สำหรับการหาผลบวกอนุกรมถ้าอนุกรมที่โจทย์ให้มาเป็นอนุกรมเรขาคณิต เราก็แค่พิจาณาค่าค่าของ \(r\) หรือว่าอัตราสวนร่วม

ถ้า \(|r|<1\) อนุกรมเรขาคณิตนั้นจะเป็นอนุกรมลู่เข้า (convergent series) และสามารถหาผลบวกได้จาก \(\frac{a_{1}}{1-r}\)

ถ้า \(|r|\geq 1\) อนุกรมเรขาคณิตนั้นจะเป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series) และไม่มีผลบวกครับ

 

แต่ถ้าอนุกรมนั้นเป็นอนุกรมเลขคณิตจะเป็นอนุกรมลู่ออกหมด ยกเว้นอนุกรมค่าคงตัว 0 ก็คือ 0+0+0+... เป็นอนุกรมเลขคณิตหนึ่งเดียวที่เป็นอนุกรมลู่เข้า นอกนั้นลู่ออกหมดเลย

แต่ในหัวข้อนี้ ผมจะพาทำแบบฝึกหัดหาผลบวกอนุกรมเรขาคณิตดัดแปลง ก็คือต้องดัดแปลงก่อนแล้วค่อยหาผลบวกได้ครับ ซึ่งวิธีการดัดแปลงมันก็มีวิธีดังนี้

1. อนุกรมที่โจทย์ให้มาตั้งเป็นสมการที่ 1 ก่อน

2. ไปดูอนุกรมที่โจทย์ในข้อ 1. จะเห็นว่าในอนุกรมนั้นจะมีอนุกรมเรขาคณิตแฝงอยู่ และให้หาค่า \(r\) ออกมาให้ได้

3. เมื่อได้ค่า \(r\) แล้ว ให้นำค่า \(r\) ที่ได้มานี้ไปคูณสมการที่ 1 ในข้อที่ 1. คูณเสร็จแล้วให้เป็นสมการที่ 2 

4. ต่อไปนำสมการที่ 1 ลบ สมการที่ 2 พอลบเสร็จแล้วมันจะเป็นอนุกรมเรขาคณิตแบบเพียวๆ ไม่มีอะไรมาผสมอีกแล้ว

5. เมื่อเป็นอนุกรมเรขาคณิตแบบเพียวๆ ไม่มีอะไรมาผสมแล้ว ก็หาผลบวกของมันต่อไปครับ

เดี่ยวไปดูตัวอย่างประกอบกัน อาจจะมองยากหน่อยหัวข้อนี้

1. จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้

\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+\cdots\)

วิธีทำ เราจะเห็นว่าอนุกรมนี้ ไม่ใช่อนุกรมเรขาคณิต แต่เราต้องแปลงให้มันเป็นอนุกรมเรขาคณิตก่อนแล้วค่อยหาผลบวกครับ

กำหนดให้

\(S_{\infty}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}\cdots\quad (1)\)

นำ \(\frac{1}{2}\) คูณเข้าสมการ \((1)\) จะได้

\(\frac{1}{2} S_{\infty}=\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{7}{32}\cdots\quad (2)\)

นำ \((1)-(2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{1}{2}S_{\infty}&=&\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+\cdots\\\frac{1}{2}S_{\infty}&=&\frac{1}{2}+\left[\color{red}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots}\right]\quad (3)\end{array}

จะเห็นได้ว่า อนุกรมที่ผมพิมพ์เป็นสีแดงในสมการ \((3)\) นั้นเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่ \(r=\frac{1}{2}\) และ \(a_{1}=\frac{1}{2}\) และเนื่องจากค่า \(|r|=|\frac{1}{2}|<1\) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าสามารถหาผลบวกได้จากสูตร \(\frac{a_{1}}{1-r}\) เราเริ่มหาผลบวกกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\color{red}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots }&=&\frac{a_{1}}{1-r}\\&=&\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\\&=&1\end{array}

นำค่าที่เราได้นี้ไปแทนในสมการที่ \((3)\)จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{1}{2} S_{\infty}&=&\frac{1}{2}+1\\\frac{1}{2} S_{\infty}&=&\frac{3}{2}\\S_{\infty}&=&3\end{array}

ดังนั้นข้อนี้ ตอบ 3 ครับ

---

2. จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้

\(\frac{1}{4}\log 2+\frac{1}{8}\log 4+\frac{1}{16}\log 8+\frac{1}{32}\log 16+\cdots\)

วิธีทำ เอาอนุกรมที่โจทย์กำหนดมาให้มาจัดรูปก่อนครับ จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{1}{4}\log 2+\frac{1}{8}\log 4+\frac{1}{16}\log 8+\frac{1}{32}\log 16+\cdots&=&\frac{1}{4}\log 2+\frac{1}{8}\log 2^{2}+\frac{1}{16}\log 2^{3}+\frac{1}{32}\log 2^{4}+\cdots\\&=&\frac{1}{4}\log 2+\frac{2}{8}\log2 +\frac{3}{16}\log 2+\frac{4}{32}\log 2+\cdots\\&=&\log 2\left(\color{red}{\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots } \right)\quad (1)\end{array}

พิจารณาการหาผลบวกของอนุกรมนี้ \(\color{red}{\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots}\)

กำหนดให้ \(S_{\infty}=\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots \quad (2)\)

นำ \(\frac{1}{2}\) คูณสมการที่ 2 จะได้

\(\frac{1}{2} S_{\infty}=\frac{1}{8}+\frac{2}{16}+\frac{3}{32}+\frac{4}{64}+\cdots \quad (3)\)

นำสมการที่ \((2)-(3)\) จะได้

\(\frac{1}{2} S_{\infty}=\color{blue}{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots}\quad (4)\)

จะเห็นว่าอนุกรมที่ผมพิมพ์เป็นสีน้ำเงินเป็นอนุกรมเรขาคณิต มี  \(a_{1}=\frac{1}{4}\) และ \(r=\frac{1}{2}\) ซึ่งเราสามารถหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตนี้โดยใช้สูตร \(\frac{a_{1}}{1-r}\) ซึ่งได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}}\\&=&\frac{1}{4}\times 2\\&=&\frac{1}{2}\end{array}

เอาค่านี้ไปแทนในสมการ \((4)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{1}{2} S_{\infty}&=&\frac{1}{2}\\S_{\infty}&=&1\end{array}

ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\(\color{red}{\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots}=1\)  แล้วค่านี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{1}{4}\log 2+\frac{1}{8}\log 4+\frac{1}{16}\log 8+\frac{1}{32}\log 16+\cdots&=&\frac{1}{4}\log 2+\frac{1}{8}\log 2^{2}+\frac{1}{16}\log 2^{3}+\frac{1}{32}\log 2^{4}+\cdots\\&=&\frac{1}{4}\log 2+\frac{2}{8}\log2 +\frac{3}{16}\log 2+\frac{4}{32}\log 2+\cdots\\&=&\log 2\left(\color{red}{\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots } \right)\\&=&\log 2\times 1\\&=&\log 2\end{array}

ข้อนี้ตอบ \(\log 2\) นั่นเองครับ

---

3. กำหนดให้ \(\color{red}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5cn^{3}+3n^{2}+5c}{(n+1)^{3}}}=\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots}\) 

จงหาค่าของ \(c\)

วิธีทำ เดี่ยวเราจะหาผลบวกของอนุกรมอนันต์นี้ก่อนนะคับ   \(\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots}\) 

จะเห็นว่าอนุกรมอนันต์นี้เป็นอนุกรมเรขาคณิต ที่มี \(a_{1}=1\) และ \(r=\frac{1}{2}\) จะเห็นว่า \(|r|=|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}<1\) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า ซึ่งสามารถหาผลบวกได้จากสูตรนี้ \(\frac{a_{1}}{1-r}\) ซึ่งจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\&=&2\end{array}

ต่อไปพิจารณาหาค่า \(\color{red}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5cn^{3}+3n^{2}+5c}{(n+1)^{3}}}\)

จากลิมิตที่เขาให้เราหาจะเห็นว่า ตัวส่วนเป็นพหุนามดีกรี 3   และตัวเศษก็เป็นพหุนามดีกรี 3 จะเห็นว่าดีกรีของตัวส่วนเท่ากับดีกรีของตัวเศษดังนั้นลิมิตหาได้จากสัมประสิทธิ์ของตัวที่มีดีกรีสูงสุดของตัวเศษ หารด้วย สัมประสิทธิ์ที่มีดีกรีสูงสุดของตัวส่วน ซึ่งก็คือ \(\frac{5c}{1}\) ใครที่ยังหาลิมิตไม่ได้ให้ไปคลิปที่นี่ก่อนคับ ลิมิตของลำดับอนันต์ ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\[\color{red}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5cn^{3}+3n^{2}+5c}{(n+1)^{3}}=5c}\]

 ฉะนั้นจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}5c&=&2\\c&=&\frac{2}{5}\quad\underline{Ans}\end{array}

---

4.จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ \(\frac{2}{7}+\frac{4}{7^{2}}+\frac{6}{7^{3}}+\frac{8}{7^{4}}+\cdots +\frac{2n}{7^{n}}+\cdots\)

วิธีทำ

กำหนดให้

\(S_{\infty}=\frac{2}{7}+\frac{4}{7^{2}}+\frac{6}{7^{3}}+\frac{8}{7^{4}}+\cdots +\frac{2n}{7^{n}}+\cdots\quad (1)\)

นำ \(\frac{1}{7}\) คูณเข้า \((1)\) จะได้

\(\frac{1}{7}S_{\infty}=\frac{2}{7^{2}}+\frac{4}{7^{3}}+\frac{6}{7^{4}}+\frac{8}{7^{5}}+\cdots\quad (2)\)

ต่อไปนำ \((1)-(2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{6}{7} S_{\infty}&=&\color{red}{\frac{2}{7}+\frac{2}{7^{2}}+\frac{2}{7^{3}}+\frac{2}{7^{4}}+\frac{2}{7^{5}}+\cdots}\quad (3)\end{array}

จะเห็นว่าอนุกรมที่ผมพิมพ์สีแดงด้านบนคือ  \(\color{red}{\frac{2}{7}+\frac{2}{7^{2}}+\frac{2}{7^{3}}+\frac{2}{7^{4}}+\frac{2}{7^{5}}}\)  เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(r=\frac{1}{7}\)  และ \(|r|=|\frac{1}{7}|=\frac{1}{7}<1\) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตนี้เป็นอนุกรมลู่ออก ซึ่งสามารถหาผลบวกได้จากสูตร \(\frac{a_{1}}{1-r}\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{a_{1}}{1-r}&=&\frac{\frac{2}{7}}{1-\frac{1}{7}}\\&=&\frac{2}{7}\times \frac{7}{6}\\&=&\color{blue}{\frac{1}{3}}\end{array}

เอาค่านี้ \(\color{blue}{\frac{1}{3}}\) ไปแทนในสมการ \((3)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{6}{7} S_{\infty}&=&\frac{1}{3}\\S_{\infty}&=&\frac{1}{3}\times \frac{7}{6}\\S_{\infty}&=&\frac{7}{18}\end{array}

---

5. จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์

\(-1+\frac{3}{2}-\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+\cdots\)

วิธีทำ

กำหนดให้

\(S_{\infty}=-1+\frac{3}{2}-\frac{5}{4}+\frac{7}{8}-\frac{9}{16}+\frac{11}{32}+\cdots\quad (1)\)

นำ \(-\frac{1}{2}\) คูณสมการ \((1)\) จะได้

\(-\frac{1}{2}  S_{\infty}=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{8}-\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+\cdots\quad (2)\)

ต่อไปนำ \((1)-(2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{3}{2} S_{\infty}&=&-1+\frac{2}{2}-\frac{2}{4}+\frac{2}{8}-\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+\cdots\\&=&0-\frac{2}{4}+\frac{2}{8}-\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+\cdots \\&=&\color{red}{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\quad (3)}\end{array}

ตรงอนุกรมที่ผมพิมพ์สีแดงเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี \(a_{1}=-\frac{1}{2}\) และ \(r=-\frac{1}{2}\) จะเห็นว่า 

\(|r|<1\) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า สามารถหาผลบวกได้จากสูตร \(\frac{a_{1}}{1-r}\) เริ่มหาผลบวกเลย

\begin{array}{lcl}\color{red}{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots}&=&\frac{a_{1}}{1-r}\\&=&\frac{-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}\\&=&\color{pink}{-\frac{1}{3}}\end{array}

นำค่าที่ผมพิมพ์สีชมพูไปแทนในสมการ \((3)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{3}{2} S_{\infty}&=&\color{pink}{-\frac{1}{3}}\\S_{\infty}&=&\color{pink}{-\frac{2}{9}}\end{array}

 

***อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ที่ลิงค์นี้คับ ผลบวกของอนุกรมอนันต์