ลิมิตของลำดับ เรามาดูความหมายของลิมิตของลำดับกันครับสำหรับในหัวข้อนี้ ซึ่งลิมิตของลำดับนั้นเป็นสมบัติบางประการที่สำคัญที่ซ่อนอยู่ในลำดับครับ ซึ่งในการพิจารณาหาค่าลิมิตของลำดับจะพิจารณาพจน์ที่ \(n\) ของลำดับเมื่อ \(n\) มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด

พิจารณาลำดับนี้ดูครับ กำหนดลำดับ \(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)

\(n\) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
\(a_{n}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{16}\) \(\frac{1}{32}\) \(\frac{1}{64}\) \(\frac{1}{128}\) \(\frac{1}{256}\) ...

ปล. เส้นประไม่เกี่ยวกับกราฟนะครับเพียงแต่วาดไว้เพื่อชี้ให้เห็นว่ากราฟหรือว่าจุดสีน้ำเงินมันจะเข้าใกล้ \(0\) เมื่อ  \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

ซึ่งจากตารางและรูปกราฟข้างบนเราจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จะทำให้  \(a_{n}\) ลดลง เช่น

\(n=1\rightarrow a_{n}=\frac{1}{2}=0.5\)

\(n=2\rightarrow a_{n}=\frac{1}{4}=0.25\)

\(n=3\rightarrow a_{n}=\frac{1}{8}=0.125\)

\(\vdots\)

\(n=8\rightarrow a_{n}=\frac{1}{256}=0.00390625\)

ซึ่งที่เราจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพื่อขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีสิ้นสุด ค่าของ \(a_{n}\) จะลดลงและมีค่าเข้าใกล้ \(0\)

เราจะกล่าวว่าลำดับ \(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)  มีลิมิตเท่ากับ \(0\)  ซึ่งเขียนแทนด้วย

\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^{n}}=0\]

เราเรียกลำดับอนันต์ที่มีลิมิตว่าลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

พิจารณาลำดับนี้  \(a_{n}=2n-1\)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
\(a_{n}\) 1 3 5 7 9 11 13 15 ...

จากตารางข้างบนจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ \(a_{n}\) ก็เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เหมือนกันโดยเป็นเพิ่มแบบไม่เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งเลย เราเรียกลำดับอนั้นต์แบบนี้ว่า ลำดับลู่ออก(divergent sequence)

พิจารณาลำดับนี้ \(a_{n}=(-1)^{n+1}\)

\(n\) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
\(a_{n}\) 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ...

จากตารางจะเห็น เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ \(a_{n}\) มีได้แค่สองค่าเท่านั้นคือ \(1\) กับ \(-1\)  ก็คือแกว่งไปแกว่งมาระหว่างสองค่านี้เท่านั้นลำดับแบบนี้เราถือว่าไม่มีลิมิตเป็นลำดับลู่ออก และจะเรียกลำดับลู่ออกประเภทนี้ที่ค่าของ \(a_{n}\) สลับไปสลับมาว่า ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)

ต่อไปมาดูทฤษฏีบทที่สำคัญสำหรับการหาลิมิตครับ

ทบ. 1   ให้ \(r\) เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า 

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{r}}=0\)  และ \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n^{r}\)  หาค่าไม่ได้

ทบ.2   ให้ \(r\) เป็นจำนวนจริง

ถ้า  \(|r|<1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0\)

ถ้า \(|r|>1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}\) หาค่าไม่ได้

ทบ.3  ให้ \(a_{n}\) เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ \(0\) และให้ \(m\) เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ \(2\)

ถ้า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L\)  แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[m]{a_{n}}=\sqrt[m]{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}=\sqrt[m]{L}\)

ผมว่าเรามาเริ่มทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับลิมิตกันเลยดีกว่าครับ อ่านมากงง ลองทำแบบฝึกหัดเลยดีกว่า

1. จงเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลำดับลู่ออก

1.\(a_{n}=sin\frac{n\pi}{2}\)

วิธีทำ  มาดูกราฟกันเลยครับ แบบฝึกหัดนี้สามารถใช้โปรแกรม geogebra ทำได้นะครับ แต่อยากให้พยายามทำมือให้ชำนาญก่อนแล้วค่อยใช้โปรแกรมช่วยครับ

ดูจากกราฟ จะเห็นว่าลำดับ \(a_{n}=sin\frac{2\pi}{2}\) ลู่ออกครับ

2) \(a_{n}=\frac{5}{n+1}\)

วิธีทำ ดูจากกราฟจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้นค่าของ \(a_{n}\) จะลดลงเรื่อยๆเข้าสู่ \(0\) ดังนั้นลำดับนี้ลู่ออกครับ

3) \(a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{n}}\)

วิธีทำ จะรูปกราฟด้านล่างนะครับจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้น \(a_{n}\) มันจะพุ่งเข้าใกล้ \(1\) ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ ถ้าเป็นการหาค่าลิมิต ลิมิตของลำดับนี้จะมีค่าเป็น \(1\)

Pin It