วันนี้เรามาดูวิธีการทำโจทย์เกี่ยวกับการหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาดซึ่งจะยกตัวอย่างให้ดูแค่ข้อ สองข้อ เพราะถ้าเข้าใจข้อเดียวข้ออื่นก็ทำในลักษณะเดียวกันครับ ไปดูวิธีการทำโจทย์เลย

1. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 50 จำนวนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน่มาตรฐานเป็น 10 และ 4 ตามลำดับ แต่อ่านข้อมูลผิดไป 2 จำนวนคือ จาก 2 และ 3 อ่านเป็น 20 และ 30 ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้อง

วิธีทำ การทำข้อนี้ผมจะเริ่มหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ผิดก่อนนะคับ

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}}{50}\\10&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}}{50}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}&=&500\end{array}

ถ้าเราลองเอาผลรวมของข้อมูลที่ผิดมาแยกดูก็จะได้ดังนี้ \(500=450+20+30\) ลองลบที่เราอ่านเกินมา

ข้อมูล 2 แต่อ่านเป็น 20 แสดงว่าอ่านเกินไป 18

ข้อมูล 3 แต่อ่านเป็น 30 แสดงว่าอ่านเกินไป 27

ดังนั้นผลรวมข้อมูลที่ถูกต้อง คือ \(450+(20-18)+(30-27)=455\) นั่นเองครับ

นั่นคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องคือ

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{455}{50}\\&=&9.1\end{array}

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตอนที่อ่านข้อมูลผิดคือ 4  ดังนั้นความแปรปรวนตอนที่อ่านข้อมูลผิดคือ \(4^{2}=16\) นั่นเองครับ

จากสูตรการหาความแปรปรวนคือ \(\sigma^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\bar{x}^{2}\)

ใครที่จำสูตรไม่ได้ไปอ่านตามลิงค์นี้ครับความแปรปรวน

แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}16&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}^{2}}{50}-10^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}^{2}&=&116\times 50\\\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}^{2}&=&5800\end{array}

หรือถ้าเราเอาผลรวมของกำลังสองความแปรปรวนของข้อมูลที่ผิดมาแยกดูจะได้ \(5800=4500+20^{2}+30^{2}\)

ดังนั้นผลรวมของกำลังสองความแปรปรวมของข้อมูลที่ถูกต้องคือ \(4500+2^{2}+3^{2}=4513\)

นั่นคือ ความแปรปรวมของข้อมูลที่ถูกต้องคือ

\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}}{50}-\bar{x}^{2}\\\sigma^{2}&=&\frac{4513}{50}-9.1^{2}\\\sigma^{2}&=&7.45\\\sigma&=&\sqrt{7.45}\\\sigma&=&2.7\end{array}

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องคือ \(9.1\) และ \(2.7\) ตามลำดับ

---

2. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 20 จำนวนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเป็น 15 และ 9 ตามลำดับ แต่อ่านข้อมูลผิดไป 2 จำนวนคือ จาก 7 และ 17 อ่านเป็น 11 และ 11 ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนที่ถูกต้อง

วิธีทำ ถ้าข้อข้างบนเข้าใจ ข้อนี้ก็ทำเหมือนกัน

เริ่มทำกันเลยครับหาผลรวมของข้อมูลที่ผิดก่อนนะครับจะได้ ผมอาจจะเขียนไม่ละเอียดนะข้อนี้ ต้องอ่านข้อข้างบนให้เข้าใจก่อนครับเพราะข้อข้างบนผมเขียนละเอียด

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}=20\times 15=300\)

ต่อไป

ข้อมูลที่ถูกคือ 7 แต่อ่านผิดเป็น 11 แสดงว่าอ่านเกินไป 4

ข้อมูลที่ถูกคือ 17 แต่อ่านผิดเป็น 11 แสดงว่าอ่านน้อยไป 6 

ดังนั้นผลรวมของข้อมูลที่ถูกต้องคือ

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}=20\times 15=300-4+6=302\)

นั่นคือค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่ถูกต้องคือ

\(\bar{x}=\frac{302}{20}=15.1\)

ต่อไปความแปรปรวนตอนอ่านข้อมูลผิดคือ \(9\) ลองเอาไปแทนค่าในสูตรความแปรปรวนดูครับ

จากสูตรการหาความแปรปรวนคือ \(\sigma^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\bar{x}^{2}\)

แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}}{20}-15^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}&=&4680\end{array}

ลองเอาผลรวมของกำลังสองของข้อมูลที่ผิดมากระจายดูจะได้ \(4680=4438+11^{2}+11^{2}\)

ดังนั้นผลรวมของกำลังสองของข้อมูลที่ถูกคือ \(4438+7^{2}+17^{2}=4476\)

ดังนั้นความแปรปรวนที่ถูกต้องคือ

\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}}{20}-\bar{x}^{2}\\&=&\frac{4476}{20}-15.1^{2}\\&=&10.79\end{array}

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนที่ถูกต้องคือ \(15.1\) และ \(10.79\) ตามลำดับ

โจทย์มีอีกเยอะครับอยากลองทำเองไปดาวน์โหลดตามลิงค์นี้ครับแบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด

สามารถศึกษาเกี่ยวกับโจทย์พวกความแปรปรวนจากลิงค์ต่อไปนี้

เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด

โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

แบบฝึกหัดการหาความแปรปรวนของข้อมูลหลายชุด

แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด

ความแปรปรวน