การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณที่ประกอบด้วยตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป และตัวแปรเหล่านั้นมีความเกี่ยวข้องกัน เช่น รายได้และรายจ่ายของครอบครัว ความเกี่ยวข้องกันของตัวแปรโดยที่ค่าของตัวแปรหนึ่งขึ้นอยู่กับค่าของอีกตัวแปรหนึ่ง คือรายจ่ายขึ้นอยู่กับรายได้ การณีนี้จะเรียกตัวแปรที่แสดงรายได้ว่า ตัวแปรอิสระ (independent variables) เรียกตัวแปรที่แสดงรายจ่ายว่า ตัวแปรตาม (dependent variables) 

จุดประสงค์ของการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลสองชุด เพื่อใช้สมการความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน x และ y ในการพยากรณ์ค่าของตัวแปรตาม เมื่อทราบค่าของตัวแปรอิสระ

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่ประกอบด้วยสองตัวแปร อาจแบ่งเป็นสองชนิดใหญ่ คือ

1) ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรง มีสมการทั่วไปในรูป \(Y=a+bX\)

และสมการปกติคือ

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}=an+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\quad\cdots (1)\]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\quad\cdots (2)\]

***สมการปกตินี้เอาไว้เพื่อใช้ในการหาค่าคงที่ \(a,b\) เมื่อเราได้ค่า \(a,b\) จากสมการปกตินี้แล้ว เราก็เอาไปแทนค่าในสมการทั่วไปคือ \(Y=a+bX\) ก็จะสามารถคำนวณหาค่าตัวแปรตามเมื่อกำหนดตัวแปรอิสระมาให้ ดูตัวอย่างในคลิปนะ

2) ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟไม่เป็นเส้นตรง ได้แก่

-ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นรูปพาราโบลา มีการทั่วไปคือ \(Y=a+bX+cX^{2}\)

สมกการปกติคือ

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}=an+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+c\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\quad\cdots (1)\]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+c\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}\quad\cdots (2)\]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}y_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+c\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}\quad\cdots (3)\]

*** สมการปกตินี้เอาไว้หาค่า \(a,b,c\) ในกรณีที่ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลเป็นกราฟพาราโบลา เมื่อได้ค่าของ \(a,b,c\) แล้วก็นำไปแทนค่าใน \(Y=a+bX+cX^{2}\) เพื่อหาค่าตัวแปรตาม เมื่อกำหนดตัวแปรอิสระให้

-ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นรูปเอกซ์โพเนนเชียล มีสมการในรูป \(Y=ab^{x}\)หรือ \(\log Y=\log a+X\log b\)

มีสมการปกติคือ

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log y_{i}=n\log a+(\log b)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\quad\cdots (1)\]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\log y_{i}=(\log a)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+(\log b)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\quad\cdots (2)\]

*** สมการปกตินี้เอาไว้หาค่า \(a,b\) ในกรณีที่ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลเป็นกราฟเอ็กซ์โพเนนเชียล เมื่อได้ค่าของ \(a,b\) แล้วก็นำไปแทนค่าในสมการ \(Y=ab^{X}\) หรือ \(\log Y=\log a+X\log b\) เพื่อหาค่าตัวแปรตามเมื่อกำหนดตัวแปรอิสระมาให้

ดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล

ตัวอย่าง  จะมีตัวอย่างเพิ่มขึ้นเรื่อยๆนะครับผม มาดูข้อนี้กันเลย

จากการสอบถามครอบครัว \(n\) ครอบครัว ที่มีรายได้ต่อเดือนตั้งแต่ 5,000 บาท ถึง 20,000 บาท เกี่ยวกับรายจ่ายต่อเดือน ปรากฎผลดังนี้

รายได้ (หน่วยเป็นพันบาท) :x	\(x_{1}\)	\(x_{2}\)	\(\cdots\)	\(x_{n}\)
รายจ่าย (หน่วยเป็นพันบาท):y	\(x_{1}\)	\(x_{2}\)	\(\cdots\)	\(x_{n}\)

และ \(\bar{x}=12,\bar{y}=5\) โดยที่สมการเส้นตรงซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรายจ่าย \((y_{i})\) และรายได้ \((x_{i})\) ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,-3)\) ถ้าครอบครัวหนึ่งมีรายได้ 15,000 บาท แล้วจะมีรายจ่ายโดยประมาณเท่าไร

วิธีทำ จากที่เรารู้ว่า เส้นตรงนี้ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,-3)\) ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการเป็น \(Y=mx-3\) นั่นก็คือ ถ้าเราเอามาเทียบกับสมการนี้  \(Y=a+bX\)  เราจึงได้ว่า \(a=-3\) นั่นเองครับ ต่อไปเราก็หาค่า \(b\) ครับผม ซึ่งการหาค่า \(b\) เราสามารถหาได้จากสมการปกติ คือ 

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}=an+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\quad\cdot (1)\]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\quad \cdots (2)\]

ต่อไป เราจะหา \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}\) 

จาก \(\bar{x}=15\)

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\\12&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}&=&12n\end{array}

จากตรงนี้เรารู้เลยว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}=5n\)

เอาสิ่งที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) ครับ จะได้

\begin{array}{lcl}5n&=&-3n+b12n\\5n+3n&=&b12n\\8n&=&b12n\\\frac{8n}{12n}&=&b\\b&=&\frac{2}{3}\end{array}

ตอนนี้ เราได้ \(a=-3\) และ \(b=\frac{2}{3}\) เอาค่าที่ได้ไปแทนค่าในสมการ \(Y=a+bX\) ครับจะได้  \(Y=-3+\frac{2}{3}X\)

ที่นี้โจทย์ถามว่า ถ้าครอบครัวมีรายได้ 15,000 บาท แล้วจะมีรายจ่ายโดยประมาณเท่าใด เราต้องแทน \(X=15\) ลงไปในสมการ \(Y=-3+\frac{2}{3}X\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}Y&=&-3+\frac{2}{3}(15)\\Y&=&7\end{array}

นั่นก็คือ รายได้ 15,000 บาท  มีรายจ่าย 7,000 บาท ครับผม ค่อยๆอ่านดูนะ ไม่เข้าใจก็ถามได้ครับผม

อ่านแล้วอาจจะเข้าใจยากหน่อย ศึกษาหาความรู้เพิ่มเติมตามหนังสือ สสวท.ได้ครับ และไปดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดตามคลิปผมด้านล่างได้ครับผม