วันนี้เรามาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตรนะครับ เพราะว่าบางทีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้บทนิยามมันอาจจะดูยุ่งยากเกินไปครับ ดังนั้นเราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตรกันดีกว่าครับ ผมจะพิมพ์สูตรให้และมีแบบฝึกหัดประกอบ ก็อ่านสูตรและค่อยๆทำตามแล้วดูเฉลยที่ผมทำให้ประกอบครับ พยายามฝึกฝนและหาข้อสอบที่เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยมาทำเพิ่มครับ เอาละเรามาดูการหาอนุพันธ์กันเลยครับ

สูตร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1) ถ้า \(f(x)=c\)  เมื่อ \(c\)  เป็นค่าคงตัวแล้ว  \(f^{\prime}(x)=0\)

2) ถ้า \(f(x)=x\)  แล้ว  \(f^{\prime}(x)=1\)

3) ถ้า \(f(x)=x^{n}\)  แล้ว \(f^{\prime}(x)=nx^{n-1}\)

4) ถ้า \(f\) และ \(g\)  หาอนุพ้นธ์ได้ที่ \(x\)  แล้ว  \((f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)

5) ถ้า \(f\) และ \(g\)  หาอนุพ้นธ์ได้ที่ \(x\)  แล้ว  \((f-g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\)

6) ถ้า \(c\) เป็นค่าคงตัว  และ \(f\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x)\)  แล้ว  \(cf)^{\prime}(x)=c(f^{\prime}(x)\)  พูดง่ายสูตรข้อนี้คือดึงค่าคงตัวออกก่อนแล้วค่อยหาอนุพันธ์หรือดิฟ

7) ถ้า \(f\)  และ \(g\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\)  แล้ว  \((fg)^{\prime}(x)=f(x)g^{\prime}(x)+g(x)f^{\prime}(x)\) สูตรดิฟผลคูณที่เราชอบท่องกันว่าหน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า

8) ถ้า \(f\)  และ \(g\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\)  แล้ว  \((\frac{f}{g})^{\prime}=\frac{g(x)f^{\prime}(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^{2}}\)  ที่เราท่องกันว่าล่างดิฟบนลบบนดิฟล่างส่วนด้วยล่างยกกำลังสอง

นี่คือสูตรทั้งหมดสำหรับการหาอนุพันธ์ครับ  ต่อไปเราไปดูแบบฝึกหัดการหาอนนุพันธ์กันดีกว่าครับหรือมาฝึกทำโจทย์การหาอนุพันธ์กันดีกว่าครับทุกคน

1.แบบฝึกหัดจงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

\(1)\quad y=-3\)

วิธีทำ  ข้อนี้เป็นฟังก์ชันค่าคงตัวดังนั้นดิฟค่าคงตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ใช้สูตรข้อที่ 1)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(-3)\\&=&0\end{array}


\(2)\quad y=x^{3}+\frac{x}{3}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ใช้สูตรข้อที่ 4) ก่อนและค่อยใช้สูตรข้ออื่นอีกต่อไปครับ มองให้ออกนะใช้สูตรข้อไหนบ้าง ครับ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{3}+\frac{x}{3})\\&=&\frac{d}{dx}(x^{3})+\frac{d}{dx}(\frac{x}{3})\\&=&3x^{3-1}+\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x)\\&=&3x^{2}+\frac{1}{3}\end{array}


\(3) \quad y=x^{3}-3x+7\)

วิธีทำ  ข้อนี้ก็คือใช้สูตรข้อ 4) ข้อ5)  ก่อนและค่อยใช้สูตรข้ออื่นอีกต่อไปครับ มองให้ออกนะใช้สูตรข้อไหนบ้าง

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{3}-3x+7)\\&=&\frac{d}{dx}(x^{3})-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(7)\\&=&3x^{3-1}-3+0\\&=&3x^{2}-3\end{array}


\(4)\quad  y=-5x^{2}+x+2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&-5\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(x)+2\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{2}}-\frac{d}{dx}(\frac{1}{\sqrt{x}}\\&=&(-5)(2)x^{2-1}+1+2(\frac{1}{2})x^{\frac{1}{2}-1}-\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\\&=&-10x+1+x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\\&=&-10x+1+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\&=&-10x+1+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x^{3}}}\end{array}


\(5)\quad s=4t^{5}-3t^{2}+t-8\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\frac{ds}{dt}&=&\frac{d}{dt}(4t^{5}-3t^{2}+t-8)\\&=&4\frac{d}{dt}(t^{5})-3\frac{d}{dt}(t^{2})+\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(8)\\&=&(4)(5)t^{5-1}-(3)(2)t^{2-1}+1-0\\&=&20t^{4}-6t+1\end{array}


\(6)\quad s=(4t^{2}+t-1)(t+2)\)

วิธีทำ จะเห็นว่า \(s\)  มีสองก้อนคูณกันอยู่ดังนั้นข้อนี้ต้องใช้การดิฟผลคูณคือใช้สูตรข้อที่ 7)

\begin{array}{lcl}\frac{ds}{dt}&=&\frac{d}{dt}\left[(4t^{2}+t-1)(t+2)\right]\\&=&(4t^{2}+t-1)\frac{d}{dt}(t+2)+(t+2)\frac{d}{dt}(4t^{2}+t-1)\\&=&(4t^{2}+t-1)\frac{d}{dt}t+\frac{d}{dt}(2)+(t+2)\frac{d}{dt}4t^{2}+\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(1)\\&=&(4t^{2}+t-1)(1+0)+(t+2)(8t+1-0)\\&=&4t^{2}+t-1+8t^{2}+17t+2\\&=&12t^{2}+18t+1\end{array}


\(7) \quad y=x(x+1)(x+2)\)

วิธีทำ  การทำข้อนี้คูณกันให้เรียบร้อยก่อนแล้วค่อยดิฟจะง่ายครับคูณกันเสร็จแล้วจะได้ \(y=x^{3}+3x^{2}+2x\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{3})+3\frac{d}{dx}(x^{2})+2\frac{d}{dx}(x)\\&=&3x^{2}+6x+2\end{array}


\(8)\quad y=(4x-x^{2})(x^{2}+3)\)

วิธีทำ คูณกันให้เรียบร้อยแล้วค่อยดิฟครับจะได้ \(y=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+12x\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+12x)\\&=&-4x^{3}+12x^{2}-6x+12\end{array}


\(9)\quad y=x(x^{2}+1)\)

วิธีทำ  คูณให้เรียบร้อยก่อนแล้วค่อยดิฟจะได้ \(y=x^{3}+x\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{3}+x)\\&=&3x^{2}+1\end{array}


\(10)y=\frac{x^{3}+2}{x}\)

วิธีทำ ข้อนี้ใครจะดิฟแบบผลหารก็ได้ หรือจะเขียนให้อยู่ในรูปแบบเศษส่วนแล้วค่อยดิฟก็ได้ ซึ่งก็คือ \(y=\frac{x^{3}}{x}+\frac{2}{x}=x^{2}+\frac{2}{x}\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{2}+\frac{2}{x})\\&=&\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(2x^{-1})\\&=&2x-2x^{-2}\\&=&2x-\frac{2}{x^{2}}\end{array}


\(11)\quad y=\frac{3}{3x^{2}+1}\)

วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรการดิฟผลหารเลยครับเพราะจัดรูปลำบากไม่เหมือนข้อ 10)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{3}{3x^{2}+1})\\&=&\frac{(3x^{2}+1)\frac{d}{dx}(3)-3\frac{d}{dx}(3x^{2}+1)}{(3x^{2}+1)^{2}}\\&=&\frac{(3x^{2}+1)(0)-(3)(6x+0)}{(3x^{2}+1)^{2}}\\&=&\frac{-18}{(3x^{2}+1)^{2}}\end{array}


\(12)\quad y=\frac{1+3x}{1-3x}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ใช้การดิฟผลหารเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{1+3x}{1-3x})\\&=&\frac{(1-3x)\frac{d}{dx}(1+3x)-(1+3x)\frac{d}{dx}(1-3x)}{(1-3x)^{2}}\\&=&\frac{(1-3x)(0+3)-(1+3x)(0-3)}{(1-3x)^{2}}\\&=&\frac{3-9x+3+9x}{(1-3x)^{2}}\\&=&\frac{6}{(1-3x)^{2}}\end{array}


\(14)y=\frac{x^{5}-3x^{2}+5x-2}{x^{2}}\)

วิธีทำ  ข้อนี้แบ่งเป็นก้อนๆแล้วตัดทอนกันก่อนครับ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{x^{5}-3x^{2}+5x-2}{x^{2}})\\&=&\frac{d}{dx}(\frac{x^{5}}{x^{2}}-\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{5x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}\\&=&\frac{d}{dx}(x^{3}-3+\frac{5}{x}-\frac{2}{x^{2}})\\&=&3x^{2}-0-5x^{-2}+4x^{-3}\\&=&3x^{2}-\frac{5}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}\end{array}


\(15)\quad y=(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})(3x^{3}+27)\)

วิธีทำ  ก่อนดิฟต้องจัดรูปโดยการคูณกันให้เรียนร้อยก่อนครับถึงจะดิฟง่ายครับ

\begin{array}{lcl}y=(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})(3x^{3}+27)\\&=&\frac{3x^{4}+3x^{3}+27x+27}{x^{2}}\\&=&3x^{2}+3x+27x^{-1}+27x^{-2}\end{array}

เริ่มดิฟเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(3x^{2}+3x+27x^{-1}+27x^{-2})\\&=&6x+3-\frac{27}{x^{2}}-\frac{54}{x^{3}}\end{array}


\(16) \quad y=\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)

วิธีทำ ดิฟผลหารเลยข้อนี้ไม่ต้องจัดรูป

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{3}{\sqrt{x}+2})\\&=&\frac{(\sqrt{x}+2)\frac{d}{dx}(3)-3\frac{d}{dx}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)^{2}}\\&=&-\frac{3}{2x^{\frac{3}{2}}+8x+8x^{\frac{1}{2}}}\\&=&-\frac{3}{2x\sqrt{x}+8x+8\sqrt{x}}\end{array}


2.จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ที่จุดที่กำหนดให้

\(1)\quad f(x)=2x^{3}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)  ที่ \(x=1\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&2x^{3}-\frac{1}{\sqrt{x}}\\&=&2x^{3}-x^{\frac{1}{2}}\\f^{\prime}(x)&=&6x^{2}+\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}\\f^{\prime}(1)&=&6+\frac{1}{2}\\&=&\frac{13}{2}\end{array}


\(2)\quad f(x)=(2x^{2}-3x+1)(x-x^{2})\)  ที่ \(x=-1\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&(2x^{2}-3x+1)(x-x^{2})\\&=&-2x^{4}+5x^{3}-4x^{2}+x\\f^{\prime}(x)&=&-8x^{3}+15x^{2}-8x+1\\f^{\prime}(-1)&=&8+15+8+1\\&=&32\end{array}


3. กำหนดให้ \(f(4)=3\)  และ  \(f^{\prime}(4)=-5 \)  จงหา  \(g^{\prime}(4)\)  เมื่อ

\(1)\quad  g(x)=\sqrt{x}f(x)\)

\begin{array}{lcl}g(x)&=&\sqrt{x}f(x)\\g^{\prime}(x)&=&\sqrt{x}f^{\prime}(x)+f(x)\frac{1}{2}\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\\&=&\sqrt{x}f^{\prime}(x)+f(x)\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}

จาก

\(f(4)=3\)

\(f^{\prime}(4)=-5\)   เพราะฉะนั้น

\begin{array}{lcl}g^{\prime}(x)&=&\sqrt{x}f^{\prime}(x)+f(x)\frac{1}{2\sqrt{x}}\\g^{\prime}(4)&=&\sqrt{4}f^{\prime}(4)+f(4)\frac{1}{2\sqrt{4}}\\&=&(2)(-5)+(3)\frac{1}{2(2)}\\&=&-10+\frac{3}{4}\\&=&-\frac{37}{4}\end{array}


\(2)\quad g(x)=\frac{f(x)}{x}\)

\begin{array}{lcl}g(x)&=&\frac{f(x)}{x}\\g^{\prime}(x)&=&\frac{(x)f^{\prime}(x)-f(x)(1)}{x^{2}}\\g^{\prime}(4)&=&\frac{(4)f^{\prime}(4)-f(4)(1)}{4^{2}}\\&=&\frac{(4)(-5)-(3)(1)}{16}\\&=&-\frac{23}{16}\end{array}