วันนี้ผมจะทำการเฉลย การหาลิมิตของฟังก์ชันนะคับผม ซึ่งได้สอนในห้องไปแล้ว แต่นักเรียนบางคนอาจจะตามไม่ทันหรือขาดเรียน ดังนั้นเฉลยอันนี้ อาจจะช่วยเป็นแนวทางให้นักเรียนได้ดู เพื่อเป็นการทบทวนเรื่องการหาลิมิตของฟังก์ชัน  และเฉลยอันนี้อาจจะเป็นแนวทางในการส่งเสริมให้นักเรียนใช้เป็นพื้นฐานในการทำข้อสอบข้ออื่นๆต่อไปครับผม  ไปดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดการหาลิมิตของฟังก์ชันเลยครับ

จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ถ้ามีลิมิต

1. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{2x^2-x-10}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{2x^{2}+x-10}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-1)(-2)}{(2x+5)(x-2)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-1}{2x+5}\\&=&\frac{2-1}{4+5}\\&=&\frac{1}{9}\end{array}

2.\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1}(x^{4}-2x+5)\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1}(x^{4}-2x+5)&=&(-1)^{4}-2(-1)+5\\&=&1+2+5\\&=&8\end{array}

3. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ conjugate มาช่วยครับผม

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{3-\sqrt{x}}{9-x}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{(3-\sqrt{x})\cdot (3+\sqrt{x})}{(9-x)\cdot (3+\sqrt{x})}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{(9-x)}{(9-x)(3+\sqrt{x})}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 9}\frac{1}{3+\sqrt{x}}\\&=&\frac{1}{3+\sqrt{9}}\\&=&\frac{1}{6}\end{array}

4. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{3}-64}{x-4}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับผลต่างกำลังสามมาช่วยนะคับผม เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{3}-64}{x-4}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(x^{2}+4x+16)}{(x-4)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}(x^{2}+4x+16)\\&=&16+16+16\\&=&48\end{array}

5. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{|x-2|}{x-2}\)

วิธีทำ  การหาลิมิตของฟังก์ชันที่ติดค่าสัมบูรณ์ให้แยกหาโดยแยกหาเป็น การหาลิมิตทางซ้าย และการหาลิมิตทางขวาครับผม ไปดูวิธีการหากันเลย

หาลิมิตทางซ้าย

จะเห็นได้ว่า x เข้าสู่ 2 ทางด้านซ้าย ดังนั้นค่า x จะน้อยกว่า 2 ดังนั้น \(|x-2|=-(x-2)\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{|x-2|}{x-2}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-1}}\frac{-(x-2)}{(x-2)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}-1\\&=&-1\end{array}

หาลิมิตทางขวา

จะเห็นได้ว่า x เข้าสู่ 2 ทางด้านขวา ดังนั้น x จะมากว่า 2 ดังนั้น \(|x-2|=(x-2)\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{|x-2|}{x-2}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{(x-2)}{(x-2)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}1\\&=&1\end{array}

จะเห็นได้ว่าลิมิตทางซ้าย และลิมิตทางขวา ไม่เท่ากัน ดังนั้น ข้อนี้ต้องตอบว่า หาลิมิตไม่ได้