วันนี้เรามาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือการดิฟโดยใช้สูตรนะครับ เพราะว่าบางทีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือการดิฟโดยใช้บทนิยามมันอาจจะดูยุ่งยากเกินไปครับ ดังนั้นเราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือเราจะดิฟโดยใช้สูตรกันดีกว่าครับ ผมจะพิมพ์สูตรให้และมีแบบฝึกหัดประกอบ ก็อ่านสูตรและค่อยๆทำตามแล้วดูเฉลยที่ผมทำให้ประกอบครับ พยายามฝึกฝนและหาข้อสอบที่เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยมาทำเพิ่มครับ เอาละเรามาดูการหาอนุพันธ์กันเลยครับ
สูตร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1) ถ้า \(f(x)=c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัวแล้ว \(f^{\prime}(x)=0\)
2) ถ้า \(f(x)=x\) แล้ว \(f^{\prime}(x)=1\)
3) ถ้า \(f(x)=x^{n}\) แล้ว \(f^{\prime}(x)=nx^{n-1}\)
4) ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพ้นธ์ได้ที่ \(x\) แล้ว \((f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)
5) ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพ้นธ์ได้ที่ \(x\) แล้ว \((f-g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\)
6) ถ้า \(c\) เป็นค่าคงตัว และ \(f\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x)\) แล้ว \(cf)^{\prime}(x)=c(f^{\prime}(x)\) พูดง่ายสูตรข้อนี้คือดึงค่าคงตัวออกก่อนแล้วค่อยหาอนุพันธ์หรือดิฟ
7) ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\) แล้ว \((fg)^{\prime}(x)=f(x)g^{\prime}(x)+g(x)f^{\prime}(x)\) สูตรดิฟผลคูณที่เราชอบท่องกันว่าหน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า
8) ถ้า \(f\) และ \(g\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\) แล้ว \((\frac{f}{g})^{\prime}=\frac{g(x)f^{\prime}(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^{2}}\) ที่เราท่องกันว่าล่างดิฟบนลบบนดิฟล่างส่วนด้วยล่างยกกำลังสอง
นี่คือสูตรทั้งหมดสำหรับการหาอนุพันธ์ครับ ต่อไปเราไปดูแบบฝึกหัดการหาอนนุพันธ์กันดีกว่าครับหรือมาฝึกทำโจทย์การหาอนุพันธ์กันดีกว่าครับทุกคน
1.แบบฝึกหัดจงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
\(1)\quad y=-3\)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นฟังก์ชันค่าคงตัวดังนั้นดิฟค่าคงตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ใช้สูตรข้อที่ 1)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(-3)\\&=&0\end{array}
\(2)\quad y=x^{3}+\frac{x}{3}\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรข้อที่ 4) ก่อนและค่อยใช้สูตรข้ออื่นอีกต่อไปครับ มองให้ออกนะใช้สูตรข้อไหนบ้าง ครับ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{3}+\frac{x}{3})\\&=&\frac{d}{dx}(x^{3})+\frac{d}{dx}(\frac{x}{3})\\&=&3x^{3-1}+\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x)\\&=&3x^{2}+\frac{1}{3}\end{array}
\(3) \quad y=x^{3}-3x+7\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือใช้สูตรข้อ 4) ข้อ5) ก่อนและค่อยใช้สูตรข้ออื่นอีกต่อไปครับ มองให้ออกนะใช้สูตรข้อไหนบ้าง
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{3}-3x+7)\\&=&\frac{d}{dx}(x^{3})-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(7)\\&=&3x^{3-1}-3+0\\&=&3x^{2}-3\end{array}
\(4)\quad y=-5x^{2}+x+2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&-5\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(x)+2\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{2}}-\frac{d}{dx}(\frac{1}{\sqrt{x}}\\&=&(-5)(2)x^{2-1}+1+2(\frac{1}{2})x^{\frac{1}{2}-1}-\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\\&=&-10x+1+x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\\&=&-10x+1+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\&=&-10x+1+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x^{3}}}\end{array}
\(5)\quad s=4t^{5}-3t^{2}+t-8\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\frac{ds}{dt}&=&\frac{d}{dt}(4t^{5}-3t^{2}+t-8)\\&=&4\frac{d}{dt}(t^{5})-3\frac{d}{dt}(t^{2})+\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(8)\\&=&(4)(5)t^{5-1}-(3)(2)t^{2-1}+1-0\\&=&20t^{4}-6t+1\end{array}
\(6)\quad s=(4t^{2}+t-1)(t+2)\)
วิธีทำ จะเห็นว่า \(s\) มีสองก้อนคูณกันอยู่ดังนั้นข้อนี้ต้องใช้การดิฟผลคูณคือใช้สูตรข้อที่ 7)
\begin{array}{lcl}\frac{ds}{dt}&=&\frac{d}{dt}\left[(4t^{2}+t-1)(t+2)\right]\\&=&(4t^{2}+t-1)\frac{d}{dt}(t+2)+(t+2)\frac{d}{dt}(4t^{2}+t-1)\\&=&(4t^{2}+t-1)\frac{d}{dt}t+\frac{d}{dt}(2)+(t+2)\frac{d}{dt}4t^{2}+\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(1)\\&=&(4t^{2}+t-1)(1+0)+(t+2)(8t+1-0)\\&=&4t^{2}+t-1+8t^{2}+17t+2\\&=&12t^{2}+18t+1\end{array}
\(7) \quad y=x(x+1)(x+2)\)
วิธีทำ การทำข้อนี้คูณกันให้เรียบร้อยก่อนแล้วค่อยดิฟจะง่ายครับคูณกันเสร็จแล้วจะได้ \(y=x^{3}+3x^{2}+2x\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{3})+3\frac{d}{dx}(x^{2})+2\frac{d}{dx}(x)\\&=&3x^{2}+6x+2\end{array}
\(8)\quad y=(4x-x^{2})(x^{2}+3)\)
วิธีทำ คูณกันให้เรียบร้อยแล้วค่อยดิฟครับจะได้ \(y=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+12x\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+12x)\\&=&-4x^{3}+12x^{2}-6x+12\end{array}
\(9)\quad y=x(x^{2}+1)\)
วิธีทำ คูณให้เรียบร้อยก่อนแล้วค่อยดิฟจะได้ \(y=x^{3}+x\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{3}+x)\\&=&3x^{2}+1\end{array}
\(10)y=\frac{x^{3}+2}{x}\)
วิธีทำ ข้อนี้ใครจะดิฟแบบผลหารก็ได้ หรือจะเขียนให้อยู่ในรูปแบบเศษส่วนแล้วค่อยดิฟก็ได้ ซึ่งก็คือ \(y=\frac{x^{3}}{x}+\frac{2}{x}=x^{2}+\frac{2}{x}\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(x^{2}+\frac{2}{x})\\&=&\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(2x^{-1})\\&=&2x-2x^{-2}\\&=&2x-\frac{2}{x^{2}}\end{array}
\(11)\quad y=\frac{3}{3x^{2}+1}\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรการดิฟผลหารเลยครับเพราะจัดรูปลำบากไม่เหมือนข้อ 10)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{3}{3x^{2}+1})\\&=&\frac{(3x^{2}+1)\frac{d}{dx}(3)-3\frac{d}{dx}(3x^{2}+1)}{(3x^{2}+1)^{2}}\\&=&\frac{(3x^{2}+1)(0)-(3)(6x+0)}{(3x^{2}+1)^{2}}\\&=&\frac{-18}{(3x^{2}+1)^{2}}\end{array}
\(12)\quad y=\frac{1+3x}{1-3x}\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้การดิฟผลหารเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{1+3x}{1-3x})\\&=&\frac{(1-3x)\frac{d}{dx}(1+3x)-(1+3x)\frac{d}{dx}(1-3x)}{(1-3x)^{2}}\\&=&\frac{(1-3x)(0+3)-(1+3x)(0-3)}{(1-3x)^{2}}\\&=&\frac{3-9x+3+9x}{(1-3x)^{2}}\\&=&\frac{6}{(1-3x)^{2}}\end{array}
\(14)y=\frac{x^{5}-3x^{2}+5x-2}{x^{2}}\)
วิธีทำ ข้อนี้แบ่งเป็นก้อนๆแล้วตัดทอนกันก่อนครับ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{x^{5}-3x^{2}+5x-2}{x^{2}})\\&=&\frac{d}{dx}(\frac{x^{5}}{x^{2}}-\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{5x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}\\&=&\frac{d}{dx}(x^{3}-3+\frac{5}{x}-\frac{2}{x^{2}})\\&=&3x^{2}-0-5x^{-2}+4x^{-3}\\&=&3x^{2}-\frac{5}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}\end{array}
\(15)\quad y=(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})(3x^{3}+27)\)
วิธีทำ ก่อนดิฟต้องจัดรูปโดยการคูณกันให้เรียนร้อยก่อนครับถึงจะดิฟง่ายครับ
\begin{array}{lcl}y=(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}})(3x^{3}+27)\\&=&\frac{3x^{4}+3x^{3}+27x+27}{x^{2}}\\&=&3x^{2}+3x+27x^{-1}+27x^{-2}\end{array}
เริ่มดิฟเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(3x^{2}+3x+27x^{-1}+27x^{-2})\\&=&6x+3-\frac{27}{x^{2}}-\frac{54}{x^{3}}\end{array}
\(16) \quad y=\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)
วิธีทำ ดิฟผลหารเลยข้อนี้ไม่ต้องจัดรูป
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{3}{\sqrt{x}+2})\\&=&\frac{(\sqrt{x}+2)\frac{d}{dx}(3)-3\frac{d}{dx}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)^{2}}\\&=&-\frac{3}{2x^{\frac{3}{2}}+8x+8x^{\frac{1}{2}}}\\&=&-\frac{3}{2x\sqrt{x}+8x+8\sqrt{x}}\end{array}
2.จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ที่จุดที่กำหนดให้
\(1)\quad f(x)=2x^{3}-\frac{1}{\sqrt{x}}\) ที่ \(x=1\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}f(x)&=&2x^{3}-\frac{1}{\sqrt{x}}\\&=&2x^{3}-x^{\frac{1}{2}}\\f^{\prime}(x)&=&6x^{2}+\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}\\f^{\prime}(1)&=&6+\frac{1}{2}\\&=&\frac{13}{2}\end{array}
\(2)\quad f(x)=(2x^{2}-3x+1)(x-x^{2})\) ที่ \(x=-1\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}f(x)&=&(2x^{2}-3x+1)(x-x^{2})\\&=&-2x^{4}+5x^{3}-4x^{2}+x\\f^{\prime}(x)&=&-8x^{3}+15x^{2}-8x+1\\f^{\prime}(-1)&=&8+15+8+1\\&=&32\end{array}
3. กำหนดให้ \(f(4)=3\) และ \(f^{\prime}(4)=-5 \) จงหา \(g^{\prime}(4)\) เมื่อ
\(1)\quad g(x)=\sqrt{x}f(x)\)
\begin{array}{lcl}g(x)&=&\sqrt{x}f(x)\\g^{\prime}(x)&=&\sqrt{x}f^{\prime}(x)+f(x)\frac{1}{2}\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\\&=&\sqrt{x}f^{\prime}(x)+f(x)\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}
จาก
\(f(4)=3\)
\(f^{\prime}(4)=-5\) เพราะฉะนั้น
\begin{array}{lcl}g^{\prime}(x)&=&\sqrt{x}f^{\prime}(x)+f(x)\frac{1}{2\sqrt{x}}\\g^{\prime}(4)&=&\sqrt{4}f^{\prime}(4)+f(4)\frac{1}{2\sqrt{4}}\\&=&(2)(-5)+(3)\frac{1}{2(2)}\\&=&-10+\frac{3}{4}\\&=&-\frac{37}{4}\end{array}
\(2)\quad g(x)=\frac{f(x)}{x}\)
\begin{array}{lcl}g(x)&=&\frac{f(x)}{x}\\g^{\prime}(x)&=&\frac{(x)f^{\prime}(x)-f(x)(1)}{x^{2}}\\g^{\prime}(4)&=&\frac{(4)f^{\prime}(4)-f(4)(1)}{4^{2}}\\&=&\frac{(4)(-5)-(3)(1)}{16}\\&=&-\frac{23}{16}\end{array}
4. จงหาพหุนามดีกรีสอง \(P(x)=ax^{2}+bx+c\) ที่ \(P(1)=1,\quad P^{\prime}(1)=1\) และ \(P^{\prime}(0)=-3\)
วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยากแต่ก็ไม่ยากคับ ก็คือเราต้องหาค่า \(a,b,c\)ให้ได้นั่นเองครับ
จาก
\(P(x)=ax^{2}+bx+c\) นั่นคือจะได้
\(P^{\prime}(x)=2ax+b\)
จาก \(P^(1)=1\) จะได้
\begin{array}{lcl}P(x)&=&ax^{2}+bx+c\\P(1)&=&a(1)^{2}+b(1)+c\\1&=&a+b+c\quad\cdots (1)\end{array}
จาก \(P^{\prime}(1)=1\) จะได้
\begin{array}{lcl}P^{\prime}(x)&=&2ax+b\\1&=&2a(1)+b\\1&=&2a+b\quad\cdots (2)\end{array}
จาก \(P^{\prime}(0)=-3\) จะได้
\begin{array}{lcl}P^{\prime}(x)&=&2ax+b\\P^{\prime}(0)&=&2a(0)+b\\-3&=&b\quad\cdots (3)\end{array}
จากสมการที่ \((3)\) ได้ว่า \(b=-3\) นำค่า \(b\) นี้ไปแทนใน \((2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}1&=&2a+b\\1&=&2a-3\\a&=&2\end{array}
ต่อไปแทนค่า \(a\) และค่า \(b\) ลงไปในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}1&=&a+b+c\\1&=&2-3+c\\c&=&2\end{array}
ดังนั้นตอนนี้เราได้ว่า \(a=2,\quad b=-3,\quad c=2\)
จะได้สมการพหุนามคือ
\begin{array}{lcl}P(x)&=&ax^{2}+bx+c\\P(x)&=&2x^{2}-3x+2\quad \underline{Ans}\end{array}
7. ในงานมหกรรมลดราคาไทยช่วยไทย ร้ายขายสินค้าหัตถกรรมจากย่านลิเภาร้านหนึ่งได้บันทึกปริมาณสินค้าคงเหลือ (มีหน่วยเป็น 100 ชิ้น) ซึ่งสามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน \(s(x)=\frac{3x+145}{x+8}\) เมื่อ \(x\) แทนจำนวนวันตั้งแต่เริ่มต้นงานมหกรรมลดราคา
1) จงหาจำนวนสินค้า ณ เวลาเริ่มต้นมหกรรมลดราคา
จาก \(s(x)=\frac{3x+145}{x+8}\) เมื่อ \(x\) แทนจำนวนวันตั้งแต่เริ่มต้นงานมหกรรมลดราคา และ ณ เวลาเริ่มต้นมหกรรมลดราคา ซึ่ง \(x=0\) จะได้
\(s(0)=\frac{3(0)+145}{0+8}=18.125\)
ดังนั้น จำนวนสินค้า ณ เวลาเริ่มต้นมหกรรมลดราคา มีอยู่ประมาณ \(18.125\times 100\approx 1,813 \) ชิ้น
2) จงหาจำนวนสินค้าคงเหลือและอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนสินค้าในวันที่ 10
จะได้
\(s(10)=\frac{3(10)+145}{10+8}\approx 9.722\)
ดังนั้น จำนวนสินค้าคงเหลือในวันที่ 10 มีประมาณ \(9.722\times 100\approx 972\) ชิ้น
ต่อไปหาอัตราเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
จาก
\begin{array}{lcl}s^{\prime}(x)&=&\frac{d}{dx}\left(\frac{3x+145}{x+8}\right)\\&=&\frac{(x+8)\frac{d}{dx}(3x+145)-(3x+145)\frac{d}{dx}(x+8)}{(x+8)^{2}}\\&=&\frac{(x+8)(3+0)-(3x+145)(1+0)}{(x+8)^{2}}\\&=&-\frac{121}{(x+8)^{2}}\end{array}
จะได้
\(S^{\prime}(10)=-\frac{121}{(10+8)^{2}}\approx -0.373\)
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนจำนวนสินค้าในวันที่ 10 คือ \(-0.3737\times 100\approx -37\) ชิ้นต่อวัน
3) จงอธิบายการขายสินค้าของร้านนี้
ข้อนี้ดูจากสมการนี้นะคับ
\(S^{\prime}(x)=-\frac{121}{(x+8)^{2}}\)
จะเห็นว่า \((x+8)^{2}>0\) สำหรับทุก \(x\in\mathbb{N}\)
ดังนั้น \(S^{\prime}(x)<0\) สำหรับทุก \(x\in\mathbb{N}\)
จะเห็นว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนสินค้าคงเหลือเป็นจำนวนลบ หมายความว่าจำนวนสินค้าที่เหลือจะลดลงเมื่อจำนวนวันเพิ่มขึ้น นั่นคือ มีลูกค้าเข้ามาอุดหนุนสินค้าอยู่ตลอด
สนับสนุนเว็บไซต์