ผลบวกของอนุกรมอนันต์  การหาผลบวกของอนุกรมอนันต์นั้นจะอาศัยความรู้เรื่องลิมิตมาช่วยในการหาผลบวกครับ ซึ่งเราไปดูพวกนิยามต่างๆที่สำคัญเกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์กันครับ

บทนิยาม  

กำหนดให้ \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}+\cdots\) เป็นอนุกรมอนันต์

ให้ 

\begin{array}{lcl}S_{1}&=&a_{1}\\S_{2}&=&a_{1}+a_{2}\\S_{3}&=&a_{1}+a_{2}+a_{3}\\\vdots\\S_{n}&=&a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}\end{array}

เรียก \(S_{n}\) ว่า ผลบวกย่อย \((partial \quad sum)\) n พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก

เรียกลำดับอนันต์ \(S_{1},S_{2},S_{3},\cdots ,S_{n},\cdots \) ว่าลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม

ไปดูอีกนิยาม ครับ อ่านนิยามให้เข้าใจแล้วลองทำแบบฝึกหัดครับ

บทนิยาม

กำหนดอนุกรมอนันต์ \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}+\cdots\)

ให้ \(S_{1},S_{2},\cdots ,S_{n},\cdots\) เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าลำดับ \(S_{n}\) เป็นลำดับลู่เข้า โดย \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=S\) เมื่อ \(S\) เป็นจำนวนจริงแล้วจะกล่าวว่าอนุกรม \(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots\) เป็นอนุกรมลู่เข้า (covergent  series) และเรียก \(S\) ว่าผลบวกของอนุกรม

ถ้าลำดับ \(S_{n}\) เป็นลำดับลู่ออก จะกล่าวว่าอนุกรม \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}+\cdots\) เป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series)

สรุปนะคับ  จากนิยาม การหาผลบวกของอนุกรมอนันต์สามาทำได้ 2 ขั้นตอนคือ

1. หาสูตรทั่วไปของผลบวกย่อย n  พจน์แรก หรือก็คือ หาสูตรทั่วไปของ \(S_{n}\) นั่นเองครับ

2   นำค่า \(S_{n}\) จากข้อ 1. มาหาค่าลิมิต ลิมิตที่ได้นั้นจะเป็นคำตอบของอนุกรมอนันต์  และอนุกรมอนันต์เป็นอนุกรมลู่เข้า  แต่ถ้าไม่มีลิมิตอนุกรมนั้นจะเป็นอนุกรมลู่ออก แค่นี้ครับ

ต่อไป ข้างล่างนี้เป็นทฤษฎี เกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมเมื่ออนุกรมนั้นเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ครับ

ทฤษฎี  กำหนดให้อนุกรมเรขาคณิตมี \(a_{1}\) เป็นพจน์แรกและ \(r\) เป็นอัตราส่วนร่วม

ถ้า \(|r| <1\) แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี \(\frac{a_{1}}{1-r}\) เป็นผลบวกของอนุกรม

ถ้า \(|r| \geq 1\) แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก

ต่อไปเราลองมาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์กันครับผม

แบบฝึกหัด

1. จงหาลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมต่อไปนี้

1) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\cdots +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}+\cdots\)

วิธีทำ หาลำดับของผลบวกย่อยก็คือหา

\(S_{1},S_{2},S_{3},\cdots ,S_{n},\cdots\) นั่นเองครับ

ถ้าเราสังเกตดีๆ จะเห็นว่าอนุกรมอนันต์นี้เป็นอนุกรมอนันต์เรขาคณิต ที่มี

\(a_{1}=\frac{1}{2},r=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}\times 2=\frac{1}{3}\)

ใครที่ไม่แม่นเกี่ยวกับพวกลำดับเรขาคณิตและอนุกรมเรขาคณิตให้ไปอ่านที่ลำดับเรขาคณิต ม.5   อนุกรมเรขาคณิต    ทำต่อเลยนะจากโจทย์จะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}S_{1}&=&\frac{1}{2}\\S_{2}&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\\S_{3}&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}=\frac{13}{18}\\\vdots\\S_{n}&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\cdots +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{4\cdot 3^{n-1}}\end{array}

***ปล. สำหรับการหา \(S_{n}\) นั่นเดียวผมจะแสดงให้ดูอย่างละเอียดด้านล่างนะครับสำหรับคนที่หาไม่เป็น

เนื่องจากอนุกรมอนันต์นี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนั้น ซึ่งการหาผลบวก n พจน์แรกหรือว่า \(S_{n}\) ของอนุกรมเรขาคณิตนั้นสามารถหาได้จากสูตร

\[S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\]

เมื่อ \(a_{1}=\frac{1}{2},r=\frac{1}{3}\)  เอาไปแทนค่าจะได้

\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\\S_{n}&=&\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n})}{1-\frac{1}{3}}\\S_{n}&=&\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^{n}})}{\frac{2}{3}}\\S_{n}&=&(\frac{1}{2})(\frac{3}{2})(1-\frac{1}{3^{n}})\\S_{n}&=&\frac{3}{4}(1-\frac{1}{3^{n}})\\S_{n}&=&\frac{3}{4}(\frac{3^{n}-1}{3^{n}})\\S_{n}&=&\frac{3}{3^{n}}(\frac{3^{n}-1}{4})\\S_{n}&=&3^{1-n}(\frac{3^{n}-1}{4})\\S_{n}&=&\frac{3^{n}-1}{4\cdot 3^{n-1}}\end{array}

การจัดรูปของ \(S_{n}\) ก็พยายายมจัดให้อยู่ในรูปที่ง่ายที่สุดครับ

นั่นก็คือลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ 

\(\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{13}{18},\cdots ,\frac{3^{n}-1}{4\cdot 3^{n-1}}\)


2)\(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+\frac{25}{2}+\cdots +\frac{1}{2}(5)^{n-1}+\cdots\)

วิธีทำ ข้อนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ครับ ก็ทำเหมือนข้อที่ผ่านมาครับจะเห็นว่า

\(a_{n}=\frac{1}{2},r=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5\)

จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}S_{1}&=&\frac{1}{2}\\S_{2}&=&\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3\\S_{3}&=&\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+\frac{25}{2}=\frac{31}{2}\\\vdots\\S_{n}&=&\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+\frac{25}{2}+\cdots +\frac{1}{2}(5)^{n-1}=-\frac{1}{8}(1-5^{n})\end{array}

สำหรับการหาค่าของ \(S_{n}\) ก็หาเหมือนข้อข้างบนครับ เพราะเป็นอนุกรมอนันต์เรขาคณิต

\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\\S_{n}&=&\frac{\frac{1}{2}(1-5^{n})}{1-5}\\S_{n}&=&\frac{\frac{1}{2}(1-5^{n})}{-4}\\S_{n}&=&\frac{1}{2}(-\frac{1}{4})(1-5^{n})\\S_{n}&=&-\frac{1}{8}(1-5^{n})\end{array}

นั่นคือลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ

\(\frac{1}{2},3,\frac{21}{2},\cdots ,-\frac{1}{8}(1-5^{n}),\cdots\)


3) \(2+(-1)+(-4)+\cdots +(5-3n)+\cdots\)

วิธีทำ  ข้อนี้สังเกตดีๆ มันคืออนุกรมอนันต์เลขคณิต ซึ่งมี

\(a_{1}=2 , d=-1-2=-3 ,a_{n}=5-3n\)  จะได้

\begin{array}{lcl}S_{1}&=&2\\S_{2}&=&2+(-1)=1\\S_{3}&=&2+(-1)+(-4)=-3\\\vdots \\S_{n}&=&2+(-1)+(-4)+\cdots +(5-3n)=\frac{n}{2}(7-3n)\end{array}

สำหรับการหา \(S_{n}\) เนื่องจากเป็นอนุกรมอนันต์เลขคณิต ดังนั้นเราจะหา \(S_{n}\) ได้จากสูตรนี้ครับ

\[S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\]

แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\\S_{n}&=&\frac{n}{2}(2+5-3n)\\S_{n}&=&\frac{n}{2}(7-3n)\end{array}

นั่นคือลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ 

\(2,1,-3,\cdots ,\frac{n}{2}(7-3n)\)


4) \(0+3+8+\cdot +(n^{2}-1)+\cdots\)

วิธีทำ ข้อนี้สังเกตดีๆไม่ใช่ทั้งอนุกรมอนันต์เลขคณิตและอนุกรมอนันต์เรขาคณิต แต่ก็ไม่ยากครับ  จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}S_{1}&=&0\\S_{2}&=&0+3=3\\S_{3}&=&0+3+8=11\\\vdots\\S_{n}&=&0+3+8+\cdots +(n^{2}-1)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-1)=\frac{2n^{3}+3n^{2}-5n}{6}\end{array}

สำหรับการหาค่า \(S_{n}\) เนื่องจาก \(a_{n}=n^{2}-1\) ดังนั้น

\(S_{n}=\displaystyle\sum (n^{2}-1)\) ก็คือเอา \((n^{2}-1)\) บวกไปทั้งหมด n พจน์ ดังนั้นเพื่อไม่ให้งง ก็เลยสลับตัวแปรนิดหนึ่งครับจะได้

\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-1)\\S_{n}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}1\\S_{n}&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n\\S_{n}&=&\frac{n(2n^{2}+3n+1)}{6}-\frac{6n}{6}\\S_{n}&=&\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}-\frac{6n}{6}\\S_{n}&=&\frac{2n^{3}+3n^{2}-5n}{6}\end{array}

ดังนั้นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ

\(0,3,11,\cdots ,\frac{2n^{3}+3n^{2}-5n}{6},\cdots\)


5) \(-1+0+9+...+(n^{3}-2n^{2})+...\)

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ใช่ทั้งอนุกรมอนันต์เรขาคณิตและเลขคณิตครับ  ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับแต่ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับ ซิกม่านิดหนึ่ง ซึ่งก็คือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\end{array}

เริ่มทำเลยครับ 

\begin{array}{lcl}S_{1}&=&-1\\S_{2}&=&-1+0=-1\\S_{3}&=&-1+0+9=8\\\vdots\\S_{n}&=&-1+0+9+...+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i^{3}-2i^{2})=\frac{3n^{4}-2n^{3}-9n^{2}-4n}{12}\end{array}

สำหรับก็หา \(S_{n}\) ก็คือการบวก \(n^{3}-2n^{2}\) ไปจำนวน \(n\) คร้้ง แต่เพื่อไม่ให้สับสับก็เลยสลับตัวแปรนิดหนึ่งจะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i^{3}-2i^{2})&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{3}-2\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}\\&=&\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}-2\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\\&=&\frac{n^{2}(n^{2}+2n+1)}{4}-\left(\frac{n(2n^{2}+3n+1)}{3}\right)\\&=&\frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}-\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{3}\\&=&\frac{3n^{4}+6n^{3}+3n^{2}-8n^{3}-12n^{2}-4n}{12}\\&=&\frac{3n^{4}-2n^{3}-9n^{2}-4n}{12}\end{array}

นั่นคือลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ 

\(-1,-1,8,...,\frac{3n^{4}-2n^{3}-9n^{2}-4n}{12}\)


2. จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้

1) \(\frac{4+1}{9}+\frac{8+1}{27}+\frac{16+1}{81}+...+\frac{2^{n+1}+1}{3^{n+1}}+...\)

วิธีทำ ข้อนี้เราต้องลองแยกดูครับแล้วเราจะเห็นร่างที่แท้จริงของอนุกรมนี้ครับมันประกอบไปด้วยอนุกรมเรขาคณิตสองอนุกรมรวมกันอยู่ เดี่ยวผมแยกให้ดูครับ

\begin{array}{lcl}\frac{4+1}{9}+\frac{8+1}{27}+\frac{16+1}{81}+...&=&\left(\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}+...\right)+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+...\right)\end{array}

ต่อไปผมจะแยกสองอนุกรมนี้มาหาที่ละส่วน แล้วค่อยเอามาบวกกันอีกที

\(\left(\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}+...\right)\)

เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(r=\frac{8}{27}\times \frac{9}{4}=\frac{2}{3}\)  ซึ่งจะเห็นว่า

\(|r|=|\frac{2}{3}|<1\) ดังนั้นตามทฤษฏีด้านบนผลบวกของอนุกรมเท่ากับกับ \(\frac{a_{1}}{1-r}\)  จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{\frac{4}{9}}{1-\frac{2}{3}}\\&=&(\frac{4}{9})(3)\\&=&\frac{4}{3}\end{array}

พิจารณาอนุกรมอีกอันคือ

\(\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+...\right)\)

เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(r=\frac{1}{27}\times 9=\frac{1}{3}\) ซึ่งจะเห็นว่า

\(|r|=|\frac{1}{3}|<1\) ดังนั้นตามทฤษฏีด้านบนผลบวกของอนุกรมเท่ากับ \(\frac{a_{1}}{1-r}\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}\\&=&(\frac{1}{9})(\frac{3}{2})\\&=&\frac{1}{6}\end{array}

ดังนั้นผลบวกของอนุกรมอนันต์นี้เท่ากับ

\(\frac{4}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}=1.5\)


2)  \(3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+...+\frac{3}{2^{n-1}}+...\)

วิธีทำ  ข้อนี้มองออกเลยว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(r=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)  ซึ่ง \(|r|=|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}>1\) ดังนั้นผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตนี้หาได้จาก \(\frac{a_{1}}{1-r}\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{3}{1-\frac{1}{2}}\\&=&3\times 2\\&=&6\end{array}


3) \(\frac{1}{2+x^{2}}+\frac{1}{(2+x^{2})^{2}}+\frac{1}{(2+x^{2})^{3}}+...+\frac{1}{(2+x^{2})^{n}}+...\)  เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริง

วิธีทำ จะเห็นได้ว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตครับซึ่งมี

\(r=\frac{1}{(2+x^{2})^{2}}\times (2+x^{2})=\frac{1}{2+x^{2}}\)

ถ้าพิจารณาค่าตัวส่วนของค่า \(r\) คือ \(x^{2}+2\)  จะเห็นว่า

\(x^{2}\geq 0\) แล้วไปบวกกับ \(2\) ดังนั้นจึงได้ว่า \(x^{2}+2\geq 2\) แน่ๆ ดังนั้น

\(|\frac{1}{2+x^{2}}|<1\) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตนี้มีผลบวกเท่ากับ \(\frac{a_{1}}{1-r}\)

เริ่มหาผลบวกกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{\frac{1}{2+x^{2}}}{1-\frac{1}{2+x^{2}}}\\&=&\frac{\frac{1}{2+x^{2}}}{\frac{2+x^{2}-1}{2+x^{2}}}\\&=&\frac{\frac{1}{2+x^{2}}}{\frac{x^{2}+1}{2+x^{2}}}\\&=&\frac{1}{2+x^{2}}\cdot \frac{2+x^{2}}{x^{2}+1}\\&=&\frac{1}{x^{2}+1}\end{array}


4. จงแสดงว่าทศนิยมซ้ำ \(0.\dot{9}=1\)

วิธีทำ ข้อนี้แสดงได้หลายวิธีครับ  อาจจะใช้วิธีการทางพีชคณิตในการแสดงก็ได้เช่น

กำหนดให้ \(N=0.999...\quad (1)\)

เอา \(10\) คูณสมการ \((1)\) จะได้

\(10N=9.999...\quad (2)\)

เอา \(100\) คูณสมการ \((1)\) จะได้

\(100N=99.999...\quad (3)\)

นำสมการ \((3)-(2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}100N-10N&=&99.999... - 9.999\\90N&=&90\\N&=&\frac{90}{90}\\N&=&1\end{array}

จะเห็นได้ว่าเราสามารถแสดงได้ว่า \(N=0.\dot{9}=1\) ครับ

หรือจะแสดงโดยการใช้ความรู้ของอนุกรมอนันต์ก็ได้ครับ เช่น

\begin{array}{lcl}0.\dot{9}&=&0.9+0.09+0.009+...\\&=&\frac{9}{10}+\frac{9}{10^{2}}+\frac{9}{10^{3}}+...\end{array}

จะเห็นได้ว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตนั่นเองครับ ซึ่งมี \(r=\frac{9}{10^{2}}\times \frac{10}{9}=\frac{1}{10}\)

ซึ่ง \(|r|=|\frac{1}{10}|<1\) ดังนั้นผลบวกของอนุกรมนี้เท่ากับ \(\frac{a_{1}}{1-r}\)

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}\\&=&\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}\\&=&1\end{array}

เห็นไหมครับผลบวกของอนุกรม

\(0.\dot{9}=0.9+0.09+0.009+...\quad =1\)


5. จงเขียนทศนิยมซ้ำต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

1) \(0.\dot{2}\dot{1}\)

วิธีทำ เราจะทำทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วนโดยอาศัยความรู้เรื่องของอนุกรมนะครับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}0.\dot{2}\dot{1}&=&0.2121...\\&=&0.21+0.0021+0.000021+...\\&=&\frac{21}{10^{2}}+\frac{21}{10^{4}}+\frac{21}{10^{6}}+...\end{array}

จะเห็นว่าอนุกรนนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่ \(r=\frac{21}{10^{4}}\times \frac{10^{2}}{21}=\frac{1}{10^{2}}\)

ซึ่งค่า \(|r|=|\frac{1}{10^{2}}|>1\) ดังนั้นจะได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตนี้มีผลบวกเท่ากับ \(\frac{a_{1}}{1-r}\) จะได้

\begin{array}{lcl}0.\dot{2}\dot{1}&=&0.2121...\\&=&0.21+0.0021+0.000021+...\\&=&\frac{21}{10^{2}}+\frac{21}{10^{4}}+\frac{21}{10^{6}}+...\\&=&\frac{a_{1}}{1-r}\\&=&\frac{\frac{21}{10^{2}}}{1-\frac{1}{10^{2}}}\\&=&\frac{21}{10^{2}}\times \frac{10^{2}}{99}\\&=&\frac{21}{99}\end{array}

นั่นก็คือ \(0.2121...=\frac{21}{99}\) นั่นเองครับ


2) \(0.6\dot{1}0\dot{4}\)

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับ

\begin{array}{lcl}0.6\dot{1}0\dot{4}&=&0.6104104104...\\&=&0.6+0.0104+0.0000104+0.0000000104+...\\&=&\frac{6}{10}+\frac{104}{10^{4}}+\frac{104}{10^{7}}+\frac{104}{10^{10}}+...\end{array}

อธิบายนิดหนึ่งครับถ้าเราตัด \(\frac{6}{10}\) ออกอนุกรมนี้จะเป็นอนุกรมเรขาคณิตครับดังนั้นเราจะไม่พิจารณาหกส่วนสิบนะคับ จะพิจารณาตั้งแต่หนึ่งร้อยสี่ส่วนสิบกำลังสี่เป็นต้นไปซึ่งจะเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(r=\frac{1}{10^{3}}\) ที่ซึ่ง

\(|r|<1\)  ดังนั้นจะได้อนุกรมเรขาคณิตนี้มีผลบวกเท่ากับ \(\frac{a_{1}}{1-r}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}0.6\dot{1}0\dot{4}&=&0.6104104104...\\&=&0.6+0.0104+0.0000104+0.0000000104+...\\&=&\frac{6}{10}+\frac{104}{10^{4}}+\frac{104}{10^{7}}+\frac{104}{10^{10}}+...\\&=&\frac{6}{10}+\frac{a_{1}}{1-r}\\&=&\frac{6}{10}+\frac{\frac{104}{10^{4}}}{1-\frac{1}{10^{3}}}\\&=&\frac{6}{10}+\frac{104}{10^{4}}\times \frac{10^{3}}{999}\\&=&\frac{6}{10}+\frac{104}{9990}\\&=&\frac{6098}{9990}\end{array}

นั่นก็คือ \(0.6\dot{1}0\dot{4}=\frac{6098}{9990}\)


3) \(7.2\dot{5}\dot{6}\)

วิธีทำ ทำเหมือนข้อข้างบนครับ

\begin{array}{lcl}7.2\dot{5}\dot{6}&=&7+0.2+0.056+0.00056+0.0000056+...\\&=&7+\frac{2}{10}+\frac{56}{10^{3}}+\frac{56}{10^{5}}+\frac{56}{10^{7}}+...\end{array}

ถ้าเราตัด เจ็บ กับ  สองส่วนสิบออก อนุกรมที่เหลือจะเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(r=\frac{1}{10^{2}}\) ซึ่ง

\(|r|<1\) ดังนั้นผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตเท่ากับ \(\frac{a_{1}}{1-r}\) จะได้

\begin{array}{lcl}7.2\dot{5}\dot{6}&=&7+0.2+0.056+0.00056+0.0000056+...\\&=&7+\frac{2}{10}+\frac{56}{10^{3}}+\frac{56}{10^{5}}+\frac{56}{10^{7}}+...\\&=&7+\frac{2}{10}+\frac{a_{1}}{1-r}\\&=&7+\frac{2}{10}+\frac{\frac{56}{10^{3}}}{1-\frac{1}{10^{2}}}\\&=&7+\frac{2}{10}+\frac{56}{990}\\&=&7+\frac{198+56}{990}\\&=&7\frac{254}{990}\\&=&7\frac{127}{495}\end{array}

ดังนั้น   \(7.2\dot{5}\dot{6}=7\frac{127}{495}\)


6. จงหาคำตอบของสมการ \(1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n-1}+...=\frac{2}{3}\)

วิธีทำ แน่นอนเป็นอนุกรมอนันต์ที่ลู่เข้า และถ้าลองสังเกตดูจะเห็นว่าเป็นอนุกรมอนันต์เรขาคณิตที่มี \(a_{1}=1\) และ \(r=x\) ดังนั้นผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตนี้คือ

\(\frac{a_{1}}{1-r}\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{2}{3}\\\frac{1}{1-x}&=&\frac{2}{3}\\1&=&\frac{2}{3}\times (1-x)\\1&=&\frac{2-2x}{3}\\3&=&2-2x\\-2x&=&1\\x&=&-\frac{1}{2}\end{array}


7. ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหม่ดังรูป

1. ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปแรกมีเส้นรอบรูปยาว 20 หน่วย รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองมีเสันรอบรูปยาวเท่าใด

วิธีทำ สี่เหลี่ยมรูปแรกนี้มีเส้นรอบรูปยาว 20 หน่วย แสดงว่าแต่ละด้านยาว \(\frac{20}{4}=5\)  หน่วย ดังรูป

ดังนั้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สอง(สีน้ำเงิน)จะหาความยาวด้านได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดูรูปประกอบนะคับจะได้ความยาวด้านคือ \(\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}+(\frac{5}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองมีความยาวด้านละ \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\) ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองมีความยาวรอบรูปเท่ากับ \(4\times \frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{20\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\)

ทำเหมือนเดิมครับ

ความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สามคือ \(\sqrt{(\frac{5\sqrt{2}}{4})^{2}+(\frac{5\sqrt{2}}{4})^{2}}=\frac{5}{2}\) หน่วย

ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สามมีความยาวรอบรูปเท่ากับ \(4\times \frac{5}{2}=10\) หน่วย

ทำเหมือนเดิมอีกครับ

ความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตรัสรูปที่สี่คือ \(\sqrt{(\frac{5}{4})^{2}+(\frac{5}{4})^{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\)

ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สี่มีความยาวรอบรูปเท่ากับ \(4\times \frac{5\sqrt{2}}{4}=5\sqrt{2}\)

จากที่เราหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สรุปว่าได้ดังนี้ \(20,10\sqrt{2},10,5\sqrt{2}\)

2.ถ้ากระบวนการเกิดรูปใหม่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องไม่สิ้นสุด ผลบวกของความความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้่งหมดเป็นเท่าใด

วิธีทำ จากข้อที่ 1. ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สรุปว่าได้ดังนี้ \(20,10\sqrt{2},10,5\sqrt{2}\)

ถ้ากระบวนการเกิดรูปใหม่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องไม่มีสิ้นสุด ผลบวกของความยาวรอบรูปคือ

\(20+10\sqrt{2}+10+5\sqrt{2}+...\)  ซึ่งถ้าเราสังเกตดีๆผลบวกของความยาวรอบรูปนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี

\(a_{1}=20,\quad r=\frac{10\sqrt{2}}{20}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ซึ่ง \(|r|<1\)  ดังนั้นผลบวกของความยาวรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ \(\frac{a_{1}}{1-r}\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{20}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=&20(2+\sqrt{2})\end{array}

ดังนั้นผลบวกของเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ \(20(2+\sqrt{2})\) หน่วย

Pin It