วันนี้ผมจะพาทำแบบฝึกหัดอินทิเกรตแบบจำกัดเขตครับค่อยๆอ่านทำความเข้าใจนะผมจะเฉลยแบบฝึกหัดให้ดูบางข้อ แต่ก่อนที่จะอ่านบทความนี้ให้ไปอ่านการอินทิเกรตแบบไม่จำกัดเขตก่อนและก็ไปดูสูตรเกี่ยวกับการอินทิเกรตก่อนคับ ตามลิงค์นี้เลย อินทิเกรต สูตรอินทิเกรต ม.6 ปฏิยานุพันธ์,ปริพันธ์,การอินทิเกรต เอาละต่อไปเราไปดูการอินทิเกรตแบบจำกัดเขตกันเลย ผมจะขอเอาตัวอย่างแบบฝึกหัดอินทิเกรตจำกัดเขตแค่บางข้อมาทำให้ดูเท่านั้นครับ เผื่อใครเรียนในห้องไม่ทัน ไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีที่อ่านทบทวนครับ
จงหาปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส
ก่อนอื่นเรามารู้จักทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสก่อนครับ เป็นดังต่อไปนี้
ทฤฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus)
กำหนด \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\) ถ้า \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) แล้ว \(\int_{a}^{b}dx=F(b)-F(a)\)
หมายเหตุ จากทฤฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส เขียนแทน \(F(b)-F(a)\) ด้วยสัญลักษณ์ \(F(x) |_{a}^{b}\)
ถ้า \(F^{\prime}(x)=f(x)\) ดังนั้น \(\int_{a}^{b}dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)\)
1. \(\displaystyle\int_{3}^{4}{(x^{3}+3)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{3}^{4}{(x^{3}+3)}dx&=&\left(\frac{x^{4}}{4}+3x\right)\displaystyle\Big| _{3}^{4}\\&=&\left(\frac{256}{4}+12\right)-\left(\frac{81}{4}+9\right)\\&=&\frac{304}{4}-\frac{117}{4}\\&=&\frac{187}{4}\end{array}
2. \(\displaystyle\int_{1}^{3}{(x^{2}-2x+3)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{1}^{3}{(x^{2}-2x+3)}dx&=&\left(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+3x\right)\Big|_{1}^{3}\\&=&(9-9+9)-\left(\frac{1}{3}-1+3\right)\\&=&9-\frac{7}{3}\\&=&\frac{20}{3}\end{array}
3.\(\displaystyle\int_{-1}^{1}{(4x^{3}+2x)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}{(4x^{3}+2x)}dx&=&(x^{4}+x^{2})\Big|_{-1}^{1}\\&=&(1+1)-(1+1)\\&=&0\end{array}
4.\(\displaystyle\int_{-3}^{-1}{\frac{1}{x^{2}}}\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-3}^{-1}{\frac{1}{x^{2}}}&=&\left(-\frac{1}{x}\right)\Big|_{-3}^{-1}\\&=&1-\frac{1}{3}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}
5.\(\displaystyle\int_{2}^{4}{(x^{2}+\frac{3}{x^{3}})}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{2}^{4}{(x^{2}+\frac{3}{x^{3}})}&=&\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{2x^{2}}\right)\Big|_{2}^{4}\\&=&\left(\frac{64}{3}-\frac{3}{32}\right)-\left(\frac{8}{3}-\frac{3}{8}\right)\\&=&\frac{2039}{96}-\frac{55}{24}\\&=&\frac{1819}{96}\end{array}
6. \(\displaystyle\int_{-1}^{1}{(-x^{4}+x^{2}-1)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}{(-x^{4}+x^{2}-1)}dx&=&\left(-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}-x\right)\Big|_{-1}^{1}\\&=&\left(-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-1\right)-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+1\right)\\&=&-\frac{26}{15}\end{array}
7.\(\displaystyle\int_{0}^{2}{(\frac{x^{3}}{3}+2x)}dx\)
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{2}{(\frac{x^{3}}{3}+2x)}dx&=&\left(\frac{x^{4}+x^{2}}{12}+x^{2}\right)\Big|_{0}^{2}\\&=&\left(\frac{16}{12}+4\right)-0\\&=&\frac{16}{3}\end{array}
8. ณ เวลา \(t\) ใดๆ รถยนต์คันหนึ่งวิ่งด้วยความเร็ว \(a(t)\) เมตรต่อวินาที2 โดยที่ \(\displaystyle\int_{0}^{5} a(t) dt=10\) ถ้ารถยนต์คันนี้วิ่งด้วยความเร็วต้น 20 เมตรต่อวินาที จงหาความเร็วของรถยนต์คันนี้ขณะเวลา 5 นาที
วิธีทำ เรารู้แล้วว่าถ้าอินทิเกรตความเร่ง \(a(t)\) จะได้ความเร็ว \(v(t)\) ดังนั้น จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{5} a(t) dt&=&10\\v(t)\displaystyle\Big|_{0}^{5}&=&10\\v(5)-v(0)&=&10\end{array}
เนื่องจากรถยนต์คันนี้วิ่งด้วยความเร็วต้น 20 เมตรต่อวินาที นั่นก็คือ \(v(0)=20 m/s\) เอาไปแทนในสมการข้างบนจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}v(5)-v(0)&=&10\\v(5)-20&=&10\\v(5)&=&10+20\\v(5)&=&30\end{array}
ความเร็วรถยนต์คันนี้ขณะเวลา 5 วินาทีคือ \(30 m/s\)
สนับสนุนเว็บไซต์