อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย  วันนี้เรามาหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยซึ่งเรามาดูนิยามกันว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยมันมีนิยามอย่างไร  อย่างไรก็ศึกษาเพิ่มเติมได้อีกที่หนังสือ สสวท. และหนังสือคณิตศาสตร์ทั่วไปผมขี้เกียจเขียนอธิบายเยอะ  ผมจะยกตัวอย่างนิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยให้อ่านเลยครับ ไปดูกันเลย

บทนิยาม

ถ้า  \(f(x)\)   เป็นฟังก์ชัน และ \(a\) อยู่ในโดเมนของ \(f\)  แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\)  เทียบกับ \(x\)  เมื่อค่าของ \(x\)  เปลี่ยนจาก \(a\)  เป็น  \(a+h\)  คือ \[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\)  เทียบกับ  \(x\)  ขณะที่ \(x=a\)  คือ  \[\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

***สังเกตว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\)  เทียบกับ \(x\)  ขณะที่ \(x=a\)  คือ อนุพันธ์ของ \(f\) ที่ \(a\)  นั่นเองครับ

ต่อไปเราลองไปทำโจทย์แบบฝึกหัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยกันดีกว่าครับ ค่อยๆอ่านนะครับโจทย์มันยาวครับ

แบบฝึกหัด

1. จากวงกลมที่มีรัศมียาว \(r\)  จงหา

1)  อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวรัศมี   เมื่อความยาวรัศมีเปลี่ยนจาก \(r\) เซนติเมตรเป็น \(r+h\)  เซนติเมตร

วิธีทำ ให้  \(A\)  คือพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมียาว \(r\)  จะได้  \(A=\pi r^{2}\)  ซึ่งเราจะสังเกตเห็นว่าพื้นที่ของวงกลมจะแปรผันตรงกับรัศมีของวงกลม ก็คือรัศมียาวมากพื้นที่จะมากตามไปด้วยครับ

กำหนดให้

\(A=f(r)=\pi r^{2}\)

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวรัศมี   เมื่อความยาวรัศมีเปลี่ยนจาก \(r\) เซนติเมตรเป็น \(r+h\)  เซนติเมตร  คือ

\begin{array}{lcl}\frac{f(r+h)-f(r)}{h}&=&\frac{\pi(r+h)^{2}-\pi r^{2}}{h}\\&=&\frac{\pi(r^{2}+2rh+h^{2})-\pi r^{2}}{h}\\&=&\frac{\pi h^{2}+2\pi rh}{h}\\&=&\pi h+2\pi r\end{array}

2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวรัศมีขณะที่รัศมียาว \(r\) เซนติเมตร

วิธีทำ  ข้อนี้ก็คือให้อนุพันธ์ของ \(f(r)\) นั่นเองครับ

\begin{array}{lcl}f(r)&=&\pi r^{2}\\f^{\prime}(r)&=&2\pi r\end{array}


2. ความยาวของด้านรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเปลี่ยนจาก \(10\)   เซนติเมตร เป็น \(12\)  เซนติเมตร จงหา

1)  อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้าน

วิธีทำ  ให้  \(f(x)\)  แทนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ \(x\)  คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น

\(f(x)=x^{2}\)  

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านในช่วงด้านยาว \(x\) เซนติเมตร  ถึงด้านยาว \(x+h\)  เซนติเมตร คือ

\begin{array}{lcl}\frac{(f+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\\&=&\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}\\&=&\frac{2xh+h^{2}}{h}\\&=&2x+h\quad cm^{2}/cm\end{array}

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านที่เปลี่ยนจาก \(10\)  เซนติเมตรเป็น \(12\) เซนติเมตรคือ \(2(10)+2=22\)  ตารางเซนติเมตร /เซนติเมตร

2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านขณะที่ด้านยาว \(10\)  เซนติเมตร

วิธีทำ      อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านขณะที่ด้านยาว \(x\)  เซนติเมตร  คือ  

\begin{array}{lcl}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}2x+h\\&=&2x\quad cm^{2}/cm\end{array}

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านขณะที่ด้านยาว \(10\)  เซนติเมตร  คือ \(2(10)=20\)  ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร


3. ปริมาณของสาร \(N\) กรัมในน้ำยาเปลี่ยนไปตามเวลา \(t\) ดังสมการ  \(N=\frac{8}{t+1}\)  เมื่อ \(t\)  มีหน่วยเป็นนาที จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(N\) เทียบกับ \(t\) ขณะ \(t=3\) นาที

วิธีทำ กำหนดให้ \(N=f(t)=\frac{8}{t+1}\)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(N\) เทียบกับ \(t\) ขณะเวลา \(t\)  ใดๆ คือ

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(t)&=&\frac{(t+1)(0)-8(1+0)}{(t+1)^{2}}\\&=&\frac{-8}{(t+1)^{2}}\end{array}

ดังนั้น  อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(N\) เทียบกับ \(t\) ขณะเวลา \(t=3\) คือ \(\frac{8}{(3+1)^{2}}=-\frac{1}{2}\)  กรัม/นาที


4. ทรงกระบอกจุ 400 ลูกบาศก์เซนติเมตร อากาศภายในมีความดัน 15 กรัมต่อหนึ่งตารางเซนติเมตร  ขณะที่กดลูกสูบลงอุณหภูมิมีค่าคงตัว  ความดันจะเพิ่มขึ้นและปริมาตรจะลดลงตามสมการ  \(PV=6000\)  (\(P\) เป็นความดัน  \(V\) เป็นปริมาตร )  จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(P\)  เทียบกับ \(V\) ขณะที่ \(V=100\)  ลูกบาศก์เซนติเมตร

วิธีทำ จากที่ \(PV=6000\)  จะได้  \(P=\frac{6000}{V}\)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(P\) เทียบกับ \(V\)  คือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(V+h)-f(h)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{6000}{V+h}-\frac{6000}{V}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{-6000h}{V(V+h)}\right)\\&=&-\frac{6000}{V^{2}}\end{array}

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(P\)  เทียบกับ \(V\) ขณะที่ \(V=100\) คือ \(-\frac{6000}{100^{2}}=-0.6\)  กรัม/ตารางเซนติเมตร


5. ให้  \(y=2x^{2}-3\)  จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(y\)  เทียบกับ \(x\)

1)  เมื่อ \(x\)  เปลี่ยนจาก \(2\)  เป็น  \(2.2\)

2)  อัตราการเปลี่ยนแปลงเมื่อ \(x=2\)

วิธีทำ

1)  เมื่อ \(x\)  เปลี่ยนจาก \(2\)  เป็น  \(2.2\)  คือ

\begin{array}{lcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{2(x+h)^{2}-3-(2x^{2}-3)}{h}\\&=&\frac{2(x^{2}+2xh+h^{2})-3-2x^{2}+3}{h}\\&=&\frac{2x^{2}+4xh+2h^{2}-3-2x^{2}+3}{h}\\&=&\frac{2h^{2}+4xh}{h}\\&=&2h+4x\end{array}

จาก \(x\) เปลี่ยนจาก \(2\)  เป็น \(2.2\)  นั่นคือ \(h=2.2-2=0.2\)

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(y\)  เทียบกับ \(x\)  เมื่อ \(x\)  เปลี่ยนจาก \(2\)  เป็น  \(2.2\)  คือ  \(2(h)+4x=2(0.2)+4(2)=8.4\)

2)  อัตราการเปลี่ยนแปลงเมื่อ \(x=2\)  คือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(2h+4x)\\&=&4x\end{array}

ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ  \(x\)  เมื่อ \(x=2\)  คือ \(4x=4(2)=8\)


6. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรกรวยกลมตรง

1)  เทียบกับความยาวของรัศมีของฐาน ขณะรัศมียาว \(r\)  เมื่อส่วนสูงคงตัว

2)  เทียบกับส่วนสูง ขณะส่วนสูงยาว \(h\)  หน่วย  เมื่อความยาวของรัศมีของฐานคงตัว

วิธีทำ

1)  เทียบกับความยาวของรัศมีของฐาน ขณะรัศมียาว \(r\)  เมื่อส่วนสูงคงตัว

ปริมาตรของกรวยกลม คือ  \(\frac{1}{3}\pi r^{2}y\)

เมื่อ 

\(r\)  คือ  รัศมีของฐานกรวย

\(y\)  คือ สูงตรงของกรวย

กำหนดให้  \(f(r)\)  คือ ปริมาตรของกรวยกลมตรงเมื่อ \(r\) คือความยาวรัศมีฐาน  \(y\) คือความสูง จะได้

\(f(r)=\frac{1}{3}\pi r^{2}y\)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรกรวยกลมเทียบกับความยาวรัศมี(\(r\)) เมื่อความสูงของกรวยหรือว่า \(y\) คงตัวคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(r+h)-f(r)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3}\pi (r+h)^{2}y-\frac{1}{3}\pi r^{2}y}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi y}{3h}(2rh+h^{2})\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi yh}{3h}(2r+h)\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi y}{3}(2r+h)\\&=&\frac{2}{3}\pi ry\end{array}

2)  เทียบกับส่วนสูง ขณะส่วนสูงยาว \(h\)  หน่วย  เมื่อความยาวของรัศมีของฐานคงตัว

กำหนดให้ \(f(y)=\frac{1}{3}\pi r^{2}y\)  คือปริมาตรของกรวยกลมที่มีส่วนสูงของกรวยยาง \(y\)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกรวยเมื่อเทียบกับกับส่วนสูงของกรวย (\(y\)) และรัศมีของกรวย(\(r\)) คงตัวคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(y+h)-f(y)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}(y+h)-\frac{1}{3}\pi r^{2}y}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi r^{2}}{3h}\cdot h\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi r^{2}}{3}\\&=&\frac{\pi r^{2}}{3}\end{array}