กมีด้านยาว ยาวด้านละ\(21-3=18\)

นั้นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กมีด้านยาวด้านละ \(18\)เซนติเมตร

ดังนั้น สี่เหลี่ยมรูปเล็กมีพื้นที่ \(18 \times 18= 324\)ตารางเซนติเมตร

---

2. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านยาว ยาวกว่าด้านกว้าง 3 เซนติเมตร และมีพื้นที่เป็น 40 ตารางเซนติเมตร จงหาความกว้างของรูปสี่เหลี่ยม

วิธีทำ โจทย์ถามหาความกว้างของรูปสี่เหลี่ยม ดังนั้นเราก็กำหนดตัวแปรว่า

ให้สี่เหลี่ยมมีความกว้าง \(x\)เซนติเมตร

จากเงื่อนไข โจทย์บอกว่ามีด้านยาว ยาวกว่าด้านกว้าง \(3\)เซนติเมตร ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมรูปนี้มีด้านยาว ยาว \(x+3\)เซนติเมตร

และมีพื้นที่ \(40\)ตารางเซนติเมตร นั้นคือ

กว้าง \(\times \)ยาว \(=40\)

\begin{array}{lcl}x(x+3)&=&40\\x^{2}+3x&=&40\\x^{2}+3x-40&=&0\\(x+8)(x-5)&=&0\end{array}

ดังนั้น

\(x=-8\)  หรือ  \(x=5\)

\(x=-8\) ใช้ไม่ได้น่ะครับ เพราะความยาวติดลบไม่ได้

ดังนั้น ความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ \(5\)เซนติเมตรครับ

---

3. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวของด้าน ถ้าความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับพื้นที่พอดี จงหาความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้

วิธีทำ กำหนดตัวแปรคับ โจทย์ให้หาความยาวของด้านสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เราก็กำหนดตัวแปร   ให้สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวด้าน\(x \)หน่วย

ดูเงื่อนไขของโจทย์ โจทย์บอกว่า สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวของด้าน

เราให้สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวด้านละ \(x \)หน่วย ดังนั้น สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้มีความสูงเป็น \(\frac{x}{2}\) หน่วย

และมีเงื่อนไขต่ออีกว่า ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับพื้นที่ของรูปพอดี

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือ มีความยาวของด้านทั้งสี่ด้านเท่ากันหมด

เราให้ด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยาว \(x\) หน่วย คือแต่ละด้านยาว \(x\) หน่วย มี 4 ด้านดังนั้น ทั้งสี่ด้านยาวรวมกัน เท่ากับ \(x+x+x+x=4x\)   นั้นคือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวรอบรูปเป็น \(4x\) หน่วย

พื้นที่ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหาได้จาก ความยาวฐาน \(\times \)สูง

นั้นคือ \(x\times \frac{x}{2}\) เงื่อนไขบอกว่า ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับพื้นที่ของรูปพอดี

จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}4x&=&x \frac{x}{2}\\4x&=&\frac{x^{2}}{2}\\8x&=&x^{2}\\x^{2}-8x&=&0\\x(x-8)&=&0\end{array}

นั่นคือ  \(x=0\) หรือ  \(x=8\)

\(x=0\)ใช้ไม่ได้ เพราะความยาวสี่เหลี่ยมเป็น ศูนย์ไม่ได้

ดังนั้นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านยาวยาวด้านละ \(8\)หน่วย

---

4. ให้ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่เรียงติดกันเท่ากับ \(420\) จงหาจำนวนทั้งสองจำนวนนั้น

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายมากๆครับ ให้เราสังเกตจำนวนเต็มสองจำนวนติดกัน เช่น 12 กับ 13  

จะเห็นว่า 13 คือ 12+1 คือเพิ่มขึ้นมา 1 นั่นเองครับ ดังนั้นเราสมมติตัวแปรกันเลย

กำหนดให้จำนวนเต็มตัวแรกคือ \(x\)

จึงได้ว่าจำนวนเต็มที่ติดกับตัวแรกคือ \(x+1\)

ผลคูณสองจำนวนนี้เท่ากับ \(420\) จึงได้สมการ

\(x(x+1)=420\)  แกสมการหาสองจำนวนนี้เลยครับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x(x+1)&=&420\\x^{2}+x-420&=&0\\(x+21)(x-20)&=&0\end{array}

ดังนั้นจะได้

\(x+21=0\)  หรือ \(x-20=0\)

กรณี 

\(x+21=0\) จะได้

\(x=-21\)

กรณี 

\(x-20=0\) จะได้

\(x=20\)

ดังนั้น  

ถ้า \(x=20\) จะได้ว่า \(x+1=20+1=21\)

คำตอบที่เราได้คือ 20 กับ 21  จะเห็นว่า \(20\times 21=420\)

ถ้า \(x=-21\) จะได้ว่า \(x+1=-21+1=-20\)

คำตอบที่เราได้คือ -21 กับ -20  จะเห็นว่า \(-21\times -20=420\)

คำตอบทั้งหมดคือ จำนวนเต็มสองจำนวนนั้น 20 กับ 21  หรือ  -20 กับ -21

---

5. ให้ผลคูณของจำนวนคี่บวกจำนวนหนึ่งกับจำนวนคี่บวกอีกจำนวนหนึ่งที่อยู่ถัดไปเป็น 323  จงหาจำนวนคี่ทั้งสองจำนวนนั้น

วิธีทำ ทำเหมือนกันกับข้อข้างบน

สมมติเราจำนวนคี่บวกตัวแรกคือ 5  ต้องบวกเพิ่มอีก 2 จึงจะได้จำนวนคี่บวกตัวที่สองก็คือ 7  ดังเราสามารถสมมติตัวแปรได้ดังนี้

กำหนดให้จำนวนคี่บวกตัวแรกคือ \(x\)

จำนวนคี่บวกตัวที่สองที่อยู่ถัดไปคือ \(x+2\)

จากโจทย์จะได้ว่า

\(x(x+2)=323\)

เริ่มแก้สมการจะได้

\begin{array}{lcl}x(x+2)=323\\x^{2}+2x-323&=&0\\(x+19)(x-17)&=&0\end{array}

จะได้

\(x+19=0\rightarrow x=-19\)   หรือ  \(x-17=0\rightarrow x=17\)  

โจทย์บอกว่าจำนวนคี่บวก ดังนั้นใช้ได้ตัวเดียวคือ \(x=17\) อีกตัวต้องเป็น \(19\) ซึ่งจะเห็นว่า \(17\times 19=323\)

---

6. จำนวนสองจำนวนต่างกันอยู่ 3 และผลบวกของกำลังสองของจำนวนทั้งสองเป็น 117 จงหาจำนวนทั้งสองจำนวนนั้น

วิธีทำ  ให้จำนวนแรกคือ \(x\)   สองจำนวนนี้ต่างกันอยู่ 3  ดังนั้นจึงได้ว่า

จำนวนที่สองต้องเป็น \(x+3\)

โจทย์บอกว่าผลบวกของกำลังสองของทั้งสองจำนวนนี้เป็น 117 จึงได้ว่า

\(x^{2}+(x+3)^{2}=117\)

เริ่มแก้สมการกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}x^{2}+(x+3)^{2}&=&117\\x^{2}+x^{2}+6x+9-117&=&0\\2x^{2}+6x-108&=&0\\x^{2}+3x-54&=&0\\(x-9)(x-6)&=&0\end{array}

จะได้

\(x+9=0\rightarrow x=-9\)   หรือ \(x-6)=0\rightarrow x=6\)

ดังนั้น ถ้าตัวแรกเท่ากับ\(-9\)  ตัวที่สองจะเท่ากับ \(-6\) เพราะจำนวนสองจำนวนนี้ต่างกันอยู่ 3 และผลบวกของกำลังสองของสองจำนวนนี้เท่ากับ 117 กล่าวคือ \((-9)^{2}+(-6)^{2}=117\)

อีกอันคือ

ถ้าตัวแรกเท่ากับ \(6\) ตัวที่สองจะเท่ากับ \(9\) เพราะจำนวนสองจำนวนนี้ต่างกันอยู่ 3 และผลบวกของกำลังสองของสองจำนวนนี้เท่ากับ 117  กล่าวคือ \(9^{2}+6^{2}=117\)

ตอบ จำนวนสองจำนวนนั้นคือ \(9\) กับ \(6\)  หรือ \(-9\) กับ \(-6\)