การแปรผกผันเป็นความรู้   ที่เกี่ยวเนื่องกับการแปรผันตรง ถ้าเข้าใจการแปรผันตรง การแปรผกผันก็ไม่ยากครับ แค่อ่านบทนิยามก็เข้าใจแล้ว ผมขอแนะนำว่าก่อนที่จะอ่านเรื่องนี้ จะต้องอ่านเรื่อง การแปรผันตรงให้เข้าใจก่อนน่ะครับ

ตามลิงนี้เลยครับ การแปรผันตรง

เรามาดูนิยามของการแปรผกผันกันเลยดีกว่าครับ

บทนิยาม

ให้ \(x\) และ \(y\) แทนปริมาณใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

\(y\)แปรผกผันกับ\(x \) ก็ต่อเมื่อ \(y=k \times \frac{1}{x}\) เมื่อ \(k\) เป็นค่าคงตัวใดๆ และ \(k \neq 0 \)

อธิบายบทนิยาม

ถ้าเรารู้ว่า \(y\) แปรผกผันกับ \(x\) เราก็จะได้สมการนี้เลยครับคือ\(y=k \times \frac{1}{x}\) เมื่อ \(k\) เป็นค่าคงตัวใดๆ และ \(k \neq 0 \)

ยกตัวอย่างเช่น ถ้าโจทย์กำหนดให้ว่า

1) \(u\)แปรผกผันกับ \(v\) นั้นคือเรารู้เลยว่า \(u=k \times \frac{1}{v}\) ครับ
เมื่อ\(k\) เป็นค่าคงตัวใดๆ และ \(k \neq 0 \)

2) \(m\)แปรผกผ้นกับ \(n\) นั้นคือเรารู้เลยว่า \(m=k \times \frac{1}{n}\) ครับ

เมื่อ \(k\) เป็นค่าคงตัวใดๆ และ \(k \neq 0 \)

3) \(P\)แปรผกผันกับ \(Q^{2}\) นั่นคือเรารู้เลยว่า \(P=k \times \frac{1}{Q^{2}}\)

เมื่อ \(k\) เป็นค่าคงตัวใดๆ และ \(k \neq 0 \)

และในทางกลับกัน

ถ้าโจทย์กำหนดให้ว่า

1) \(y=k \times \frac{1}{x}\)

เรารู้ได้เลยว่า \(y\) แปรผกผันกับ \(x\)

2) \(s=k \times \frac{1}{t}\)

เรารู้ได้เลยว่า \(s\) แปรผกผันกับ \(t\)

เป็นไงบ้างจากบทนิยามการแปรผกผันก็สรุปได้ อย่างที่ผมสรุปให้แหล่ะครับ ไม่ยากครับ ต้องเข้าใจบทนิยามทำแบบฝึกหัดนิดหน่อยก็ได้แล้วครับเรื่องนี้  เวลาอ่านบทนิยามเกี่ยวกับคณิตศาสตร์   เมื่ออ่านนิยามแล้วพยายามหาตัวอย่างที่เกี่ยวกับนิยามนั้นๆมาดู ดูตัวอย่างจะทำให้เราเข้าใจนิยามมากขึ้นครับ

เรามาดูความหมายของสัญลักษณ์ต่างๆ

สมการ \(y=k \times \frac{1}{x}\) เรียกว่า สมการแสดงการแปรผัน ของการแปรผกผัน

เรียก \(k\) ว่า ค่าคงตัวของการแปรผัน

\(y\)แปรผกผันกับ \(x\) จะเขียนแทนด้วย \(y\propto \frac{1}{x}\)

ลองมาทำแบบฝึกหัด กันดีกว่าครับ ถ้าอ่านบทนิยามเข้าใจแบบฝึกหัดที่จะทำต่อไป เหมือนปอกกล้วยเข้าปากครับ

จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. จงเขียนสมการแสดงการการแปรผันจากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1) \(y\propto \frac{1}{x^{2}}\) (อ่านว่า วาย แปรผกผันกับ เอ็กซ์ยกกำลังสอง) และ \(2\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ   ข้อนี้ง่ายๆครับ จากนิยามเขาบอกว่า \(y\)แปรผกผันกับ\(x\)ก็ต่อเมื่อ \(y=k\times \frac{1}{x}\)

ข้อนี้โจทย์บอกว่า \(y\propto \frac{1}{x^{2}}\) เราจึงได้ว่า \(y=k\times \frac{1}{x^{2}}\)

และจากโจทย์เรารู้ว่า \(k=2\) ดังนั้นข้อนี้จึงได้สมการแปรผันว่า

\(y=2 \times \frac{1}{x^{2}}\) หรือ \(y=2\frac{1}{x^{2}}\) หรือ \(y=\frac{2}{x^{2}}\)


2) \(s\propto \frac{1}{\sqrt{2t}}\) และ \(\frac{1}{5}\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ

\(s=\frac{1}{5}\frac{1}{\sqrt{2t}}\)

\(s=\frac{1}{5\sqrt{2t}}\)


3) \(v \propto \frac{1}{\sqrt{t}}\) และ \(0.5\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ   \(v=0.5\frac{1}{\sqrt{t}}\)

\(v=\frac{0.5}{\sqrt{t}}\)


2.ในแต่ละสมการต่อไปนี้ \(y\) แปรผกผันกับปริมาณใด และค่าคงตัวของการแปรผันเป็นเท่าใด

1) \(y=\frac{k}{x^{2}}\) เมื่อ \(k\)เป็นค่าคงตัว และ \(k\neq 0\)

ตอบ

จากโจทย์จะได้ว่า \(y\) แปรผกผันกับ \(\frac{1}{2x}\)หรือเขียนอีกอย่างก็คือ \(y\propto \frac{1}{2x}\)

และค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(k\)


2) \(y=\frac{1}{2t^{3}}\)

ตอบ

\(y\propto \frac{1}{t^{3}}\)

และค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(\frac{1}{2}\)


3) \(y=\frac{7}{x+1}\)

ตอบ

\(y\propto \frac{1}{x+1}\)

และค่าคงตัวของการแปรผันคือ\(7\)


แบบฝึกหัด

1.จากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผันโดยใช้สัญลัษณ์ที่กำหนดให้ในแต่ล่ะข้อ

1) ถ้าความสูง (h) ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน แปรผกผันกับความยาวฐาน (b) โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(120\)

ตอบ จากโจทย์จะได้ว่า \(h\propto \frac{1}{b}\) นั่นคือ \(h=k\frac{1}{b}\)

\(k\)คือค่าคงตัวของการแปรผัน จากโจทย์จะได้ว่า \(k=120\) ดังนั้นข้อนี้จะได้คำตอบคือ

\(h=120\frac{1}{b}\)

\(h=\frac{120}{b}\)

3) ปริมาณกระแสไฟฟ้า (I) แปรผกผันกับความต้านทาน (R) โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(220\)

ตอบ \(I=\frac{220}{R}\)


2.สมการต่อไปนี้แสดงการแปรผกผัน จงบอกปริมาณใดแปรผกผันกับปริมาณใด พร้อมทั้งบอกค่าคงตัวของการแปรผันนั้น

1) \(y=\frac{2}{x}\)

ตอบ \(y\propto \frac{1}{x}\) ค่าคงตัวของการแปรผันคือ 2

3) \(T=\frac{20}{w^{2}}\)

ตอบ \(T \propto \frac{1}{w^{2}}\) ค่าคงตัวของการแปรผันคือ 20


3.ถ้า \(y\) แปรผกผันกับ \(x\) และ \(y=8\) เมื่อ \(x=3\) จงหา

1) สมการแสดงความเกี่ยวข้องระหว่าง \(y\) กับ \(x\)

ตอบ จากโจทย์บอกว่า
\(y\) แปรผกผันกับ \(x\) นั่นคือจะได้ว่า

\(y=k\frac{1}{x}\) และโจทย์กำหนดว่า
\(y=8\) เมื่อ \(x=3\) แทนค่าลงไปในสมการข้างต้นจะได้ว่า

\(8=k \frac{1}{3}\) แก้สมการเพื่อหาค่าของ k

\(k=8 \times 3\)

\(k=24\)

ดังนั้นสมการแสดงความเกี่ยวข้องระหว่าง \(y\) กับ \(x\) คือ

\(y=24 \frac{1}{x}\)

หรือ

\(y=\frac{24}{x}\)


4. เมื่อ\(y\) แปรผกผันกับ \(\sqrt{x} \) และ \(y=5\) เมื่อ \(x=16\) จงหา

1) ค่า \(y\) เมื่อ \(x=100 \)

ตอบ จากโจทย์บอกว่า \(y\) แปรผกผันกับ \(\sqrt{x} \)จะได้ว่า

\(y=k\frac{1}{\sqrt{x}}\) และโจทย์กำหนดอีกว่า \(y=5\) เมื่อ \(x=16\) แทนค่า\(x\) ด้วย \(16\) และ \(y\) ด้วย \(5\)ในสมการข้างต้นจะได้ว่า

\(5=k\frac{1}{16}\)

\(k=5 \times 16\)

\(k=80\)

เราได้สมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y คือ

\( y=80 \frac{1}{x}\)

เมื่อ \(x=100\) จะได้าค่าของ \(y\) คือ

จาก
\( y=80 \frac{1}{x}\) แทน \(x\)ด้วย \(100\)จะได้

\(y=80\frac{1}{100}\)

\(y=\frac{80}{100}\)

\(y=\frac{8}{10}\)

\(y=0.8\)