วันนี้เราจะมาหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ซึ่งการหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ \(y=f(x)\) จาก \(x=a\) ถึง \(x=b\) สามารถหาได้โดยอาศัยทฤษฏีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท  เมื่อ \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\)

และ \(A\) เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(f\) จาก \(x=a\) ถึง \(a=b\) 

1. ถ้า \(f(x)\geq 0\)  สำหรับทุกค่าของ \(x\) ที่อยู่ในช่วง \([a,b]\)

และ \(A\) เป็นพื้นที่เหนือแกน \(X\) แล้ว

\[A=\int_{a}^{b}{f(x)}dx\]

2. ถ้า \(f(x) \leq 0\) สำหรับทุกค่าของ \(x\) ที่อยู่ในช่วง \([a,b]\) และ \(A\) เป็นพื้นที่ใต้แกน \(X\) แล้ว

\[A=-\int_{a}^{b}{f(x)}dx\]

มาดูตัวอย่างการหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกันครับ

ตัวอย่างที่ 1  จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟเส้นโค้ง \(y=3x^{2}\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=1\)

วิธีทำ  พื้นที่ที่ต้องการ สามารถแสดงได้ดังนี้

ให้ \(A\) แทนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(y=3x^{2}\)

จาก \(x=0\) ถึง \(x=1\)

เนื่องจาก \(f(x)\geq 0\) สำหรับทุก \(x\) ที่อยู่ในช่วง \([0,1]\)

จะได้ \(A=\int_{0}^{1}{3x^{2}}dx=x^{3}\Big|_{0}^{1}=1-0=1\)

ดังนั้นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(y=3x^{2}\)

จาก \(x=0\) ถึง \(x=1\) เท่ากับ \(1\) ตารางหน่วย

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(f(x)=x^{2}-9\) จาก \(x=-2\) ถึง \(x=1\)

วิธีทำ  กราฟของ \(f\) เป็นรูปพาราโบลาหงายและ \(f(x) \neq 0\)

สำหรับทุก \(x\) ที่อยู่ในช่วง \([-2,1]\) ดังรูป

ให้ \(A\) แทนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ 

\(f(x)=x^{2}-9\) จาก \(x=-2\) ถึง \(x=1\)

จะได้ 

\begin{array}{lcl}A&=&-\int_{-2}^{1}{(x^{2}-9)}dx\\&=&-\left(\frac{x^{3}}{3}-9x\right)\Big|_{-2}^{1}\\&=&-\left[\left(\frac{1}{3}-9\right)-\left(-\frac{8}{3}-(-18)\right)\right]\\&=&24\end{array}

ต่อไปเรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งต่อครับ ต่อไปอาจจะไม่มีรูปภาพของกราฟประกอบใครอยากรู้่ว่ากราฟเส้นโค้งแต่ละมีหน้าตาเป็นอย่างไรก็ใช้โปรแกรม Geogebra พลอตดูได้ครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(y=x^{2}\) จาก \(x=-3\) ถึง \(x=0\)

วิธีทำ  พื้นที่ต้องการแสดงได้ดังรูปข้างล่างนี้

 

ให้ \(A\) แทนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ \(y=x^{2}\) จาก \(x=-3\) ถึง \(x=0\)  เนื่องจาก \(f(x)\geq 0\) สำหรับทุก \(x\) ที่อยู่ในช่วง \([-3,0]\)

จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&\int_{-3}^{0}{x^{2}}dx\\&=&\frac{x^{3}}{3}\Big|_{-3}^{0}\\&=&0-(-9)\\&=&9\end{array}

2. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(y=6+x-x^{2}\) จาก \(x=-1\) ถึง \(x=1\)

วิธีทำ  พื้นที่ที่ต้องการแสดงได้ดังนี้

ให้ \(A\) แทนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ \(y=6+x-x^{2}\) จาก \(x=-1\) ถึง \(x=1\) เนื่องจาก \(f(x)\geq 0\) สำหรับทุก \(x\) ที่อยู่ในช่วง \([-1,1]\)

จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&\int_{-1}^{1}{(6+x-x^{2})}dx\\&=&\left(6x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{-1}^{1}\\&=&\left(6+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(-6+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\\&=&\frac{34}{3}\end{array}

3. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(y=x^{2}-25\)  จาก \(x=-1\) ถึง \(x=3\)

วิธีทำ จากสมการได้พื้นที่ดังรูปคือ 

ให้ \(A\) แทนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ \(y=x^{2}-25\) จาก \(x=-1\) ถึง \(x=3\) เนื่องจาก \(f(x)\neq 0\) สำหรับทุก \(x\) ที่อยู่ที่อยู่ในช่วง \([-1,3]\)

จะได้

\begin{array}{lcl} A&=&-\int_{-1}^{3}{(x^{2}-25)}dx\\&=&-\left(\frac{x^{3}}{3}-25x\right)\Big|_{-1}^{3}\\&=&-\left((9-75)-(-\frac{1}{3}+25)\right)\\&=&\frac{272}{3}\end{array}

4. กำหนดให้ ฟังก์ชัน \(f\) มีกราฟดังรูป

ถ้า \(F^{\prime}(x)=f(x)\) และ \(F(0)=0\) แล้ว จงหา \(F(b)\) เมื่อ \(b\in\{1,2,3,4,5\}\)

วิธีทำ 

พื้นที่ปิดล้อมด้วยกราฟ \(y=f(x)\) กับแกน \(X\)  จาก \(x=0\) ถึง \(x=1\) เท่ากับ \(\frac{1}{2}\times 1\times 2 = 1\) ตารางหน่วย จากทฤษฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}F(1)-F(0)&=&\int_{0}^{1}{f(x)}dx=-1\end{array}

เนื่องจาก \(F(0)=0\)

ดังนั้น \(F(1)=-1+0=-1\)

พื้นที่ปิดล้อมด้วยกราฟ \(y=f(x)\) กับแกน \(X\) จาก \(x=1\) ถึง \(x=2\) เท่ากับ \(\frac{1}{2}\times 1\times (2+1)=\frac{3}{2}\) ตารางหน่วย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได้ว่า

\[F(2)-F(1)=\int_{1}^{2}{f(x)}dx=-\frac{3}{2}\]

เนื่องจาก \(F(1)=-1\)

ดังนั้น \(F(2)=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2}\)

พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟ \(y=f(x)\) จาก \(x=2\) ถึง \(x=3\) เท่ากับ \(\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}\) ตารางหน่วย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได้ว่า

\[F(3)-F(2)=\int_{2}^{3}{f(x)}dx=-\frac{1}{2}\]

เนื่องจาก \(F(2)=-\frac{5}{2}\)

ดังนั้น \(F(3)=-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-3\)

พื้นที่ปิดล้อมด้วยกราฟ \(y=f(x)\) กับแกน \(X\) จาก \(x=3\) ถึง \(x=4\) เท่ากับ \(\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}\) ตารางหน่วย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสจะได้ว่า

\[F(4)-F(3)=\int_{3}^{4}{f(x)}dx=\frac{1}{2}\]

เนื่องจาก \(F(3)=-3\)

ดังนั้น \(F(4)=\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{2}\)

พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟ \(y=f(x)\) กับแกน \(X\) จาก \(x=4\) ถึง \(x=5\) เท่ากับ \(\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}\) ตารางหน่วย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได้ว่า

\[F(5)-F(4)=\int_{4}^{5}f(x)dx=\frac{1}{2}\]

เนื่องจาก \(F(4)=-\frac{5}{2}\)

ดังนั้น \(F(5)=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-2\)

ดังนั้น \(F(b)\) มีค่า \(-1,-\frac{5}{2},-3,-\frac{5}{2},-2\) เมื่อ \(b\in\{1,2,3,4,5\}\)

Pin It