อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย วันนี้เรามาหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยซึ่งเรามาดูนิยามกันว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยมันมีนิยามอย่างไร อย่างไรก็ศึกษาเพิ่มเติมได้อีกที่หนังสือ สสวท. และหนังสือคณิตศาสตร์ทั่วไปผมขี้เกียจเขียนอธิบายเยอะ ผมจะยกตัวอย่างนิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยให้อ่านเลยครับ ไปดูกันเลย
บทนิยาม
ถ้า \(f(x)\) เป็นฟังก์ชัน และ \(a\) อยู่ในโดเมนของ \(f\) แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ \(x\) เมื่อค่าของ \(x\) เปลี่ยนจาก \(a\) เป็น \(a+h\) คือ \[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ \(x\) ขณะที่ \(x=a\) คือ \[\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
***สังเกตว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ \(x\) ขณะที่ \(x=a\) คือ อนุพันธ์ของ \(f\) ที่ \(a\) นั่นเองครับ
ต่อไปเราลองไปทำโจทย์แบบฝึกหัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยกันดีกว่าครับ ค่อยๆอ่านนะครับโจทย์มันยาวครับ
แบบฝึกหัด
1. จากวงกลมที่มีรัศมียาว \(r\) จงหา
1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวรัศมี เมื่อความยาวรัศมีเปลี่ยนจาก \(r\) เซนติเมตรเป็น \(r+h\) เซนติเมตร
วิธีทำ ให้ \(A\) คือพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมียาว \(r\) จะได้ \(A=\pi r^{2}\) ซึ่งเราจะสังเกตเห็นว่าพื้นที่ของวงกลมจะแปรผันตรงกับรัศมีของวงกลม ก็คือรัศมียาวมากพื้นที่จะมากตามไปด้วยครับ
กำหนดให้
\(A=f(r)=\pi r^{2}\)
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวรัศมี เมื่อความยาวรัศมีเปลี่ยนจาก \(r\) เซนติเมตรเป็น \(r+h\) เซนติเมตร คือ
\begin{array}{lcl}\frac{f(r+h)-f(r)}{h}&=&\frac{\pi(r+h)^{2}-\pi r^{2}}{h}\\&=&\frac{\pi(r^{2}+2rh+h^{2})-\pi r^{2}}{h}\\&=&\frac{\pi h^{2}+2\pi rh}{h}\\&=&\pi h+2\pi r\end{array}
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวรัศมีขณะที่รัศมียาว \(r\) เซนติเมตร
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือให้อนุพันธ์ของ \(f(r)\) นั่นเองครับ
\begin{array}{lcl}f(r)&=&\pi r^{2}\\f^{\prime}(r)&=&2\pi r\end{array}
2. ความยาวของด้านรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเปลี่ยนจาก \(10\) เซนติเมตร เป็น \(12\) เซนติเมตร จงหา
1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้าน
วิธีทำ ให้ \(f(x)\) แทนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ \(x\) คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น
\(f(x)=x^{2}\)
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านในช่วงด้านยาว \(x\) เซนติเมตร ถึงด้านยาว \(x+h\) เซนติเมตร คือ
\begin{array}{lcl}\frac{(f+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\\&=&\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}\\&=&\frac{2xh+h^{2}}{h}\\&=&2x+h\quad cm^{2}/cm\end{array}
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านที่เปลี่ยนจาก \(10\) เซนติเมตรเป็น \(12\) เซนติเมตรคือ \(2(10)+2=22\) ตารางเซนติเมตร /เซนติเมตร
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านขณะที่ด้านยาว \(10\) เซนติเมตร
วิธีทำ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านขณะที่ด้านยาว \(x\) เซนติเมตร คือ
\begin{array}{lcl}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}2x+h\\&=&2x\quad cm^{2}/cm\end{array}
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้านขณะที่ด้านยาว \(10\) เซนติเมตร คือ \(2(10)=20\) ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร
3. ปริมาณของสาร \(N\) กรัมในน้ำยาเปลี่ยนไปตามเวลา \(t\) ดังสมการ \(N=\frac{8}{t+1}\) เมื่อ \(t\) มีหน่วยเป็นนาที จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(N\) เทียบกับ \(t\) ขณะ \(t=3\) นาที
วิธีทำ กำหนดให้ \(N=f(t)=\frac{8}{t+1}\)
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(N\) เทียบกับ \(t\) ขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(t)&=&\frac{(t+1)(0)-8(1+0)}{(t+1)^{2}}\\&=&\frac{-8}{(t+1)^{2}}\end{array}
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(N\) เทียบกับ \(t\) ขณะเวลา \(t=3\) คือ \(\frac{8}{(3+1)^{2}}=-\frac{1}{2}\) กรัม/นาที
4. ทรงกระบอกจุ 400 ลูกบาศก์เซนติเมตร อากาศภายในมีความดัน 15 กรัมต่อหนึ่งตารางเซนติเมตร ขณะที่กดลูกสูบลงอุณหภูมิมีค่าคงตัว ความดันจะเพิ่มขึ้นและปริมาตรจะลดลงตามสมการ \(PV=6000\) (\(P\) เป็นความดัน \(V\) เป็นปริมาตร ) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(P\) เทียบกับ \(V\) ขณะที่ \(V=100\) ลูกบาศก์เซนติเมตร
วิธีทำ จากที่ \(PV=6000\) จะได้ \(P=\frac{6000}{V}\)
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(P\) เทียบกับ \(V\) คือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(V+h)-f(h)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{6000}{V+h}-\frac{6000}{V}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{-6000h}{V(V+h)}\right)\\&=&-\frac{6000}{V^{2}}\end{array}
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(P\) เทียบกับ \(V\) ขณะที่ \(V=100\) คือ \(-\frac{6000}{100^{2}}=-0.6\) กรัม/ตารางเซนติเมตร
5. ให้ \(y=2x^{2}-3\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(y\) เทียบกับ \(x\)
1) เมื่อ \(x\) เปลี่ยนจาก \(2\) เป็น \(2.2\)
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเมื่อ \(x=2\)
วิธีทำ
1) เมื่อ \(x\) เปลี่ยนจาก \(2\) เป็น \(2.2\) คือ
\begin{array}{lcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{2(x+h)^{2}-3-(2x^{2}-3)}{h}\\&=&\frac{2(x^{2}+2xh+h^{2})-3-2x^{2}+3}{h}\\&=&\frac{2x^{2}+4xh+2h^{2}-3-2x^{2}+3}{h}\\&=&\frac{2h^{2}+4xh}{h}\\&=&2h+4x\end{array}
จาก \(x\) เปลี่ยนจาก \(2\) เป็น \(2.2\) นั่นคือ \(h=2.2-2=0.2\)
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(y\) เทียบกับ \(x\) เมื่อ \(x\) เปลี่ยนจาก \(2\) เป็น \(2.2\) คือ \(2(h)+4x=2(0.2)+4(2)=8.4\)
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเมื่อ \(x=2\) คือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(2h+4x)\\&=&4x\end{array}
ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ \(x\) เมื่อ \(x=2\) คือ \(4x=4(2)=8\)
6. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรกรวยกลมตรง
1) เทียบกับความยาวของรัศมีของฐาน ขณะรัศมียาว \(r\) เมื่อส่วนสูงคงตัว
2) เทียบกับส่วนสูง ขณะส่วนสูงยาว \(h\) หน่วย เมื่อความยาวของรัศมีของฐานคงตัว
วิธีทำ
1) เทียบกับความยาวของรัศมีของฐาน ขณะรัศมียาว \(r\) เมื่อส่วนสูงคงตัว
ปริมาตรของกรวยกลม คือ \(\frac{1}{3}\pi r^{2}y\)
เมื่อ
\(r\) คือ รัศมีของฐานกรวย
\(y\) คือ สูงตรงของกรวย
กำหนดให้ \(f(r)\) คือ ปริมาตรของกรวยกลมตรงเมื่อ \(r\) คือความยาวรัศมีฐาน \(y\) คือความสูง จะได้
\(f(r)=\frac{1}{3}\pi r^{2}y\)
อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรกรวยกลมเทียบกับความยาวรัศมี(\(r\)) เมื่อความสูงของกรวยหรือว่า \(y\) คงตัวคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(r+h)-f(r)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3}\pi (r+h)^{2}y-\frac{1}{3}\pi r^{2}y}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi y}{3h}(2rh+h^{2})\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi yh}{3h}(2r+h)\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi y}{3}(2r+h)\\&=&\frac{2}{3}\pi ry\end{array}
2) เทียบกับส่วนสูง ขณะส่วนสูงยาว \(h\) หน่วย เมื่อความยาวของรัศมีของฐานคงตัว
กำหนดให้ \(f(y)=\frac{1}{3}\pi r^{2}y\) คือปริมาตรของกรวยกลมที่มีส่วนสูงของกรวยยาง \(y\)
อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกรวยเมื่อเทียบกับกับส่วนสูงของกรวย (\(y\)) และรัศมีของกรวย(\(r\)) คงตัวคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(y+h)-f(y)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}(y+h)-\frac{1}{3}\pi r^{2}y}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi r^{2}}{3h}\cdot h\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\pi r^{2}}{3}\\&=&\frac{\pi r^{2}}{3}\end{array}
7. ให้ \(y=\frac{1}{x}\) จงหา
1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(y\) เทียบกับ \(x\) เมื่อค่าของ \(x\) เปลี่ยนจาก \(4\) เป็น \(5\)
จากฟังก์ชันที่โจทย์กำหนดให้ จะได้ว่า
\(f(a)=\frac{1}{a}\)
\(f(a+h)=\frac{1}{a+h}\)
ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ \(x\) คือ
\begin{array}{lcl}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=&\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\\&=&\frac{-h}{ha(a+h)}\\&=&-\frac{1}{a(a+h)}\end{array}
จากตรงนี้เราได้สูตรในการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(y\) เทียบกับ \(x\) ของข้อนี้คือ \(-\frac{1}{a(a+h)}\)
คำตอบของข้อนี้ก็คือ *** อย่าลืมนะ \(x\) เปลี่ยนจาก \(4\) เป็น \(5\) ดังนั้น \(h=5-4=1\)
\begin{array}{lcl}\frac{f(4+1)-f(4)}{1}&=&-\frac{1}{4(4+1)}\\&=&-\frac{1}{20}\end{array}
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(y\) เทียบกับ \(x\) เมื่อ \(x\) เปลี่ยนจาก 4 เป็น 4.1
ข้อนี้ \(h=4.1-4=0.1\)
\begin{array}{lcl}\frac{f(4+0.1)-f(4)}{0.1}&=&-\frac{1}{4(4+0.1)}\\&=&-\frac{1}{16.4}\\&=&-\frac{5}{82}\end{array}
3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ \(x\) เมื่อ \(x\) เปลี่ยนจาก \(4\) เป็น \(4.01\) คือ
\begin{array}{lcl}\frac{f(4+0.01)-f(4)}{0.01}&=&-\frac{1}{4(4+0.01)}\\&=&-\frac{1}{16.04}\\&=&-\frac{25}{401}\end{array}
4) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ \(y\) เทียบกับ \(x\) ขณะที่ \(x=4\) คือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\left(-\frac{1}{4(4+h)}\right)\\&=&-\frac{1}{16}\end{array}
ฟังคลิปประกอบได้ครับผม
สนับสนุนเว็บไซต์