ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึงสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ สูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังชันประกอบเรียกว่า กฎลูกโซ่ (chain rule) ซึ่งกฎลูกโซ่ มีใจความดังนี้ครับ
| ถ้า \(f\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\) และ \(g\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(f(x)\) แล้ว \(g\circ f\) หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\) และ \((g\circ f)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x))\cdot f^{\prime}(x)\) |
อ่านกฎลูกโซอาจจะงง ผมว่าเราไปดูตัวอย่างประกอบกันดีกว่าครับ
แบบฝึกหัด
1.จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
\(1)\quad y=(2x+3)^{5}\)
วิธีทำ ข้อนี้เราจะมอง \(2x+3\) เป็น \(u\) หรือก็คือให้ \(u=2x+3\) หรือหนังสือบางเล่มอาจจะบอกว่า \(2x+3\) เป็นไส้ใน และมอง \((2x+3)^{5}\) เป็นก้อนทั้งหมด วิธีการคือ
ดิฟหรือว่าหาอนุพันธ์ของทั้งก้อนทั้งหมดก่อน ก็จะได้ \(5(2x+3)^{4}\) เสร็จแล้วค่อยไปดิฟไส้ในอีกที่ก็คือดิฟ \(2x+3\) ก็จะได้เป็น \(2\) แล้วเอาที่เราดิฟได้ทั้งหมดมาคูณกันก็จะได้
\(5(2x+3)^{4}\times 2=10(2x+3)^{4}\) ดังนั้น
\(\frac{dy}{dx}=10(2x+3)^{4}\)
มองเห็นกระบวนการในการดิฟหรือยังครับ ดิฟข้างนอกก่อนแล้วค่อยไปดิฟไส้ในครับ
\(2) \quad y=(1-3x)^{3}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับ ดิฟข้างนอกหรือว่าดิฟทั้งหมดก่อน แล้วค่อยดิฟข้างในครับ บางคนอาจจะเรียกติดปากว่าดิฟนอกดิฟใน
ดิฟนอกจะได้ \(3(1-3x)^{2}\)
ดิฟในจะได้ \(-3\)
ดังนั้น
\(\frac{dy}{dx}=3(1-3x)^{2}\times (-3)=-9(1-3x)^{2}\)
\(3)\quad y=(3-4x^{2})^{4}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับดิฟนอก ดิฟในทำรวบพร้อมกันไปเลยนะครับจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&4(3-4x^{2})^{3}(-8x)\\&=&-32x(3-4x^{2})^{3}\end{array}
\(4)\quad y=(2-3x+4x^{2})^{3}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับดิฟนอกดิฟใน
\begin{array}{lcl}\frac{dx}{dy}&=&3(2-3x+4x^{2})^{2}(-3+8x)\\&=&(-9+24x)(2-3x+4x^{2})^{2}\end{array}
\(5)\quad y=(x^{3}-2x)^{4}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมดิฟนอก ดิฟใน
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&4(x^{3}-2x)^{3}(3x^{2}-2)\\&=&(12x^{2}-8)(x^{3}-2x)\end{array}
\(6)\quad y=\sqrt{1-2x}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมดิฟนอก ดิฟใน อย่าลืมนะ \(\sqrt{1-2x}=(1-2x)^{\frac{1}{2}}\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{2}(1-2x)^{-\frac{1}{2}}(-2)\\&=&(-2)\frac{1}{2}(1-2x)^{-\frac{1}{2}}\\&=&-\frac{1}{(1-2x)^{\frac{1}{2}}}\\&=&-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\end{array}
\(7)\quad y=\sqrt{3x^{2}+2}\)
วิธีทำ ทำเหมือนข้อ 6) เลยครับจะได้ อย่าลืมนะ \(\sqrt{3x^{2}+2}=(3x^{2}+2)^{\frac{1}{2}}\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{2}(3x^{2}+2)^{-\frac{1}{2}}(6x)\\&=&\frac{1}{2}(6x)\frac{1}{(3x^{2}+2)^{\frac{1}{2}}}\\&=&3x\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+2}}\end{array}
\( 8) \quad y=\sqrt[3]{x^{2}-3}\)
วิธีทำ เริ่มทำเลยครับอย่าลืมนะ \(\sqrt[3]{x^{2}-3}=(x^{2}-3)^{\frac{1}{3}}\)
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{3}(x^{2}-3)^{-\frac{2}{3}}(2x)\\&=&\frac{2x}{3(x^{2}-3)^\frac{2}{3}}\\&=&\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^{2}-3)^{2}}}\end{array}
\( 9) \quad s=\frac{1}{(t^{2}-3t+2)^{2}}\)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครไม่อยากดิฟผลหาร ก็จับตัวส่วนโยนขึ้นไปข้างบนก่อนครับแล้วค่อยดิฟ ก็จะได้
\(s=(t^{2}-3t+2)^{-2}\)
\begin{array}{lcl}\frac{ds}{dt}&=&(-2)(t^{2}-3t+2)^{-3}(2t-3)\\&=&(6-4t)(t^{2}-3t+2)^{-3}\\&=&\frac{6-4t}{(t^{2}-3t+2)^{3}}\end{array}
\(10)\quad y=(x-3)^{3}(2x+1)\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้ดิฟผลคูณครับ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&(x-3)^{3}\frac{d}{dx}(2x+1)+(2x+1)\frac{d}{dx}(x-3)^{3}\\&=&(x-3)^{3}(2)+(2x+1)(3)(x-3)^{2}\\&=&2(x-3)^{3}+(6x+3)(x-3)^{2}\\&=&(x-3)^{2}\left[2(x-3)+(6x+3)\right]\\&=&(x-3)^{2}\left[2x-6+6x+3\right]\\&=&(x-3)^{2}(8x-3)\end{array}
\(11)\quad y=\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)^{3}\)
วิธีทำ ข้อนี้กระจายเลขชี้กำลังเข้าไปก่อนแล้วค่อยดิฟผลหารครับ กระจายเลขชี้กำลังเข้าไปจะได้
\(y=\frac{(2x+1)^{3}}{(1-2x)^{3}}\) แล้วดิฟต่อเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{(1-2x)\frac{d}{dx}(2x+1)^{3}-(2x+1)^{3}\frac{d}{dx}(1-2x)^{3}}{(1-2x)^{6}}\\&=&\frac{(1-2x)3(2x+1)^{2}(2)-(2x+1)^{3}3(1-2x)^{2}(-2)}{(1-2x)^{6}}\\&=&\frac{6(1-2x)(2x+1)^{2}+6(1-2x)^{2}(2x+1)^{3}}{(1-2x)^{6}}\\&=&\frac{6(1-2x)(2x+1)^{2}\left[1+(1-2x)(2x+1)\right]}{(1-2x)^{6}}\\&=&\frac{6(2x+1)^{2}\left[1+2x-2x-4x+1\right]}{(1-2x)^{5}}\\&=&\frac{6(2x+1)^{2}[-4x+2]}{(1-2x)^{5}}\\&=&\frac{6(2x+1)^{2}2(1-2x)}{(1-2x)^{5}}\\&=&\frac{12(2x+1)^{2}}{(1-2x)^{4}}\end{array}
2. กำหนดให้ \(f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\) และ \(g(x)=\sqrt{3x-1}\) จงหา \(F^{\prime}(x)\) เมื่อ \(F(x)=f(g(x))\)
วิธีทำ เนื่องจาก \(F(x)=f(g(x))\) จะได้
\(F(x)=\frac{\sqrt{3x-1}}{(\sqrt{3x-1})^{2}+1}=\frac{\sqrt{3x-1}}{3x}\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}F^{\prime}(x)&=&\frac{(3x)\frac{d}{dx}\sqrt{3x-1}-\sqrt{3x-1}\frac{d}{dx}(3x)}{(3x)^{2}}\\&=&\frac{9x}{2\sqrt{3x-1}9x^{2}}-\frac{3\sqrt{3x-1}}{9x^{2}}\\&=&\frac{1}{2x\sqrt{3x-1}}-\frac{\sqrt{3x-1}}{3x^{2}}\\&=&\frac{3x^{2}-2x(3x-1)}{6x^{3}\sqrt{3x-1}}\\&=&\frac{-3x^{2}+2x}{6x^{3}\sqrt{3x-1}}\\&=&\frac{2-3x}{6x^{2}\sqrt{3x-1}}\end{array}
3. กำหนดให้ \(x(t)=\frac{300t^{2}}{1+t^{2}}\) และ \(P(x)=2\sqrt{x}-20\) จงหา
1) \(\frac{dx}{dt}\) และ \(\frac{dP}{dx}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\frac{dx}{dt}&=&\frac{(1+t^{2})\frac{d(300t^{2})}{dt}-(300t^{2})\frac{d(1+t^{2})}{dt}}{(1+t^{2})^{2}}\\&=&\frac{(1+t^{2})(600t)-(300t^{2})(0+2t)}{(1+t^{2})^{2}}\\&=&\frac{600t+600t^{3}-600t^{3}}{(1+t^{2})^{2}}\\&=&\frac{600t}{(1+t^{2})^{2}}\end{array}
ต่อไปดิฟอีกอัน
\begin{array}{lcl}P(x)&=&2\sqrt{x}-20\\&=&2\cdot x^{\frac{1}{2}}-20\\\frac{dP}{dx}&=&20\cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\&=&x^{-\frac{1}{2}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{x}}\end{array}
2) \(\frac{dP}{dt}|_{t=2}\) ข้อนี้คือหาอนุพันธ์ที่จุด \(t=2\) นั่นเองคับ
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\frac{dP}{dt}&=&\frac{dP}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}\\&=&\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{600t}{(1+t^{2})^{2}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{\frac{300t^{2}}{1+t^{2}}}}\cdot \frac{600t}{(1+t^{2})^{2}}\\so\\\frac{dP}{dt}|_{t=2}&=&\frac{1}{\sqrt{\frac{300(2)^{2}}{1+(2)^{2}}}}\cdot \frac{600(2)}{(1+(2)^{2})^{2}}\\&=&\frac{4\sqrt{15}}{5}\end{array}
4. ถ้าจำนวนแบคทีเรียที่พบในชั่วโมงที่ \(t\) (มีหน่วยเป็นเซลล์) หาได้จาก \(N(t)=(t+10)^{5}\) จงหา \(\frac{dN}{dt}\) พร้อมทั้งอธิบายความหมาย
วิธีทำ การหา \(\frac{dN}{dt}\) กฎลูกโซ่ ในการดิฟนะคับ ใครไม่รู้ดิฟยังไงก็เลื่อนไปอ่านข้อข้างบน
ใช้วิธีการดิฟนอก ดิฟใน อย่างที่เคยพาทำแล้วในข้อข้างบนนะคับ เริ่มทำกันเลยครับผม
\begin{array}{lcl}\frac{dN}{dt}&=&\frac{d(t+10)^{5}}{dt}\\&=&5(t+10)^{4}\frac{d(t+10)}{dt}\\&=&5(t+10)^{4}(1+0)\\&=&5(t+10)^{4}\end{array}
ดังนั้น \(\frac{d{N}}{dt}=5(t+10)^{4}\) จะเห็นว่า \(t\) คือเวลา มีค่ามากว่า \(0\) ดั้งจึงทำให้ค่าของ \(5(t+10)^{4}\) นี้หรือว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนแบคทีเรียเป็นบวก นั่นก็คือแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไปนั่นเอง
สนับสนุนเว็บไซต์