ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึงสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ  สูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังชันประกอบเรียกว่า กฎลูกโซ่ (chain rule) ซึ่งกฎลูกโซ่ มีใจความดังนี้ครับ

ถ้า \(f\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\)  และ \(g\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(f(x)\)  แล้ว  \(g\circ f\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\) และ  \((g\circ f)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x))\cdot f^{\prime}(x)\)

อ่านกฎลูกโซอาจจะงง ผมว่าเราไปดูตัวอย่างประกอบกันดีกว่าครับ 

แบบฝึกหัด

1.จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

\(1)\quad y=(2x+3)^{5}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราจะมอง  \(2x+3\)  เป็น \(u\)  หรือก็คือให้  \(u=2x+3\)  หรือหนังสือบางเล่มอาจจะบอกว่า \(2x+3\)  เป็นไส้ใน  และมอง \((2x+3)^{5}\)  เป็นก้อนทั้งหมด  วิธีการคือ

ดิฟหรือว่าหาอนุพันธ์ของทั้งก้อนทั้งหมดก่อน  ก็จะได้  \(5(2x+3)^{4}\)  เสร็จแล้วค่อยไปดิฟไส้ในอีกที่ก็คือดิฟ \(2x+3\)  ก็จะได้เป็น \(2\)  แล้วเอาที่เราดิฟได้ทั้งหมดมาคูณกันก็จะได้

\(5(2x+3)^{4}\times 2=10(2x+3)^{4}\)  ดังนั้น

\(\frac{dy}{dx}=10(2x+3)^{4}\)

มองเห็นกระบวนการในการดิฟหรือยังครับ ดิฟข้างนอกก่อนแล้วค่อยไปดิฟไส้ในครับ


\(2) \quad y=(1-3x)^{3}\)

วิธีทำ    ทำเหมือนเดิมครับ ดิฟข้างนอกหรือว่าดิฟทั้งหมดก่อน แล้วค่อยดิฟข้างในครับ บางคนอาจจะเรียกติดปากว่าดิฟนอกดิฟใน

ดิฟนอกจะได้  \(3(1-3x)^{2}\)

ดิฟในจะได้  \(-3\)

ดังนั้น

\(\frac{dy}{dx}=3(1-3x)^{2}\times (-3)=-9(1-3x)^{2}\)


\(3)\quad y=(3-4x^{2})^{4}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมครับดิฟนอก ดิฟในทำรวบพร้อมกันไปเลยนะครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&4(3-4x^{2})^{3}(-8x)\\&=&-32x(3-4x^{2})^{3}\end{array}


\(4)\quad y=(2-3x+4x^{2})^{3}\)

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับดิฟนอกดิฟใน

\begin{array}{lcl}\frac{dx}{dy}&=&3(2-3x+4x^{2})^{2}(-3+8x)\\&=&(-9+24x)(2-3x+4x^{2})^{2}\end{array}


\(5)\quad y=(x^{3}-2x)^{4}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมดิฟนอก ดิฟใน

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&4(x^{3}-2x)^{3}(3x^{2}-2)\\&=&(12x^{2}-8)(x^{3}-2x)\end{array}


\(6)\quad y=\sqrt{1-2x}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมดิฟนอก ดิฟใน อย่าลืมนะ \(\sqrt{1-2x}=(1-2x)^{\frac{1}{2}}\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{2}(1-2x)^{-\frac{1}{2}}(-2)\\&=&(-2)\frac{1}{2}(1-2x)^{-\frac{1}{2}}\\&=&-\frac{1}{(1-2x)^{\frac{1}{2}}}\\&=&-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\end{array}


\(7)\quad y=\sqrt{3x^{2}+2}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนข้อ 6)  เลยครับจะได้ อย่าลืมนะ \(\sqrt{3x^{2}+2}=(3x^{2}+2)^{\frac{1}{2}}\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{2}(3x^{2}+2)^{-\frac{1}{2}}(6x)\\&=&\frac{1}{2}(6x)\frac{1}{(3x^{2}+2)^{\frac{1}{2}}}\\&=&3x\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+2}}\end{array}


\( 8) \quad y=\sqrt[3]{x^{2}-3}\)

วิธีทำ  เริ่มทำเลยครับอย่าลืมนะ \(\sqrt[3]{x^{2}-3}=(x^{2}-3)^{\frac{1}{3}}\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{3}(x^{2}-3)^{-\frac{2}{3}}(2x)\\&=&\frac{2x}{3(x^{2}-3)^\frac{2}{3}}\\&=&\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^{2}-3)^{2}}}\end{array}


\( 9) \quad s=\frac{1}{(t^{2}-3t+2)^{2}}\)

วิธีทำ   ข้อนี้ถ้าใครไม่อยากดิฟผลหาร ก็จับตัวส่วนโยนขึ้นไปข้างบนก่อนครับแล้วค่อยดิฟ ก็จะได้

\(s=(t^{2}-3t+2)^{-2}\)

\begin{array}{lcl}\frac{ds}{dt}&=&(-2)(t^{2}-3t+2)^{-3}(2t-3)\\&=&(6-4t)(t^{2}-3t+2)^{-3}\\&=&\frac{6-4t}{(t^{2}-3t+2)^{3}}\end{array}


\(10)\quad y=(x-3)^{3}(2x+1)\)

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องใช้ความรู้ดิฟผลคูณครับ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&(x-3)^{3}\frac{d}{dx}(2x+1)+(2x+1)\frac{d}{dx}(x-3)^{3}\\&=&(x-3)^{3}(2)+(2x+1)(3)(x-3)^{2}\\&=&2(x-3)^{3}+(6x+3)(x-3)^{2}\\&=&(x-3)^{2}\left[2(x-3)+(6x+3)\right]\\&=&(x-3)^{2}\left[2x-6+6x+3\right]\\&=&(x-3)^{2}(8x-3)\end{array}


\(11)\quad y=\left(\frac{2x+1}{1-2x}\right)^{3}\)

วิธีทำ  ข้อนี้กระจายเลขชี้กำลังเข้าไปก่อนแล้วค่อยดิฟผลหารครับ   กระจายเลขชี้กำลังเข้าไปจะได้

\(y=\frac{(2x+1)^{3}}{(1-2x)^{3}}\)  แล้วดิฟต่อเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{(1-2x)\frac{d}{dx}(2x+1)^{3}-(2x+1)^{3}\frac{d}{dx}(1-2x)^{3}}{(1-2x)^{6}}\\&=&\frac{(1-2x)3(2x+1)^{2}(2)-(2x+1)^{3}3(1-2x)^{2}(-2)}{(1-2x)^{6}}\\&=&\frac{6(1-2x)(2x+1)^{2}+6(1-2x)^{2}(2x+1)^{3}}{(1-2x)^{6}}\\&=&\frac{6(1-2x)(2x+1)^{2}\left[1+(1-2x)(2x+1)\right]}{(1-2x)^{6}}\\&=&\frac{6(2x+1)^{2}\left[1+2x-2x-4x+1\right]}{(1-2x)^{5}}\\&=&\frac{6(2x+1)^{2}[-4x+2]}{(1-2x)^{5}}\\&=&\frac{6(2x+1)^{2}2(1-2x)}{(1-2x)^{5}}\\&=&\frac{12(2x+1)^{2}}{(1-2x)^{4}}\end{array}


2. กำหนดให้ \(f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\)  และ \(g(x)=\sqrt{3x-1}\)  จงหา  \(F^{\prime}(x)\)  เมื่อ \(F(x)=f(g(x))\)

วิธีทำ  เนื่องจาก  \(F(x)=f(g(x))\)  จะได้

\(F(x)=\frac{\sqrt{3x-1}}{(\sqrt{3x-1})^{2}+1}=\frac{\sqrt{3x-1}}{3x}\)     ดังนั้น

\begin{array}{lcl}F^{\prime}(x)&=&\frac{(3x)\frac{d}{dx}\sqrt{3x-1}-\sqrt{3x-1}\frac{d}{dx}(3x)}{(3x)^{2}}\\&=&\frac{9x}{2\sqrt{3x-1}9x^{2}}-\frac{3\sqrt{3x-1}}{9x^{2}}\\&=&\frac{1}{2x\sqrt{3x-1}}-\frac{\sqrt{3x-1}}{3x^{2}}\\&=&\frac{3x^{2}-2x(3x-1)}{6x^{3}\sqrt{3x-1}}\\&=&\frac{-3x^{2}+2x}{6x^{3}\sqrt{3x-1}}\\&=&\frac{2-3x}{6x^{2}\sqrt{3x-1}}\end{array}