วันนี้ผมจะพาทุกคนหาค่าลิมิตของลำดับ ซึ่งการหาค่าลิมิตของลำดับนี้ ก่อนอื่นผมอย่างให้ทุกคนไปอ่าน ความรู้พื้นฐานพวกนี้ก่อนครับ

ลิมิตของลำดับ

ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ พื้นที่พวกนี้ก่อนนะครับถึงจะหาค่า ลิมิตของลำดับได้อย่างสบายๆครับ ไปเริ่มทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกปรือฝีมือกันเลยครับทุกคนครับ

1.จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลำดับเพื่อตรวจสอบว่าลำดับในแต่ละข้อเป็นลำดับลู่เข้าหรือลูออก

1) \(a_{n}=\frac{8}{3n}\)

วิธีทำ การตรวจสอบว่าลำดับนั้นลู่เข้า หรือ ลู่ออก ก็คือไปหาลิมิตนั้นเอง ถ้าลำดับนั้นมีลิมิต แสดงว่าลำดับนั้นลู่เข้า แต่ถ้าลำดับนั้นหาลิมิตไม่ได้ ก็แสดงว่าลำดับนั่นลู่ออกครับ   เมื่อเริ่มทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{8}{3n}&=&\frac{8}{3}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&\frac{8}{3}(0)\\&=&0\end{array}

หาลิมิตได้ ดังนั้นลำดับ \(a_{n}=\frac{8}{3n}\) เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

2) \(a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ มันก็คือหาลิมิตของ หนึ่งกว่าๆ ยกกำลังมากขี้นเรื่อยๆ ค่าก็จะมากขึ้นเรื่อยๆไม่ลู่เข้าค่ายใดค่าหนึ่งเลย อย่าลืมนะ แปดหารด้วยเจ็ดได้หนึ่งกว่าๆนะ ข้อนี้มองรู้เลยว่าเป็นลำดับลู่ออก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{8^{n}}{7^{n}}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^{n} \\หาค่าไม่ได้ เพราะ |\frac{8}{7}|>1\end{array}

ดังนั้นลำดับ  \(a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}\)  เป็นลำดับลู่ออกครับ

3) \(a_{n}=(-1)^{n}\)

วิธีทำ ข้อนี้คิดง่ายๆเลยครับ เป็นอย่างนี้

\(a_{1}=(-1)^{1}=-1\)

\(a_{2}=(-1)^{2}=1\)

\(a_{3}=(-1)^{3}=-1\)

\(a_{4}=(-1)^{4}=1\)

ซึ่งจะเห็นได้ว่า ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ \(a_{n}=-1\)

                    ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ \(a_{n}=1\)

นั่นคือลำดับนี้แกว่งไปแกว่งมา เป็นลำดับหลายใจ จะไปหาหนึ่งก็ไม่ไป จะไปหาลบหนึ่งก็ไม่ไป นั่นคือลำดับนี้เป็นลำดับลู่ออกครับ

4) \(a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)

วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่ยากครับ ถ้าทำบ่อยจะรู้เองว่าลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า เพราะหาลิมิตได้ครับและลิมิตของมันเท่ากับ \(0\) เดี๋ยวหาให้ดูครับ ดูไปพร้อมๆกัน

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&=&3\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{2})^{n}\\&=&3(0)\\&=&0\end{array}

หาลิมิตได้ ดังนั้นลำดับ \(a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)  ลู่เข้าครับ

5) \(a_{n}=4+\frac{1}{n}\)

วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่ยากอีกแล้วครับ ลำดับนี้ลู่เข้าครับ ลองหาลิมิตกันกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\frac{1}{n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4+0\\&=&4\end{array}

หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับ  \(a_{n}=4+\frac{1}{n}\) เป็นลำดับลู่เข้าครับ

6) \(a_{n}=\frac{6n-4}{6n}\)

วิธีทำ เริ่มทำเลยนครับใช้ทฤษฎีลิมิตมาช่วยหาจะได้ง่ายครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{6n-4}{6n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{6n}{6n}-\frac{4}{6n})\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\frac{4}{6}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&1-\frac{4}{6}(0)\\&=&1\end{array}

หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับผม

7)  \(a_{n}=\frac{3n+5}{6}\)

วิธีทำ เมื่อ \(n\) มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ \(a_{n}\) จะเพิ่มขึ้น และไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่งเลย ดังนั้น ลำดับ  \(a_{n}=\frac{3n+5}{6}\) เป็นลำดับลู่ออกครับ

8) \(a_{n}=\frac{n}{n+1}\)

วิธีทำ ข้อนี้ก่อนจะหาลิมิตผมขอจัดรูปของ \(a_{n}\) ก่อนนะครับซึ่งจะได้ดังนีั

\begin{array}{lcl}\frac{n}{n+1}&=&\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\end{array}

ต่อไปเราก็นำ\(a_{n}\) ที่ได้จากการจัดรูปนี้มาหาลิมิตครับ ซึ่งจะเห็นว่าลิมิตมันมีค่าเท่ากับหนึ่งใครที่มองไม่ออกก็ดูตามนี้ครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{1}{1+0}\\&=&1\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

9) \(a_{n}=\frac{4+5n}{n^{2}}\)

วิธีทำ จัดรูปของ \(a_{n}\)  ก่อนครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{4+5n}{n^{2}}&=&\frac{4}{n^{2}}+\frac{5n}{n^{2}}\\&=&\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n}\end{array}

จัดรูปสวยแล้วก็หาค่าลิมิตครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n^{2}}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{n}\\&=&4\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}+5\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4(0)+5(0)\\&=&0\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

10)  \(a_{n}=\frac{2n-1}{3n+1}\)

วิธีทำ  ก่อนหาลิมิตจัดรูป \(a_{n}\) ก่อนครับ

\begin{array}{lcl}\frac{2n-1}{3n+1}&=&\frac{n(2-\frac{1}{n})}{n(3+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{(2-\frac{1}{n})}{(3+\frac{1}{n})}\end{array}

หาลิมิตกันต่อเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(2-\frac{1}{n})}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(3+\frac{1}{n})}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}2-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{2-0}{3-0}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}

หาลิมิดได้แสดงว่าลำดับนี้ ลู่เข้าครับ

11) \(a_{n}=\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}\)

วิธีทำ ข้อนี้ดูดีจะเห็นว่า เมื่อ \(n\) มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ \(a_{n}\) ของลำดับจะเพิ่มขึ้น และไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่ง ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่ออก

13) \(a_{n}=\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}\)

วิธีทำ  จัดรูปให้สวยงามก่อนที่จะหาลิมิต

\begin{array}{lcl}\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}&=&4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}\end{array}

เริ่มหาลิมิตกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{n^{2}}\\&=&4-2(0)+3(0)\\&=&4\end{array}

หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

14) \(a_{n}=\frac{3n^{2}-1}{10n-5n^{2}}\)

วิธีทำ ก่อนหาลิมิตลองๆจัดรูปก่อนครับผม ก็จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{3n^{2}-1}{10n-5n^{2}}&=&\frac{n^{2}(3-\frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(\frac{10}{n}-5)}\\&=&\frac{3-\frac{1}{n^{2}}}{\frac{10}{n}-5}\end{array}

ดังนั้น ต่อไปเราก็หาลิมิตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3-\frac{1}{n^{2}}}{\frac{10}{n}-5}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{10}{n}-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}5}\\&=&\frac{3-0}{0-5}\\&=&-\frac{3}{5}\end{array}

ลำดับนี้หาลิมิตได้ดังนั้น ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า

15) \(a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ต้องจัดรูปเพราะมองออกเลยว่าลิมิตต้องเป็น 0 แน่ครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\\&=&0-0\\&=&0\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

16) \(a_{n}=\frac{3^{n+1}}{5^{n+2}}\)

วิธีทำ ลองจัดรูปก่อนครับข้อนี้จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{3^{n+1}}{5^{n+2}}&=&\frac{3^{n+1}}{5(5^{n+1})}\\&=&\frac{1}{5}\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}}\\&=&\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\end{array}

ต่อไปก็หาลิมิตครับจากที่จัดรูปน่าจะพอมองออกแล้วนะครับว่าลิมิตเป็นเท่าไร

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}&=&\frac{1}{5}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\\&=&\frac{1}{5}(0)\end{array}

หมายเหตุ สำหรับการหาค่าของ \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\) เราใช้ทฤษฎีบทนี้ในการค่าก็ได้ครับ ซึ่งก็คือ

ถ้า \(|r|<1\)  แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0\)

เช่น ในที่นี้ เราจะเห็นว่า \(r=\frac{3}{5}\) และ \(|\frac{3}{5}|<1\) ดังนั้นลิมิตนี้จึงเท่ากับ \(0\)

แต่ถ้า

\(|r|>1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}\) จะหาค่าไม่ได้ครับ

17. \(a_{n}=\frac{2^{n-}+3}{3^{n+2}}\)

วิธีทำ จัดรูปให้สวยงามก่อนแล้วค่อยหาลิมิต

\begin{array}{lcl}\frac{2^{n-1}+3}{3^{n+2}}&=&\frac{2^{n-1}}{27\cdot 3^{n-1}}+\frac{3}{3^{n+2}}\\&=&\frac{1}{27}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\frac{1}{3^{n+1}}\end{array}

ต่อไปหาลิมิตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{27}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3^{n+1}}&=&\frac{1}{27}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3^{n-1}}\\&=&\frac{1}{7}(0)+0\\&=&0\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

18)  \(a_{n}=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}\)

วิธีทำ ก่อนหาลิมิตจัดรูปก่อนครับ ถ้าใครจะรูปเป็นก็ไม่ยากเลยครับ จะได้ดังนี้

\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}&=&\frac{\sqrt{n}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}\\&=&\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}\end{array}

ต่อไปก็หาค่าลิมิตครับผม แต่หลังจากจัดรูปแล้วน่าจะพอมองออกนะว่าลิมิตมันควรเป็น 1

เริ่มหาลิมิตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\\&=&\frac{1-0}{1+0}\\&=&1\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ 

19)  \(a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}\)

วิธีทำ ก่อนหาลิมิตจัดรูปก่อนครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}&=&\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}\\&=&\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\end{array}

ต่อไปก็หาลิมิตครับเริ่มกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{1-0}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

Pin It