ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน  จะมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันบนจุด \(x=c\) ซึ่งผมเขียนไว้เยอะแล้วครับสามารถหาอ่านตามลิงค์นี้ครับผม 

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ลิมิตและความต่งอเนื่อ

แต่วันนี้เราจะมาเรียนเกี่ยวกับความต่อเนื่องบนช่วงกันครับผม เรามาดูนิยามความต่อเนื่องบนช่วงกันก่อนนะครับแล้วค่อยไปดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับผม

นิยาม

1. \(f\) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วงเปิด \((a,b)\) ก็ต่อเมื่อ \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)

2. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\) ก็ต่อเมื่อ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)\)

3. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \((a,b]\) ก็ต่อเมื่อ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆ จุดในช่วง \((a,b)\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=f(b)\)

4. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,)\) ก็ต่อเมื่อ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\)

ต่อไป ไปดูแบบฝึกหัดความต่อเนื่องบนช่วงกันครับผม

ตัวอย่าง  กำหนด \(f(x)=\sqrt{16-x^{2}}\) จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)

วิธีทำ  เขาให้เราแสดงว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)  นั่นคือ เราต้องแสดงตามนิยามข้อ 2. ข้างบนคือ ตามนี้ครับ

2. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\) ก็ต่อเมื่อ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)\)

ก็คือเราต้องแสดงให้เข้าเห็นสองข้อคือ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)  วิธีทำ ก็คือ

กำหนดให้ \(c\in (-4,4)\) จะได้ว่า \(f(c)=\sqrt{16-c^{2}}\) ซึ่งจะเห็นว่า \(f(c)\) หาค่าได้แน่นอนข้างในรูทไม่ติดลบแน่นอนดังนั่น \(f(c)\) ต่อเนื่องทุกจุดในช่วง \((-4,4)\)

ต่อไปแสดงให้เข้าเห็นว่า

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}} f(x)=f(4)\)

จะแสดงนี้ก่อนนะ

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\) ซึ่งจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}\sqrt{16-x^{2}}\\&=&\sqrt{16-(-4)^{2}}\\&=&0\quad \cdots (1)\end{array}

อีกอัน

\begin{array}{lcl}f(-4)=\sqrt{16-(-4)^{2}}=0\quad\cdots (2)\end{array}

จะเห็นได้ว่า \((1)=(2)\) ดังนั้น  \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\)

 ต่อไปจะแสดงนี่

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=f(4)\) ซึ่งจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}\sqrt{16-x^{2}}\\&=&\sqrt{16-(4)^{2}}\\&=&0\quad \cdots (1)\end{array}

อีกอัน

\begin{array}{lcl}f(4)=\sqrt{16-(4)^{2}}=0\quad\cdots (2)\end{array}

จะเห็นได้ว่า \((1)=(2)\) ดังนั้น  \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=f(4)\)

เราได้แสดงให้เห็นตามนิยามแล้ว ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)