กราฟของระบบอสมการเชิงเส้น  ในหัวข้อนี้เราจะมุ่งเน้นในการวาดกราฟของระบบอสมการเชิงเส้น เมื่อต้องพิจารณาอสมการเชิงเส้นมากกว่าหนึ่งอสมการพร้อมๆกัน จะเรียกว่า ระบบ อสมการเชิงเส้น คำตอบของระบบอสมการเชิงเส้น คือ คู่อันดับ (x,y) ที่สอดคล้องกับอสมการทั้งหมดของระบบอสมการ หรือคู่อันดับ \((x,y)\) ที่ \(x\) และ\(y\) เป็นคำตอบของอสมการทั้งหมดของระบบอสมการ เมื่อพิจารณาจากกราฟ กราฟชองคำตอบของระบบอสมการเชิงเส้นจะแทนได้ด้วยบริเวณที่ซ้อนทับกันของกราฟของอสมการทั้งหมดนั้นเองครับ เพื่อความสะดวก ต่อไปจะเรียกกราฟของคำตอบของระบบอสมการว่า กราฟของระบบอสมการ

ต่อไปเราจะไปดูการทำแบบฝึกหัดและ

ตัวอย่างการเขียนกราฟของระบบอสมการ \(x-y\leq 10\) และ \(y<x\)

วิธีทำ เริ่มต้นให้เราเขียนกราฟของ \(x-y=10\) ก่อน ซึ่งจะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด

\((10,0)\)  ก็คือเมื่อเราให้ \(y=0\) จะได้ \(x-0=10\) นั่นก็คือถ้า \(y\) เท่ากับ 0 ได้ค่าของ \(x=10\)ครับ

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราให้ \(x=0\) บ้าง เราจะได้ \(0-y=10\) จะได้ \(y=-10\)

จึงได่ว่าเส้นตรงผ่านจุด \((10,0)\) และ \((0,-10)\) เขียนกราฟของสมการ \(x-y=10\) ได้ดังรูปด้านล่าง 

ดังนั้นกราฟของอสมการ \(x-y\leq 10\) คือพื้นที่ที่อยู่ทางฝั่งซ้ายของเส้นตรงดังรูปครับ

ต่อไปมาเขียนกราฟของอมการ \(y<x\)  โดยเริ่มเขียนกราฟของสมการ \(y=x\) จะได้กราฟของ \(y=x\) เป็นเส้นตรงดังรูปครับ

ดังนั้นกราฟของอสมการ \(y<x\) จึงเป็นพื้นที่ที่อยู่ทางฝั่งขวาขอเส้นตรงเพราะว่าฝั่งขวาค่าของ \(x\) จะเพิ่มค่า \(y\) จะน้อยครับพื้นที่ตรงนี้ ค่าวายจะน้อยกว่าเอ็กซ์เสมอหรือว่า ค่าของเอ็กซ์จะมากกว่าวายเสมอนั้นเองครับ จะได้กราฟของ \(y<x\) ดังรูปด้านล่างครับ

และถ้าเราเอาอสมการทั้งสองมาเขียนรวมกันก็จะได้กราฟดังรูป ด้านล่างครับ

ดังนั้นกราฟที่สอดคล้องของทั้งสองอสมการหรือคำตอบของระบบอสมการนี้ก็คือพื้นที่ที่ซ้อนทับกันครับ จะได้คำตอบดังกราฟด้านล่างครับ

ต่อไปเราจะลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับกราฟของระบบอสมการ ผมจะเอาโจทย์บางส่วนมากหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ของ สสวท. นะคับเพื่อทำให้ดูเป็นบางข้อ สำหรับใครที่เข้าใจแล้วก็สามารถหาโจทย์ทำเพิ่มเติมได้คับ ไปดูกันเลย


1. จงเขียนกราฟของระบบอสมการต่อไปนี้

1) \(x\geq -1\) และ \(x\leq 1\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายหน่อย เขียนกราฟของ \(x\geq -1\) ก่อนจะได้ดังรูปด้านล่าง

ต่อไปเขียนกราฟ \(x\leq 1\) จะได้กราฟเป็นพื้นที่ดังรูปด้านล่างคับ

ต่อไปเอาทั้งสองกราฟของอสมการมารวมกันแล้วดูพื้นที่ที่ซ้อนทับกัน พื้นที่ตรงนั้นแหละจะเป็นคำตอบของระบบสมการ


2) \(y-2x\leq 2\) และ \(y-2x\leq 4\)

วิธีทำ ให้เราเขียนกราฟของ \(y-2x=2\) ก่อน ซึ่งแน่นอนมันเป็นเส้นตรง หาจุดตัดแกน\(X\) และ แกน \(Y\) ของเส้นตรงนี้ก่อนครับ

จุดตัดแกน \(X\) คือให้ \(y=0\) จะได้

\begin{array}{lcl}y-2x&=&2\\0-2x&=&2\\-x&=&\frac{2}{-2}\\x&=&-1\end{array}

ดังนั้นเส้นตรงนี้ตัดแกน \(X\) ที่จุด \((-1,0)\)

จุดตัดแกน \(Y\) คือให้ \(x=0\) จะได้

\begin{array}{lcl}y-2x&=&2\\y-2(0)&=&2\\y&=&2\end{array}

ดังนั้นเส้นตรงนี้ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,2)\)

จะได้กราฟของเส้นตรง \(y-2x=2\) ดังรูปด้านล่างครับ

ดังนั้น กราฟของ \(y-2x\leq 2\)  ก็คือวายไปลบก้อนๆหนึ่งแล้วมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับสองจึงเป็นพื้นที่ที่อยู่ใต้พิกัด \((0,2))\) ลงมาครับดังรูปด้านล่าง

ต่อไปวาดกราฟของสมการ \(y-2x=4\) จะได้กราฟดังรูป วิธีการเขียนกราฟของสมการเส้นตรงพวกนี้ไม่ยากครับหาจุดตัดบนแกน 

\(X\) และจุดตัดบนแกน \(Y\) แล้วลากเส้นตรงเชื่อมกันเลยครับ

จุดตัดบนแกน \(X\) คือ 

\begin{array}{lcl}y-2x&=&4\\0-2x&=4\\-2x&=&4\\x&=&-2\end{array}

จุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((-2,0)\)

จุดตัดบนแกน \(Y\) คือ

\begin{array}{lcl}y-2x&=&4\\y-2(0)&=&4\\y=4\end{array}

จุดตัดบนแกน\(Y\) คือ \((0,4)\)

หาจุดตัดแล้วก็ลากเส้นตรงระหว่างสองจุดนี้เข้าหากันเลยจะกราฟดังนี้

ดังนั้นกราฟของอมการ \(y-2x\leq 4\) คือดังรูปด้านล่างครับ

จากนั้นเอาอมสมการ 

\(y-2x\leq 2\)  และ \(y-2x\leq 4\) มาวาดด้วยกัน พื้นที่ที่ซ้อนทับกันจะเป็นคำตอบของระบบอสมการนี้ครับ ดังรูปด้านล่างครับ

ตรงที่ผมแรเงาสีแดงนะครับเป็นพื้นที่ที่ซ้อนทับกันของอสมการ \(y-2x\leq 2\) และ \(y-2x\leq 4\) ดังนั้นตรงที่แรงเงาสีแดงนั้นแหละเป็นคำตอบของระบบอสมการ

2.จงเขียนระบบอสมการซึ่งมีกราฟดังที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1)

วิธีทำ พยายามดูรูปที่ผมวาดให้ดูนะครับ

ดังนั้นระบบอสมการที่สอดคล้องกับกราฟที่โจทย์กำหนดให้คือ

\(x\geq 0\)

\(y\geq 0\)

\(2x+y \leq 4\)

2)

วิธีทำ ระบบอสมการที่มีกราฟดังพื้นที่ที่แรเงาคือ ค่อยๆดูรูปประกอบด้านล่างครับ

ระบบอสมการที่สอบคลองกับกราฟคือ

\(3x+y\geq 180\)

\(x+y\geq 100\)

\(2x+5y\geq 260\)

\(x\geq 0\)

\(y\geq 0\)

Pin It