ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงฟังก์ชันเพิ่ม กับฟังก์ชันลดนะครับ ซึ่งในหัวข้อนี้เราจะใช้การประยุกต์เกี่ยวกับอนุพันธ์เพื่อหาว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้นั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ลดในช่วงใดบ้าง แต่ก่อนที่จะไปดูเนื้อหาตรงนี้ เรามาดูทบทวนนิยามของฟังก์เพิ่มและฟังก์ชันลดกันก่อน ซึ่งเรียนมาตั้งแต่ ม.4 แล้วนะครับ
นิยาม
\(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก \(x_{1},x_{2}\) ใดๆที่อยู่ในช่วง \(I\) ถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})<f(x_{2})\)
\(f\) เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก \(x_{1},x_{2}\) ใดๆที่อยู่ในช่วง \(I\) ถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})>f(x_{2})\)
หรือถ้าพูดเป็นภาษาบ้านๆ ก็คือ ถ้าฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มและค่า y ก็เพิ่มตามด้วยหรือ ค่า x ลด ค่า y ก็ลดตามด้วย ฟังก์นั้นจะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
แต่ถ้า ฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มแต่ค่า y กลับลดลง หรือ ค่า x ลด แต่ค่า y กลับเพิ่มขึ้นคือแปรผกผันกัน ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลด
ต่อไปเราจะประยุกต์เรื่องของอนุพันธ์ในการหาฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลดครับ ดูต่อด้านล่างเลย
ทฤษฎีบท ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง \(A\subset D_{f}\)
1. ถ้า \(f^{\prime}(x)<0\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \(A\) แล้ว \(f\) เป็นฟังก์ชันลด (decreasing function) บนช่วง \(A\)
2. ถ้า \(f^{\prime}(x)>0\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \(A\) แล้ว \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) บนช่วง \(A\)
อ่าน ทฤษฎีบทแล้ว ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดเพื่อดูว่าฟังก์ชันไหนเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
แบบฝึกหัด
1. จงหาช่วงซึ่งฟังก์ชันที่กำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
1) \(f(x)=3-2x-x^{2}\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=3-2x-x^{2}\)
\(f^{\prime}(x)=-2-2x=-2(1+x)\)
ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้ \(-2(1+x)>0\)
\begin{array}{lcl}-2(1+x)&>&0\\1+x&<&0\\x&<&-1\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=-2(1+x)>0\) เมื่อ \(x<-1\)
ตามทฤษฎีบท จะได้ว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \((-\infty,-1)\)
ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้ \(-2(1+x)<0\)
\begin{array}{lcl}-2(1+x)&<&0\\1+x&>&0\\x&>&-1\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=-2(1+x)<0\) เมื่อ \(x>-1\)
ตามทฤษฏีบท จะได้ว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง \((-1,\infty)\)
ดูภาพประกอบ ผมจะวาดกราฟให้ดูโดยใช้โปรแกรม geogebra นะครับ ดูภาพประกอบจะได้เห็นภาพชัดเจนขึ้น และที่สำคัญอย่าลืม นิยาม ของฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่ม
2) \(f(x)=2x^{2}-x-3\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=2x^{2}-x-3\)
\(f^{\prime}(x)=4x-1\)
ซึ่งจะเห็นได้ว่า
\begin{array}4x-1&>&0\\x&>&\frac{1}{4}\end{array}
จะเห็นได้ว่า \(f^{\prime}(x)=4x-1>0\) เมื่อ \(x>\frac{1}{4}\)
นั่นก็คือ \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \((\frac{1}{4},\infty)\)
และอีกอัน
\begin{array}{lcl}4x-1&<&0\\x&<&\frac{1}{4}\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=4x-1<0\) เมื่อ \(x<\frac{1}{4}\)
นั่นก็คือ \(f\) เป็นฟัง์ชันลดบนช่วง \((-\infty,\frac{1}{4})\)
ดูรูปประกอบด้านล่างครับ
3)\(f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5\)
\(f^{\prime}(x)=6x^{2}+6x-36=6(x^{2}+x-6)=6(x+3)(x-2)\)
จะเห็นได้ว่า
\begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&>&0\end{array}
เมื่อ \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\) สำหรับการแก้สมการนี้ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้นะครับ ช่วงและการแก้อสมการ
ซึ่งจากการแก้อสมการ
\(f^{\prime}(x)>0\) เมื่อ \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\) ดังนั้น
\(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\)
อีกอันหนึ่ง
\begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&<0&\end{array}
เมื่อ \(x\in (-3,2)\) นั่นก็คือ
\(f^{\prime}(x)<0\) เมื่อ \(x\in (-3,2)\) ดังนั้น
\(f\) เป็นฟ้งก์ชันลดในช่วง \(x\in (-3,2)\)
สนับสนุนเว็บไซต์