ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่แจกแจงความถี่  การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่แจกแจงความถี่แล้วเป็นการหาค่าโดยประมาณ เพราะต้องใช้จุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้นเป็นตัวแทนข้อมูลซึ่งจะใช้วิธีเดียวกันกับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ ดังนี้

\begin{array}{lcl}\sigma &=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\end{array}

หรือ

\begin{array}{lcl}\sigma &=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=i}^{k}f_{i}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}

เมื่อ

\(x_{i}\)  แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

\(f_{i}\)  แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

\(k\) แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

\(N\)  แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมดในประชากรหรือผลรวมของความถี่ของทุกๆอัตรภาคชั้น

\(\mu\) แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดข้อนี้กันครับ

ตัวอย่าง 1 นักเรียนห้องหนึ่งมีจำนวน 50 คน ซึ่งจำนวนวันหยุดของนักเรียน 50 คนแสดงดังตารางต่อไปนี้

จำนวนวันที่หยุดเรียน(วัน) จำนวนนักเรียน (คน)
0-2 15
3-5 20
6-8 12
9-11 2
12-14 1

จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนวันหยุดของนักเรียนห้องนี้

วิธีทำ   วันที่การทำจะเห็นว่าข้อมูลที่โจทย์ให้มานั้นเป็นข้อมูลที่แจกแจงความถี่มาให้ ดังนั้นในการหาตัวแทนข้อมูลในแต่ละอันตรภาคชั้น จำเป็นต้องหาจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น ซึ่งการหาจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นก็คือ เอาค่าต่ำสุด + ค่าสูงสุด เสร็จแล้วหารด้วย 2 ครับ เริ่มทำกันเลย

ก่อนทำ เนื่องจาก สูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมี 2 สูตรให้เลือกใช้ ผมเลือกใช้สูตรนี้นะ

\[\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}f_{i}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\]

ข้อนี้เป็นข้อมูลที่เป็นประชากรนะครับ เพราะเอานักเรียนทั้งหมด 50 คนมาวิเคราะห์เลย

จำนวนวันที่หยุดเรียน(วัน) จำนวนนักเรียน (\(f_{i}\)) จุดกึ่งกลางชั้น\((x_{i})\) \(x_{i}^{2}\) \(f_{i}x_{i}^{2}\)
0-2 15 \(\frac{0+2}{2}=1\) 1 \((1)(15)=15\)
3-5 20 \(\frac{3+5}{2}=4\) 16 \(20)(16)=320\)
6-8 12 7 49 588
9-11 2 10 100 200
12-14 1 13 169 169

จากตารางจะได้ว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}f_{i}x_{i}^{2}=15+320+588+200+169=1292\)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(\mu=\frac{(15\times 1)+(20\times 4)+(12\times 7)+(2\times 10)+(1\times 13)}{50}=4.24\)

เอาไปแทนค่าในสูตร จะได้

\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{1292}{50}-(4.24)^{2}}\\&=&\sqrt{25.84-17.98}\\&=&\sqrt{7.86}\end{array}

นั่นคือความแปรปรวนมีค่าเท่ากับ

\[\sigma^{2}=7.86\]