ในกรณีที่เรามีข้อมูลอยู่ 2 ชุดและเราต้องการหาความแปรปรวนรวมของข้อมูลทั้ง 2 ชุดนั้นเราสามารถหาความแปรปรวนรวมได้ตามสูตรต่อไปนี้
1. กรณีที่ ข้อมูลทั้ง 2 ชุดนั้นมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่เท่ากัน สามารถหาความแปรปรวนรวมได้จากสูตร
\[S.D._{รวม}^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{iรวม}^{2}}{N_{รวม}}-(\overline{x}_{รวม})^{2}\]
2. กรณีที่ ข้อมูลทั้ง 2 ชุดนั้นมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน สามารถหาความแปรปรวนรวมได้จากสูตร
\[S.D._{รวม}^{2}=\frac{(S.D._{1}^{2}\times N_{1})+(S.D._{2}^{2}\times N_{2})}{N_{1}+N_{2}}\]
เรามาดูตัวอย่างการทำโจทย์เกี่ยวกับความแปรปรวมรวมกันเลยคับ
1. กำหนดข้อมูล 2 ชุด มีค่าต่างๆดังนี้
| N | \(\overline{x}\) | \(S.D.\) | |
| ชุดที่ 1 | 8 | 3 | |
| ชุดที่ 2 | 10 | 2 |
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล 2 ชุดนี้เท่ากับเท่าใด
จากตารางข้อมูลจะเห็นว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 2 ชุดไม่เท่ากัน ดังนั้นเราสามารถนำสูตรในการหาความแปรปรวนรวมมาใช้ในการหา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล 2 ชุดนี้ได้
\[S.D._{รวม}^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{iรวม}^{2}}{N_{รวม}}-(\overline{x}_{รวม})^{2}\]
เราเริ่มหาข้อมูลแต่ละตัวก่อนเพื่อเอาไปแทนค่าในสูตรด้านบน
\begin{array}{lcl}\overline{x}_{รวม}&=&\frac{(8\times 10)+(10\times 15)}{10+15}=9.2\end{array}
ดังนั้น
\(\overline{x}_{รวม}^{2}=(9.2)^{2}=84.64\)
จากข้อมูลชุดที่ 1
ได้ว่า \(S.D.=3\) ดังนั้น \(S.D.^{2}=9\) นำไปแทนค่าในสูตรด้านล่างเพื่อหาค่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\)
ได้ว่า
\begin{array}{lcl}S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}-(\overline{x})^{2}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{10}-(8^{2})\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&730\end{array}
จากข้อมูลชุดที่ 2
ได้ว่า \(S.D.=2\) ดังนั้น \(S.D.^{2}=4\) นำไปแทนค่าในสูตรด้านล่างเพื่อหาค่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\)
ได้ว่า
\begin{array}{lcl}S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}-(\overline{x})^{2}\\4&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{15}x_{i}^{2}}{15}-(10^{2})\\\displaystyle\sum_{i=1}^{15}x_{i}^{2}&=&1560\end{array}
จากข้อมูลชุดที่ 1 และข้อมูลชุดที่ 2 จะได้ว่า
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{25}x_{iรวม}^{2}=730+1560=2290\)
เมื่อเราได้ข้อมูลที่จำเป็นหมดแล้ว เราก็นำข้อมูลเหล่านั้นไปแทนค่าในสูตรได้เลย จะได้
\begin{array}{lcl}S.D._{รวม}^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{iรวม}^{2}}{N_{รวม}}-(\overline{x}_{รวม})^{2}\\&=&\frac{2290}{25}-84.64\\&=&6.96\end{array}
นั่นก็คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล 2 ชุดนี้คือ
\(S.D.=\sqrt{6.96}\)
2. นักเรียนโรงเรียนแห่งหนึ่งมี 90 คน แบ่งนักเรียนออกเป็น 3 กลุ่มๆ ละเท่าๆกัน นำนักเรียนมาชั่งน้ำหนัก ปรากฏว่าค่าเฉลี่ยน้ำหนักของนักเรียนทั้ง 3 กลุ่มเท่ากันหมด คือ 40 กิโลกรัม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ำหนักน้ำหนักของนักเรียนกลุ่มที่ 1,2,3 เป็น 1, 1.1 และ 2 กิโลกรัมตามลำดับ ความแปรปรวนของน้ำหนักของนักเรียน 90 คน เท่ากับกี่กิโลกรัม2
วิธีทำ จะเห็นได้ว่าค่าเฉลี่ยของน้ำหนักของข้อมูล 3 ชุดนี้เท่ากันหมด ดังนั้นในการหาความแปรปรวนรวมของข้อมูลชุดนี้เราสามารถใช้สูตรนี้ได้เลย
\[S.D._{รวม}^{2}=\frac{(S.D._{1}^{2}\times N_{1})+(S.D._{2}^{2}\times N_{2})}{N_{1}+N_{2}}\]
เริ่มทำกันเลย แต่ระวังตรงนี้หน่อยนะก็คือ
S.D. ของนักเรียนกลุ่มที่ 2 เมื่อค่าเท่ากับ 1.1 ดังนั้น S.D.2ของนักเรียนกลุ่มที่ 2 จึงเท่ากับ \((1.1)^{2}=1.21\)
\begin{array}{lcl}S.D._{รวม}^{2}&=&\frac{(1^{2}\times 30)+(1.1^{2}\times 30)+(2^{2}\times 30)}{90}\\&=&2.07\quad kg^{2}\end{array}
3. พนักงานขายของประจำร้านอาหารแห่งหนึ่งมีชาย 20 คน หญิง 10 คน อายุเฉลี่ยของพนักงานชายและหญิงเท่ากันคือ 17 ปี ความแปรปรวนของอายุของพนักงานชายและหญิงเป็น 4 และ 1 ปี2 ตามลำดับ ความแปรปรวนของอายุของพนักงานทั้งหมดเท่ากับกีปี2
วิธีทำ ขอนี้เขาให้หาความแปรปรวนรวมของอายุพนักงานชายและหญิง ซึ่งเราจะเห็นว่าอายุเฉลี่ยของพนักงานชายและหญิงเท่ากันคือ 17 ปี ดังนั้นเราสามารถหาความแปรปรวนรวมได้จาก
\[S.D._{รวม}^{2}=\frac{(S.D._{1}^{2}\times N_{1})+(S.D._{2}^{2}\times N_{2})}{N_{1}+N_{2}}\]
เริ่มแทนค่าลงไปเลย จะได้
\begin{array}{lcl}S.D._{รวม}^{2}&=&\frac{(20\times 4)+(10\times 1)}{20+10}\\&=&\frac{90}{30}\\&=&3\end{array}
ดังนั้น ความแปรปรวนของอายุพนักงานทั้งหมดคือ 3 ปี2
สามารถหาค้นหาอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำโจทย์เกี่ยวกับความแปรปรวนตามลิงค์ด้านล้างเลยครับ ผมเขียนไว้เยอะมากหลาบแล้ว
- เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด
- โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- แบบฝึกหัดการหาความแปรปรวนของข้อมูลหลายชุด
- แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด
สนับสนุนเว็บไซต์