การแปรผันเกี่ียวเนื่อง เป็นเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนชั้น ม.2 ก่อนจะเรียนเรื่องการแปรผันเกี่ยวเนื่อง เราจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกัน การแปรผันตรง และ การแปรผกผัน ก่อนครับ ฉะนั้นก่อนที่จะอ่านเรื่องการแปรผันเกี่ยวเนื่องแนะนำให้ไปอ่านการแปรผันตรง และการแปรผกผันก่อนนะครับ  สำหรับใครที่มีความรู้พื้นฐานอยู่แล้วก็สามารถอ่านการแปรผันเกี่ยวเนื่องได้เลยครับ  เรามาดู concept ของการแปรผันเกี่ยวเนื่องกันครับ

จากตารางด้านล่างเป็นตารางที่แสดงความสัมพันธ์ของค่าต่างๆคือ อัตราเร็ว(v)  เวลา(t)  และ ระยะทาง(s)

อัตราเร็วเฉลี่ย(v) เวลา(t) ระยะทาง(s)
40 1 40
60 2 120
90 3 270
140 4 560

จากตารางเราจะเห็นว่า ระยะทาง s  คือผลคูณของอัตราเร็วเฉลี่ย(v)กับเวลา(t)  นั่นคือปริมาณของระยะทาง(s) ขึ้นอยู่กับปริมาณของสองปริมาณคืออัตราเร็วกับเวลา หรือถ้าเขียนเป็นสูตรก็คือ \(\quad\)\(s=vt\)

การเปลี่ยนแปลงของปริมาณปริมาณหนึ่ง ซึ่งขึ้นอยู่กับประมาณอื่นๆ ตั้งแต่สองปริมาณขึ้นไป ในลักษณะของสูตรต่างๆทางคณิตศาสตร์ เช่นสูตรการหาพื้นที่ การหาดอกเบี้ย

เช่น สูตรในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ   \(A=\frac{1}{2}\times b \times h\)

เมื่อ  \(A\)         คือพื้นที่สามเหลี่ยม

       \(b\)         คือความยาวของฐานสามเหลี่ยม

       \(h\)         คือความสูงของสามเหลี่ยม

จะเห็นว่าค่าของ \(A\) นั้นขึ้นอยู่กับค่าของ \(b \times h\)   คือขึ้นอยู่กับปริมาณสองปริมาณและมี  \(\frac{1}{2}\)    เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน  อย่างนี้จะเรียกว่า  \(A\)    แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ   \(b\)   และ  \(h\)

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับผมจะเฉลยให้ดูบางข้อเท่านั้นนะครับเพราะบางคนไม่มีเงินเรียนพิเศษไม่มีเงินจ้างครูมาสอนก็สามารถดูจากเว็บนี้เป็นแนวทางได้ครับ แล้วพยายามทำเองต่อไปนะครับอย่าลอกอย่างเดียว

1.  จงเปลี่ยนข้อความต่อไปนี้เป็นสมการ

1)  \(A\)     แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ \( B\)     และ    \(C\)   โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ   \(0.75\)

ตอบ  \(A=0.75\times B  \times C \)


2)  \(Q\)   แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ \(x\)   และกำลังสองของ   \(y\)   โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ  \(-1\)

ตอบ   \(Q=-1\times x \times y^{2}\)


3)  \(F\)    แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ   \(m_{1},m_{2}\)  และกำลังสองของ     \(d\)   โดยค่าคงตัวของการแปรผันคือ 9

ตอบ    \(F=9\times m_{1}\times m_{2}\times d^{2}\) 


4)   \(y\)    แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ  \(x\)    และ     \(\frac{1}{z^{2}}\)    โดยมีค่าคงตัวของการแปรผันคือ  \(\frac{1}{2}\)

ตอบ   \(y=\frac{1}{2}\times x \times \frac{1}{z^{2}}\)   


2.  \(y\)    แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ   \(x\) , \(z\)  และ    \(\frac{1}{\sqrt{t}}\)      ถ้า  \(x=25,z=2\) \(\quad\)

และ  \(\quad t=1\)  จะได้     \(y=100\)

วิธีทำ  ให้   \(k\)   เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน จากโจทย์เราจะได้ว่า

\(y=k\times x\times z \times \frac{1}{\sqrt{t}}\)     แทนค่าสิ่งที่โจทย์บอกลงไปในสมการ

\(100=k \times 25 \times 2  \times \frac{1}{\sqrt{1}}\)        แก้สมการหาค่า   \(k\)    จะได้

\(100=50k\)

\(k=\frac{100}{50}\)

\(k=2\)

จงหา

\(1)\)   ค่า  \(y\)    เมื่อ   \(x=12,z=5\)     และ  \(t=4\)

จาก

\(y=k\times x\times z \times \frac{1}{\sqrt{t}}\)           แทนค่าสิ่งที่โจทย์ให้มาลงไปจะได้  อย่าลืม \(k=2\)

\(y=2(12)(5)\frac{1}{\sqrt{4}}\) 

\(y=\frac{120}{2}\)

\(y=60\)

\(2)\)   ค่า  \(x\)    เมื่อ   \(y=36,z=3\)     และ  \(t=2\)

\(36=2\times x\times 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\)           แทนค่าสิ่งที่โจทย์ให้มาลงไปจะได้  อย่าลืม \(k=2\)

\(\frac{36\sqrt{2}}{2\times 3}=x\)

\(x=6\sqrt{2}\)


3.  ปริมาตร  \(v\)   (ลูกบาศก์เซนติเมตร) ของก๊าซจำนวนหนึ่งแปรผันตรงกับอุณหภูมิสัมบูรณ์  \(T\)   (เคลวิน)

 และแปรผกผันกับความดัน  \(P\)  (มิลลิเมตรของปรอท)  ของก๊าซจำนวนนั้น ถ้าก๊าซจำนวนหนึ่งมีปริมาตร   450 ลูกบาศก์เมตร ที่อุณหภูมิ  360  เคลวิน ภายใต้ความดัน  736 มิลลิเมตรของปรอท

1)  จงหาสูตรเพื่อหาปริมาตรของก๊าซที่อุณหภูมิและความดันใดๆ

วิธีทำ  โจทย์บอกความสัมพันธ์มาหมดแล้วนะอ่านดีๆ   ให้  \(k\)  เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน  จะได้สมการ

\(v=k\times T\times \frac{1}{P}\)

แทนค่าที่โจทย์ให้มาเพื่อหาค่า   \(k\)  จะได้

\(450=k\times 360\times \frac{1}{736}\)

\(\frac{450\times 736}{360}=k\)

\(k=920\)

ดังนั้น จะได้สูตรหาปริมาตรของก๊าซในอุณหภูมิใดๆคือ   \(v=920\times T\times \frac{1}{P}\)

2)  จงหาปริมาตรของก๊าซที่อุณหภูมิ  312  เคลวิน เมื่อมีความดันเท่า   96  มิลลิเมตรของปรอท

วิธีทำ  เอาสูตรในของ 1)   มาแทนค่าและก็คำนวณได้เลยครับ

\(v=920\times T\times \frac{1}{P}\)

\(v=920\times 312\times \frac{1}{96}\)

\(v=2990\)       ลูกบาศก์เซนติเมตร