วันนี้เราจะมาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มันคูณกันอยู่หรือที่หลายคนชอบเรียกว่า ดิฟผลคูณ  ซึ่งสูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่คูณกันอยู่ก็คือ ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพันธ์ได้ \((fg)^{\prime}=f(x)g^{\prime}(x)+g(x)f^{\prime}(x)\)  หรือที่ทุกคนชอบท่องจำ ก็คือ ดิฟผลคูณเท่ากับ หน้าดิฟหลัง +  หลัก ดิฟหน้า  จริงๆสูตรนี้พิสูจน์ไม่ยากนะถ้าใครอยากรู้ว่าพิสูจน์อย่างไร ก็ลองๆค้นหาดูใน google มีแน่นอน เรามาเริ่มทำแบบฝึกหัดดิฟผลคูณกันเลยครับผม  

***อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(y=f(x)\) ใดๆ สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \(f^{\prime}(x)\) หรือ \(\frac{dy}{dx}\) หรือ \(y^{\prime}\)

นอกจากนั้นมีตัวอย่างเกี่ยวกับการหาอนุพันธ์มากมาย ลองๆอ่านตามลิงค์เลยครับ

• ดิฟผลหาร
• ดิฟผลคูณ
• โจทย์การดิฟ ดิฟไส้ใน ดิฟผลคูณ ดิฟผลหาร กฎลูกโซ่
• อนุพันธ์อันดับสูง
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
• การหาอนุพันธ์ฟังก์ชันโดยนิยาม
• สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน,สูตรดิฟ
• การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน, การดิฟ
• แบบฝึกหัดเรื่องอนุพันธ์
• การดิฟ

1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(y=(4x-x^{2})(x^{2}+3)\)

วิธีทำ  จากโจทย์เขาให้เราหาอนุพันธ์ของ \(y=(4x-x^{2})(x^{2}+3)\) ซึ่งจะเห็นได้ว่ามีก้อนสองก้อนคูณกันอยู่ ดังนั้นเราต้องดิฟผลคูณ ซึ่งต้องใช้สูตรดิฟผลคูณ คือ หน้าดิฟหลัง + หลังดิฟหน้า

หน้า ก็คือ \(4x-x^{2}\)

หลังก็คือ \(x^{2}+3)\)

เอาละเริ่มทำกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}y&=&(4x-x^{2})(x^{2}+3)\\\frac{dy}{dx}&=&(4x-x^{2})\frac{d}{dx}(x^{2}+3)+(x^{2}+3)\frac{d}{dx}(4x-x^{2})\\&=&(4x-x^{2})(2x+0)+(x^{2}+3)(4-2x)\\&=&(4x-x^{2})(2x)+(x^{2}+3)(4-2x)\\&=&(8x^{2}-2x^{3})+(4x^{2}+12-8x^{3}-6x)\\&=&-10x^{3}+12x^{2}-6x+12\end{array}

---

2. กำหนดให้ \(y=(2x^{4}-1)(5x^{3}+6x)\) จงหา \(\frac{dy}{dx}\)

วิธีทำ  เริ่มทำเลยครับผม

\begin{array}{lcl}y&=&(2x^{4}-1)(5x^{3}+6x)\\\frac{dy}{dx}&=&(2x^{4}-1)\frac{d}{dx}(5x^{3}+6x)+(5x^{3}+6x)\frac{d}{dx}(2x^{4}-1)\\&=&(2x^{4}-1)(15x^{2}+6)+(5x^{3}+6x)(8x^{3}-0)\\&=&30x^{6}-15x^{2}+12x^{4}-6+40x^{6}+48x^{4}\\&=&70x^{6}+60x^{4}-15x^{2}-6\end{array}

---

3. กำหนด \(f(x)=(2x^{3}-3x^{2})(\frac{1}{4}x^{4}-5)\) จงหาค่าของ \(f^{\prime}(1)\)

วิธีทำ เริ่มทำเลย ข้อนี้ก็คือให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ที่ x=1 นั่นเองครับผม

\begin{array}{lcl}f(x)&=&(2x^{3}-3x^{2})(\frac{1}{4}x^{4}-5)\\f^{\prime}(x)&=&(2x^{3}-3x^{2})\frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^{4}-5)+(\frac{1}{4}x^{4}-5)\frac{d}{dx}(2x^{3}-3x^{2})\\&=&(2x^{3}-3x^{2})(\frac{4}{4}x^{3}-0)+(\frac{1}{4}x^{4}-5)(6x^{2}-6x)\\f^{\prime}(1)&=&(2(1)^{3}-3(1)^{2})(1^{3}-0)+(\frac{1}{4}1^{4}-5)(6(1^{2})-6(1))\\&=&(-1)(1)+(\frac{-19}{4})(0)\\&=&-1\quad \underline{Ans}\end{array}