การแปรผันเกี่ียวเนื่อง เป็นเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนชั้น ม.2 ก่อนจะเรียนเรื่องการแปรผันเกี่ยวเนื่อง เราจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกัน การแปรผันตรง และ การแปรผกผัน ก่อนครับ ฉะนั้นก่อนที่จะอ่านเรื่องการแปรผันเกี่ยวเนื่องแนะนำให้ไปอ่านการแปรผันตรง และการแปรผกผันก่อนนะครับ สำหรับใครที่มีความรู้พื้นฐานอยู่แล้วก็สามารถอ่านการแปรผันเกี่ยวเนื่องได้เลยครับ เรามาดู concept ของการแปรผันเกี่ยวเนื่องกันครับ
จากตารางด้านล่างเป็นตารางที่แสดงความสัมพันธ์ของค่าต่างๆคือ อัตราเร็ว(v) เวลา(t) และ ระยะทาง(s)
อัตราเร็วเฉลี่ย(v) | เวลา(t) | ระยะทาง(s) |
40 | 1 | 40 |
60 | 2 | 120 |
90 | 3 | 270 |
140 | 4 | 560 |
จากตารางเราจะเห็นว่า ระยะทาง s คือผลคูณของอัตราเร็วเฉลี่ย(v)กับเวลา(t) นั่นคือปริมาณของระยะทาง(s) ขึ้นอยู่กับปริมาณของสองปริมาณคืออัตราเร็วกับเวลา หรือถ้าเขียนเป็นสูตรก็คือ \(\quad\)\(s=vt\)
การเปลี่ยนแปลงของปริมาณปริมาณหนึ่ง ซึ่งขึ้นอยู่กับประมาณอื่นๆ ตั้งแต่สองปริมาณขึ้นไป ในลักษณะของสูตรต่างๆทางคณิตศาสตร์ เช่นสูตรการหาพื้นที่ การหาดอกเบี้ย
เช่น สูตรในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ \(A=\frac{1}{2}\times b \times h\)
เมื่อ \(A\) คือพื้นที่สามเหลี่ยม
\(b\) คือความยาวของฐานสามเหลี่ยม
\(h\) คือความสูงของสามเหลี่ยม
จะเห็นว่าค่าของ \(A\) นั้นขึ้นอยู่กับค่าของ \(b \times h\) คือขึ้นอยู่กับปริมาณสองปริมาณและมี \(\frac{1}{2}\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน อย่างนี้จะเรียกว่า \(A\) แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ \(b\) และ \(h\)
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับผมจะเฉลยให้ดูบางข้อเท่านั้นนะครับเพราะบางคนไม่มีเงินเรียนพิเศษไม่มีเงินจ้างครูมาสอนก็สามารถดูจากเว็บนี้เป็นแนวทางได้ครับ แล้วพยายามทำเองต่อไปนะครับอย่าลอกอย่างเดียว
1. จงเปลี่ยนข้อความต่อไปนี้เป็นสมการ
1) \(A\) แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ \( B\) และ \(C\) โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(0.75\)
ตอบ \(A=0.75\times B \times C \)
2) \(Q\) แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ \(x\) และกำลังสองของ \(y\) โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(-1\)
ตอบ \(Q=-1\times x \times y^{2}\)
3) \(F\) แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ \(m_{1},m_{2}\) และกำลังสองของ \(d\) โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ 9
ตอบ \(F=9\times m_{1}\times m_{2}\times d^{2}\)
4) \(y\) แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ \(x\) และ \(\frac{1}{z^{2}}\) โดยมีค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(\frac{1}{2}\)
ตอบ \(y=\frac{1}{2}\times x \times \frac{1}{z^{2}}\)
2. \(y\) แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ \(x\) , \(z\) และ \(\frac{1}{\sqrt{t}}\) ถ้า \(x=25,z=2\) \(\quad\)
และ \(\quad t=1\) จะได้ \(y=100\)
วิธีทำ ให้ \(k\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน จากโจทย์เราจะได้ว่า
\(y=k\times x\times z \times \frac{1}{\sqrt{t}}\) แทนค่าสิ่งที่โจทย์บอกลงไปในสมการ
\(100=k \times 25 \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{1}}\) แก้สมการหาค่า \(k\) จะได้
\(100=50k\)
\(k=\frac{100}{50}\)
\(k=2\)
จงหา
\(1)\) ค่า \(y\) เมื่อ \(x=12,z=5\) และ \(t=4\)
จาก
\(y=k\times x\times z \times \frac{1}{\sqrt{t}}\) แทนค่าสิ่งที่โจทย์ให้มาลงไปจะได้ อย่าลืม \(k=2\)
\(y=2(12)(5)\frac{1}{\sqrt{4}}\)
\(y=\frac{120}{2}\)
\(y=60\)
\(2)\) ค่า \(x\) เมื่อ \(y=36,z=3\) และ \(t=2\)
\(36=2\times x\times 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\) แทนค่าสิ่งที่โจทย์ให้มาลงไปจะได้ อย่าลืม \(k=2\)
\(\frac{36\sqrt{2}}{2\times 3}=x\)
\(x=6\sqrt{2}\)
3. ปริมาตร \(v\) (ลูกบาศก์เซนติเมตร) ของก๊าซจำนวนหนึ่งแปรผันตรงกับอุณหภูมิสัมบูรณ์ \(T\) (เคลวิน)
และแปรผกผันกับความดัน \(P\) (มิลลิเมตรของปรอท) ของก๊าซจำนวนนั้น ถ้าก๊าซจำนวนหนึ่งมีปริมาตร 450 ลูกบาศก์เมตร ที่อุณหภูมิ 360 เคลวิน ภายใต้ความดัน 736 มิลลิเมตรของปรอท
1) จงหาสูตรเพื่อหาปริมาตรของก๊าซที่อุณหภูมิและความดันใดๆ
วิธีทำ โจทย์บอกความสัมพันธ์มาหมดแล้วนะอ่านดีๆ ให้ \(k\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน จะได้สมการ
\(v=k\times T\times \frac{1}{P}\)
แทนค่าที่โจทย์ให้มาเพื่อหาค่า \(k\) จะได้
\(450=k\times 360\times \frac{1}{736}\)
\(\frac{450\times 736}{360}=k\)
\(k=920\)
ดังนั้น จะได้สูตรหาปริมาตรของก๊าซในอุณหภูมิใดๆคือ \(v=920\times T\times \frac{1}{P}\)
2) จงหาปริมาตรของก๊าซที่อุณหภูมิ 312 เคลวิน เมื่อมีความดันเท่า 96 มิลลิเมตรของปรอท
วิธีทำ เอาสูตรในของ 1) มาแทนค่าและก็คำนวณได้เลยครับ
\(v=920\times T\times \frac{1}{P}\)
\(v=920\times 312\times \frac{1}{96}\)
\(v=2990\) ลูกบาศก์เซนติเมตร