สูตรนี้เป็นสูตรสำหรับการหาลิมิตของฟังก์ชันนะครับ เมื่ออ่านใช้สูตรให้เข้าใจแล้วสามารถอ่านและศึกษาการทำแบบฝึกหัดการหาลิมิตของฟังก์ชันตามลิงค์นี้ครับลิมิตของฟังก์ชัน ค่อยๆฝึกทำค่อยๆอ่านทำความเข้าใจนะครับไม่ยากเลยครับ  เรามาดูสูตรของลิมิตฟังก์ชันเลยครับ

การหาลิมิตของฟังก์ชันโดยการเขียนกราฟของฟังก์ชันบางทีจะยากครับ เพราะกราฟบางกราฟมันวาดยาก ก็เลยจะใช้ทฤษฎีบทเหล่านี้หรือที่เรียกติดปากว่าสูตรนั่นแหละครับมาช่วยในการหาลิมิตของฟังก์ชัน จะไม่มีการพิสูจน์ให้ดูครับ ใครอยากรู้วิธีพิสูจน์สามารถหาอ่านได้ตามหนังสือแคลคูลัสได้ครับ แต่ในระดับนี้นำไปใช้ให้เป็นก็พอครับ

ทบ.1 เมื่อ \(a,L,M\) เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า \(f\) และ \(g\) เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริงโดยที่

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=M\) แล้วจะได้ว่า

1. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}c=c\) เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ

2. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}x=a\) 

3.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}x^{n}=a^{n}\) เมื่อ \(n\in I^{+}\)

4.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}cf(x)=c\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=cL\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัวใดๆ

5.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}[f(x)+g(x)]=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)+\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L+M\)

6.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}[f(x)-g(x)]=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)-\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L-M\)

7.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}[f(x)\cdot g(x)]=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)\cdot \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L\cdot M\)

8.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)}=\frac{L}{M}\)

9.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^{n}=\left[\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)\right]^{n}=L^{n}\) เมื่อ \(n\in I^{+}\)

10. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=\sqrt[n]{L}\) เมื่อ \(n\in I^{+}-\{1\},\sqrt[n]{f(x)}\in R\) และ \(\sqrt[n]{L}\in R\)

ทบ.2 ถ้า \(p\) เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้วสำหรับจำนวนจริง \(a\) ใดๆ

\[\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}p(x)=p(x)\]

ทบ.3  ถ้า \(f\) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ โดยที่ \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) เมื่อ \(p\) และ \(q\) เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้ว

\[\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\frac{p(x)}{q(a)}\]

สำหรบจำนวนจริง \(a\) ใดๆ ที่ \(q(a)\neq 0\)

ในการหาลิมิตของบางฟังก์ชัน นั้นอาจหาลิมิตได้โดยการหาลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของฟังก์ชัน และใช้เกณฑ์การตรวจสอบ ดังนี้

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\) ก็ต่อเมื่อ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)\)

เมื่อได้สูตรแล้วก็ไปฝึกทำแบบฝึกหัดได้ที่นี่ครับ ลิมิตของฟังก์ชัน

Pin It