ความแปรปรวนของประชากร (population variance)
ความแปรปรวน คือ กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวนของประชากรที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ หาได้โดยใช้สูตร
\begin{array}{lcl} \sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\end{array}
มีสองสูตรให้เลือกใช้ในครับใช้อันไหนก็ได้ครับ
และความแปรปรวนของประชากรที่แจกแจงความถี่ หาได้จากสูตร
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\end{array}
เมื่อ
\(k\) แทนจำนวนอัตรภาคชั้น
\(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
ความแปรปรวนของตัวอย่าง (sample vaviance)
ความแปรปรวนของตัวอย่างทั้งกรณีไม่แจกแจงความถี่และแจกแจงความถี่ คือ กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างในทั้งสองกรณีตามลำดับ
ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวอย่าง คำนวณได้ดังนี้
กรณีข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
\[s^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}\]
หรือ
\[s^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}\]
กรณีข้อมูลแจกแจงความถี่
\[s^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}(x_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}\]
หรือ
\[s^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}\]
โดยที่
\(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(\bar{X}\) แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง
\(n\) แทนจำนวนตัวอย่างทั้งหมด \((n=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i})\)
\(k\) แทนจำนวนอันตรภาคชั้นหรือจำนวนกลุ่ม
เริ่มทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่าครับแบบฝึกหัดไม่ยากนะครับแต่จะเน้นความเข้าใจและความรู้พื้นฐานครับ
1. ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 4 คน ถ้าอายุของบิดา มารดา และบุตรทั้งสี่คน เป็น 45, 42, 20, 17, 16 และ 14 ปีตามลำดับ จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของสมาชิกทุกคนในครอบครัวนี้ และในอีก 5 ปีข้างหน้า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุสมาชิกทุกคนในครอบครัวนี้จะเป็นอย่างไร
วิธีทำ
อายุของคนในครอบครัวนี้เป็น 45,42,20,17,16,14 จะได้ว่า
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(=\frac{45+42+20+17+16+14}{6}=\frac{154}{6}=25.67 \quad ปี\)
ต่อไปหาความแปรปรวนครับ ใช้สูตรนี้นะครับ เพราะข้อมูลที่เขาให้มาเป็นประชากรและเป็นข้อมูลแบบไม่แจกแจงความถี่ครับ
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}}{6}-25.67^{2}\\&=&\frac{45^{2}+42^{2}+20^{2}+17^{2}+16^{2}+14^{2}}{6}-(25.67)^{2}\\&=&\frac{4930}{6}-658.9489\\&=&162.72\quad ปี^{2}\end{array}
เนื่องจากความแปรปรวน
\(\sigma^{2}=162.72\)
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน\(\quad(\sigma)\)
\begin{array}{lc}\sqrt{\sigma^{2}}&=&\sqrt{162.72}\\\sigma&=&12.76 \quad ปี\end{array}
นั่นคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 12.76 ปี
ในอีก 5 ปีข้างหน้า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุสมาชิกในครอบครัวนี้จะมีค่าเท่าเดินนะครับเพราะว่าข้อมูลของเราเป็นอายุมันจะเพิ่มขึ้นเท่าเดิมเสมอครับ
2. ความแปรปรวนของน้ำหนักในรอบ 6 ปี ซึ่งมีนำหนัก 60,40,60,50,70 และ 80 กิโลกรัมตามลำดับเท่ากับกี่กิโลกรัม2
วิธีทำ ก่อนจะหาความแปรปรวมเราต้องหาค่าเฉลี่ยก่อน จะได้ค่าเฉลี่ยคือ
\begin{array}{lcl}\overline{x}&=&\frac{60+40+60+50+70+80}{6}\\&=&\frac{360}{6}\\&=&60\end{array}
ต่อไปให้เราหาตัวนี้ครับ \((x_{i}-\overline{x})^{2}\) ก็คือเอาข้อมูลก็คือน้ำหนักของแต่ละปีไปลบกับค่าเฉลี่ยแล้วยกกำลังสองจะได้ดังนี้
\((60-60)^{2}=0^{2}=0\)
\((40-60)^{2}=(-20)^{2}=400\)
\((60-60)^{2}=0^{2}=0\)
\((50-60)^{2}=(-10)^{2}=100\)
\((70-60)^{2}=10^{2}=100\)
\((80-60)^{2}=20^{2}=400\)
ต่อไปเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-\overline{x})^{2}&=&0+400+0+100+100+400\\&=&1000\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ความแปรปรวนของน้ำหนักคือ
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{N}\\&=&\frac{1000}{6}\quad kg^{2}\end{array}
3. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีความแปรปรวนเป็น \(8+\sqrt{60}\) แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&8+\sqrt{60}\\so\\S.D.&=&\sqrt{8+\sqrt{60}}\\&=&\sqrt{8+2\sqrt{15}}\\&=&\sqrt{5}+\sqrt{3}\end{array}
4. จากการคำนวณอายุเฉลี่ยของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น 6 คน ได้เป็น 15 ปี ผลบวกกำลังสองของอายุแต่ละคนเป็น 1404 ปี ความแปรปรวนของอายุคน 6 คนนี้เป็นกี่ปี2
วิธีทำ จากโจทย์ได้ว่า
\(\overline{x}=15\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=1404\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\overline{x})^{2}\\&=&\frac{1404}{6}-15^{2}\\&=&9\end{array}
สามารถศึกษาเกี่ยวกับโจทย์พวกความแปรปรวนจากลิงค์ต่อไปนี้
เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด
โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
แบบฝึกหัดการหาความแปรปรวนของข้อมูลหลายชุด
แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด
สนับสนุนเว็บไซต์