ในเรื่องการหาอนุพันธ์สามารถนำไปใช้ประโยชน์ได้อย่างมากในเรื่องทางด้านวิทยาศาสตร์ โดยเฉพาะเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ ความเร็วและความเร่ง
ถ้าให้ \(s=f(t)\) เป็นสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ เวลา \(t\) ใดๆ
\[f^{\prime}(t)=v\]
\[f^{\prime\prime}(t)=v^{\prime}(t)=a\]
เมื่อ \(v\) คือ ความเร็วของวัตถุ ณ เวลา \(t\)
\(a\) คือ ความเร่งของวัตถุ ณ เวลา \(t\)
นั่นก็คือ ถ้าเรานำ \(f(t)\) มาหาอนุพันธ์ครั้งแรก ผลที่ได้จะเป็นความเร็ว ณ เวลา \(t\) และถ้าเรานำมาหาอนุพันธ์ต่ออีกครั้ง ผลที่ได้จะเป็นค่าความเร่ง ณ เวลา \(t\)
หรือที่เราพูดติดปากกันก็คือ
ดิฟระยะทางได้ ความเร็ว
ดิฟความเร็วได้ ความเร่ง
ข้อควรสนใจ
1. ถ้า \(f^{\prime}(t)>0\) แล้ว \(s\) จะมีค่าเพิ่มขึ้น กล่าวคือถ้าความเร็วของวัตถุ ณ เวลา \(t\) เป็นบวกแสดงว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุในขณะนั้นเคลื่อนที่แล้วทำให้ได้ระยะทางเพิ่มขึ้น
2. ถ้า \(f^{\prime}(t)<0\) แล้ว \(s\) จะมีค่าลดลง กล่าวคือถ้าความเร็วของวัตถุ ณ เวลา \(t\) เป็นลบแสดงว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุในขณะนั้นเคลื่อนที่แล้วทำให้ได้ระยะทางลดลง
3. ถ้า \(v^{\prime}(t)>0\) แล้ว \(v\) จะมีค่าเพิ่มขึ้น กล่าวคือถ้าความเร่งของวัตถุ ณ เวลา \(t\) เป็นบวกแสดงว่าขณะนั้นวัตถุกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเพิ่มขึ้น
4. ถ้า \(v^{\prime}(t)<0\) แล้ว \(v\) จะมีค่าลดลง กล่าวคือ ถ้าความเร่งของวัตถุ ณ เวลา \(t\) เป็นลบแสดงว่าขณะนั้นวัตถุกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วลดลง
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด
ตัวอย่าง 1 ระยะทาง \(s\) เมตรที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นฟังก์ชันกับเวลา \(t\) วินาที กำหนดโดย \(s=16(t+\frac{1}{t^{3}})\) ถ้าความเร่งมีค่า \(6\quad เมตร/วินาที^{2}\) แล้วความเร็วมีค่าเท่าใด
วิธีทำ จาก \(s=16(t+\frac{1}{t^{3}})=16t+16t^{-3}\)
ดังนั้น
\(v=\frac{ds}{dt}=16-48t^{-4}\)
เนื่องจากโจทย์ต้องการหาความเร็ว ดังนั้นเราต้องหา \(t\) แต่เงื่อนไขที่จะหา \(t\) นั้น โจทย์กำหนดให้ความเร่งเท่ากับ \(6\)
แต่ \(a=\frac{dv}{dt}=192t^{-5}\)
นั่นคือ
\begin{array}{lcl}192t^{-5}&=&6\\t^{5}&=&\frac{192}{6}\\t^{5}&=&32\\t&=&2\end{array}
ดังนั้น ต้องการหาความเร็วเมื่อความเร่งเท่ากับ 6 คือความเร็ว เมื่อ \(t=2\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}v&=&16-48(2)^{-4}\\&=&16-\frac{48}{2^{4}}\\&=&13\end{array}
ตอบ ความเร็วมีค่าเท่ากับ \(13\) เมตร/วินาที
ตัวอย่าง 2 ยิงพลุลูกหนึ่งซึ่งมีความเร็วต้น 15,000 ฟุตต่อวินาที เมื่อยิงพลุไปแล้วเป็นเวลา \(t\) วินาที พลุจะขี้นไปสูง \(15,000t-16t^{2}\) ฟุต อยากทราบว่าพลุจะขึ้นไปสูงสุดกี่ฟุต
วิธีทำ ขณะที่พลุขึ้นไปสูงเรื่อยๆ ความเร็วของพลุจะลดลง เพราะมีแรงดึงดูดของโลกดึงดูดไว้ ดังนั้นพลุจะขึ้นได้สุงสุดเมื่อความเร็วเป็นศูนย์
จาก
\begin{array}{lcl}s&=&15,000t-16t^{2}\\v&=&\frac{ds}{dt}=15,000-32t\end{array}
โจทย์ถามว่าพลุขี้นไปสูงสุดกี่ฟุต เราทราบว่าพลุที่จุดสูงสุดจะมีความเร็วเป็น \(0\) เพราะฉะนั้นเราจึงให้
\(v=0\) จะได้
\begin{array}{lcl}15,000-32t&=&0\\t&=&\frac{15,000}{32}\end{array}
นี่คือเวลา \(t\) เมื่อพลุขึ้นได้ถึงสูงสุด ต่อไปเราก็เอาค่า \(t\) ที่ได้นี้ไปแทนค่าในสมการ \(s=15,000t-16t^{2}\) เพื่อหาว่าพลุขึ้นได้สูงสุดกี่ฟุต จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}s&=&15,000t-16t^{2}\\&=&15,000(\frac{15,000}{32})-16(\frac{15,000}{32})^{2}\\&=&\frac{(15,000)^{2}}{32}-\frac{(15,000)^{2}}{64}\\&=&\frac{2(15,000)^{2}-(15,000)^{2}}{64}\\&=&\frac{(15,000)^{2}}{64}\end{array}
ตัวอย่าง 3 กำหนดให้ \(s(t)=t^{3}-2t^{2}+3t+4\) จงหาความเร็วและความเร่งเมื่อ \(t=2\)
วิธีทำ หาความเร็วก่อน ความเร็วได้จาก การดิฟระยะทาง ดังนั้น
\(v(t)=s^{\prime}(t)=3t^{2}-4t+3\)
ดังนั้น ความเร็ว เมื่อ \(t=2\) คือ
\(v(2)=3(2^{2})-4(2)+3=7\)
หาความเร่ง ความเร่งหาได้จาก ดิฟความเร็ว ดังนั้น
\(a(t)=v^{\prime}(t)=6t-4\)
ดังนั้น ความเร่ง เมื่อ \(t=2\) คือ
\(a(2)=6(2)-4=8\)
ตัวอย่าง 4 โยนลูกบอลขึ้นไปในอากาศ โดยลูกบอลเคลื่อนที่ด้วยสมการ \(s(t)=8t-t^{2}\) จงหาว่าลูกบอลเคลื่อนที่ได้สูงเท่าใดก่อนจะตกลงมา
วิธีทำ เราต้องรู้นะครับว่าเมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุดเมื่อไร ความเร็ว(v) ณ ตรงจุดสูงสุดนั้นจะเป็น \(0\) ดังนั้นเราสามารถคำนวณหาเวลา(t)ที่ความเร็วสูงสุดได้ครับ กล่าวคือ
\begin{array}{lcl}v(t)=s^{\prime}(t)=8-2t\end{array}
ดังนั้นเมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุดต้องใช้เวลา(t) ทั้งสิ้น
\(v(t)=8-2t\)
เนื่องที่จุดสูงสุดความเร็วจะเท่ากับ \(0\) นั่นคือ \(v(t)=0\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}v(t)&=&8-2t\\0&=&8-2t\\t&=&\frac{-8}{-2}\\t&=&4\end{array}
นั่นคือต้องใช้เวลาถึง \(4\) วินาที ลูกบอลถึงจะเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุด และเคลื่อนที่ได้ระยะทาง
\begin{array}{lcl}s(t)&=&8t-t^{2}\\s(4)&=&8(4)-4^{2}\\s(4)&=&32-16\\s(4)&=&16\end{array}
ดังนั้นก่อนที่จะตกลงมาลูกบอลเคลื่อนที่ได้ 16 เมตร
4. จงหาความเร็ว \(v(t)\) และตำแหน่งของวัตถุ \(s(t)\) ขณะเวลา \(t\) ใดๆ เมื่อกำหนดความเร่ง \(a(t)\) และตำแหน่งของวัตถุเมื่อ \(t=0\) ดังนี้
1) \(a(t)=6-2t,\quad 0\leq t\leq 3,\quad v(0)=5,k\quad s(0)=0\)
วิธีทำ จาก \(\frac{dv}{dt}=a(t)=6-2t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)
จะได้
\begin{array}{lcl}\int\frac{dv}{dt}dt&=&\int(6-2t)dt\\v&=&6t-t^{2}+c_{1}\end{array}
จาก\(v(0)=5\) จะได้ \(c_{1}=5\)
ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(v(t)=-t^{2}+6t+5\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)
จาก \(\frac{ds}{dt}=v(t)=-t^{2}+6t+5\)
จะได้ \begin{array}{lcl}\int\frac{ds}{dt}dt&=&\int (-t^{2}+6t+5)dt\\s&=&-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t+c_{2}\end{array}
จาก \(s(0)=0\) จะได้ \(c_{2}=0\)
ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(s(t)=-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)
5.โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที
กำหนดให้ \(g=9.8 เมตร/วินาที^{2}\) จงหา
1) สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้
วิธีทำ โยนวัตถุขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่ง \(a=-g=-9.8 เมตร/วินาที^{2}\)
หรือ \(a=\frac{dv}{dt}=-9.8\)
จะได้ \(\int\frac{dv}{dt}dt=\int -9.8dt\)
ดังนั้น \(v=-9.8t+c_{1}\)
โยนวัตถูขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที
นั่นคือ ขณะ \(t=0\) และ \(v=98\)
จาก \(v=-9.8t+c_{1}\)
จะได้ \(c_{1}=98\)
ดังนั้น \(v=-9.8t+98\)
จาก \(\frac{ds}{dt}=\int (-9.8t+98)dt\)
ดังนั้น \(s=-4.9t^{2}+98t+c_{2}\)
เมื่อ \(t=0\) จะได้ \(s=0\) และ \(c_{2}=0\)
ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ \(s=-4.9t^{2}+98t\)
2) วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด
วิธีทำ วัตถุขึ้นสูงสุด เมื่อ \(v=0\)
จาก \(v=-9.8t+98\)
จะได้
\begin{array}{lcl}0&=&-9.8t+98\\t&=&10\end{array}
ดังนั้น วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไป 10 วินาที
4. สุทธิชัยปล่อยวัตถุลงจากที่สูงลงสู่พื้นดิน วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง \(s=16t^{2}\) เมตร ในเวลา \(t\) วินาที จงหา
1) ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้หลังจากปล่อยวัตถุไป 3 วินาที
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับ เมื่อปล่อยวัตถุไปแล้ว 3 วินาทีวัตถุจะเคลื่อนที่ได้
\begin{array}{lcl}s&=&16t^{2}\\s&=&16(3)^{2}\\s&=&144\quad metre\end{array}
2) ความเร็วขณะเวลา 2 วินาที
วิธีทำ เนื่องจากระยะทางในขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(s=16t^{2}\) ดังนั้น
ความเร็วของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(\frac{ds}{dt}\) พูดเป็นภาษาชาวบ้านก็คือต้องการหาความเร็วก็เอาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ หรือว่า \(s\) มาดิฟนั่นเองครับ
\begin{array}{lcl}v&=&\frac{ds}{dt}\\&=&\frac{d}{dt}(16t^{2})\\&=&16(2)t\\&=&32t\\so \quad when \quad t&=&2\\v&=&32(2)\\v&=&64\quad m/s\end{array}
ดังนั้นความเร็วขณะเวลา \(t=2\) วินาที เท่ากับ \(64\) เมตรต่อวินาที
3) ความเร่งขณะเวลา \(t\) ใดๆ
วิธีทำ ความเร่งขณะเวลา \(t\) ใดๆ หาได้จาก \(\frac{dv}{dt}\) พูดเป็นภาษาชาวบ้านคือ ต้องการหาความเร่งก็เอาความเร็วหรือว่า \(v\) มาดิฟนั่นเอง
จาก \(v=32t\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\frac{dv}{dt}&=&\frac{d}{dt}(32t)\\&=&32\end{array}
ดังนั้นความเร่งขณะเวลา \(t\) ใดๆคือ \(32\quad m/s^{2}\)
4) ความเร่งขณะเวลา \(5\) วินาที
วิธีทำ จากข้อ 3) ความเร่งในขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(32\) เมตร/\(วินาที^{2}\)
ดังนั้นความเร่งในขณะเวลา 5 วินาที เท่ากับ \(32\) เมตร/\(วินาที^{2}\)
ตัวอย่าง ในขณะเวลา \(t\) ใดๆ วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง \(-3t\) \(เมตร/วินาที^{2}\) ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุชิ้นนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(1\) เมตร/วินาที และได้ระยะทาง \(3\) เมตร จงหา
1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา\(t\) ใดๆ
2) สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้
วิธีทำ 1) เนื่องจาก \(\frac{dv}{dt}=-3t\)
จะได้ \(v=\int (-3t)dt=\frac{-3t^{2}}{2}+c_{1}\) เมื่อ \(c_{1}\) เป็นค่าคงตัว ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1 เมตร/วินาที
นั่นคือ เมื่อ \(t=0,\quad v=1\)
จาก \(v=\frac{-3t^{2}}{2}+c_{1}\)
จะได้ \(1=0+c_{1}\) หรือ \(c_{1}=1\)
ดังนั้น ความเร็วของวัตถุชิ้นนี้ขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(v=-\frac{3}{2}t^{2}+1\)
2) เนื่องจาก \(v=\frac{ds}{dt}=-\frac{3}{2}t^{2}+1\)
จะได้ \(s=\int\left(-\frac{3}{2}t^{2}+1\right)dt=-\frac{t^{3}}{2}+t+c_{2}\)
เมื่อ \(c_{2}\) เป็นค่าคงตัว
ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 3 เมตร
นั่นคือ เมื่อ \(t=0,\quad s=3\)
จาก \(s=-\frac{t^{3}}{2}+t+c_{2}\)
จะได้ \(3=0+0+c_{2}\)
\(c_{2}=3\)
ดังนั้น สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้คือ \(s=-\frac{t^{3}}{2}+t+3\)
7.ในขณะเวลา \(t\) ใดๆ วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง \(t^{2}+4t\) เมตรต่อ\(วินาที^{2}\) ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุชิ้นนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(4\) เมตรต่อวินาทีและได้ระยะทาง \(6\) เมตร จงหา
1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา \(t=3\) วินาที
2) ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่เมื่อเวลาผ่านไป 3 นาที
วิธีทำ โจทย์กำหนดความเร่งมาให้ ก็คือ \(a(t)=t^{2}+4t\) ดังนั้นเราสามารถหาความเร็ว\((v(t)\) ด้วยการอินทิเกรตความเร่ง\((a(t)\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}v(t)=\int{a(t)}dt&=&\int{(t^{2}+4t)}dt\\&=&\frac{t^{3}}{3}+2t^{2}+c\end{array}
ต่อไปหาค่า \(c\) เนื่องจากโจทย์บอกว่าเมื่อเริ่มต้นจับเวลา \(t=0\) วัตถุความเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(4\) เมตรต่อวินาทีนั่นก็คือที่ \(t=0\) ค่า \(v(0)=4\) เริ่มหาค่า \(c\) เลยครับ
\begin{array}{lcl}v(t)&=&\frac{t^{3}}{3}+2t^{2}+c\\v(0)&=&\frac{0}{3}+2(0)+c\\4&=&c\end{array}
ดังนั้นความเร็วของวัตถุขณะเวลา\(t=3\) วินาทีคือ
\begin{array}{lcl}v(3)&=&\frac{3^{3}}{3}+2(3)^{2}+4\\&=&31 \quad m/s\end{array}
ต่อไปหาระยะทางการเคลื่อนที่หรือก็คือหา \(s(t)\) การหา \(s(t)\) ก็คือเอา \(v(t)\) ไปอินทิเกรตครับผม เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}s(t)=\int{v(t)}dt&=&\int{(\frac{t^{3}}{3}+2t^{2}+4)}dt\\&=&\frac{t^{4}}{12}+\frac{2t^{3}}{3}+4t+c\end{array}
ต่อไปหาค่า\(c\) ครับ เนื่องจากที่เริ่มต้นจับเวลา \((t=0)\) วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง \(6\) เมตร นั่นก็คือที่ \(t=0\) ได้ \(s(0)=6\) นั่นเองคับ เอาละหาค่า \(c\) กันเลย
\begin{array}{lcl}s(t)&=&\frac{t^{4}}{12}+\frac{2t^{3}}{3}+4t+c\\s(0)&=&\frac{0}{12}+\frac{0}{3}+4(0)+c\\6&=&c\end{array}
ดังนั้น \(c=6\) เมื่อได้ค่า c แล้วต่อไปเราก็หาได้แล้วว่าเมื่อเวลาผ่านไป 3 วินาทีวัตถุจะเคลื่อนที่ได้เท่าใด
\begin{array}{lcl}s(t)&=&\frac{t^{4}}{12}+\frac{2t^{3}}{3}+4t+6\\s(3)&=&\frac{3^{4}}{12}+\frac{2(3)^{3}}{3}+4(3)+6\\&=&\frac{81}{12}+\frac{54}{3}+12+6\\&=&42.75\quad m\end{array}
8.ให้ \(s(t)=2t^{3}-t+5\) เป็นฟังก์ชันแสดงตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวตรง (มีหน่วยเป็นเมตร) ขณะเวลา \(t\) วินาที จงหาระยะห่างของวัตถุจากตำแหน่งเริ่มต้น ความเร็วและความเร่งของวัตถุขณะเวลา \(1\) วินาที
วิธีทำ อ่านโจทย์ดีๆและค่อยๆตอบคำถามทีละข้อนะคับ เริ่มทำเลย
1) ระยะห่างของวัตถุจากตำแหน่งเริ่มต้น ขณะเวลา 1 วินาที ความหมายก็คือให้หา \(|s(1)-s(0)|\) จะได้ว่า
\(s(0)=2(0)^{3}-0+5=5\) เมตร
\(s(1)=2(1)^{3}-1+5=6\) เมตร
นั่นก็คือ
ระยะห่างของวัตถุจากตำแหน่งเริ่มต้น ขณะเวลา 1 วินาที \(|s(1)-s(0)|=|6-5|=|1|=1\)
ความเร็วของวัตถุขณะเวลา 1 วินาที คือ
\begin{array}{lcl}s^{\prime}(t)&=&6t^{2}-1\\v(t)&=&6t^{2}-1\\v(1)&=&6(1)-1\\&=&5\quad m/s\end{array}
ความเร่งของวัตถุขณะเวลา 1 วินาที คือ
\begin{array}{lcl}s^{\prime\prime}(t)&=&12t\\a(t)&=&12t\\a(1)&=&12(1)\\&=&12\quad m/s^{2}\end{array}
9. โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นจากพื้นดินในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 98 เมตรต่อวินาที ถ้ากำหนดความเร่งโน้งถ่วงของโลกเท่ากับ -9.8 เมตรต่อวินาที2 และขณะที่เริ่มต้นจับเวลา ตำแหน่งของวัตถุอยู่ที่ศูนย์ จงหา
1) ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลา t ใดๆ
2) เวลาที่วัตถุขึ้นไปถึงตำแหน่งสูงสุด และตำแหน่งสูงสุดของวัตถุ
3) เวลาที่วัตถุอยู่ในตำแหน่งที่สูงจากพื้นดิน 249.9 เมตร
วิธีทำ จากที่อ่านโจทย์จะได้ว่า \(v(0)=98 m/s\) และ \(s(0)=0\) ต่อไปมาตอบคำถามทีละข้อกันครับผม
\begin{array}{lcl}a(t)&=&-9.8\\v^{\prime}(t)&=&-9.8\\and\quad then\\v(t)&=&\int v^{\prime}(t)dt=\int -9.8 dt\\v(t)&=&-9.8t+c_{1}\\and\\v(0)&=&-9.8(0)+c_{1}\\c_{1}&=&98\\so\\v(t)&=&-9.8t+98\\s^{\prime}(t)&=&-9.8t+98\\and\quad then\\s(t)&=&\int s^{\prime}(t)dt=\int (-9.8t+98)dt\\s(t)&=&-4.9t^{2}+98t+c_{2}\\s(0)&=&(-4.9)(0)+98(0)+c_{2}\\c_{2}&=&0\\so\\s(t)&=&-4.9t^{2}+98t\end{array}
นั่นก็คือตำแหน่งวัตถุ ณ เวลา t ใดคือ \(s(t)=-4.9t^{2}+98t\)
สนับสนุนเว็บไซต์