เริ่มจากข้อง่ายก่อนนะครับ
19. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(log_{3}x=1+log_{x}9\) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ [Pat1 มี.ค.52]
- [0,4)
- [4,8)
- [8,12)
- [12,16)
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่ามีล็อกฐาน 3 และอีกอันคือหลังล็อกเป็นเลข 9 เข้าพยายามหลอกเราตรงนี้แหละสิ่งที่เราควรมองให้ออกคือ เราต้องทำให้เป็นล็อกฐานเดียวกันครับ เพราะถ้าฐานเดียวกันจะง่ายต่อการนำไปบวก ลบ ครับ นั่นคือเราต้องทำเป็นล็อกฐาน 3 นั่นเองเพราะว่า \(9=3^{2}\)
เริ่มจากตรงนี้ก่อน
\begin{array}{lcl}log_{x}9&=&\frac{1}{log_{9}x}\\&=&\frac{1}{log_{3^{2}}x}\\&=&\frac{1}{\frac{1}{2}log_{3}x}\\&=&\frac{2}{log_{3}x}\end{array}
พอได้ตรงนี้เราเริ่มแก้สมการกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}log_{3}x&=&1+log_{x}9\\log_{3}x&=&1+\frac{2}{log_{3}x}\end{array}
เพื่อให้เห็นภาพง่ายขึ้นผมจะให้ \(A=log_{3}x\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}A&=&1+\frac{2}{A}\\\\ เอา A คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการครับ \\A^{2}&=&A+2\\A^{2}-A-2&=&0\\(A-2)(A+1)&=&0\end{array}
นั่นคือ
\(A-2=0\) หรือ \(A+1=0\)
พิจารณา \(A-2=0\) ก่อนจะได้
\begin{array}{lcl}A-2&=&0\\A&=&2\\log_{3}x&=&2\\x&=&3^{2}\\x&=&9\end{array}
พิจารณา \(A+1=0\)
\begin{array}{lcl}A+1&=&0\\A&=&-1\\log_{3}x&=&-1\\x&=&3^{-1}\\x&=&\frac{1}{3}\end{array}
ดังนั้นผลบวกของคำตอบคือ \(9+\frac{1}{3}=\frac{28}{3}=9.33\) ซึ่งจะเห็นได้ว่า
\(9.33\in [8,12)\) ข้อนี้ตอบ choice 3 ครับ
PAT 1 (พ.ย.57)
14. ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงบวกและสอดคล้องกับสมการ \(2log_{2}(x-2y)+log_{\frac{1}{2}}x+log_{\frac{1}{2}}y=0\) แล้ว \(\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+1\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 2
- 5
- 10
- 17
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ แก้สมการลอการิทึมเหมือนเดิมครับ วิธีการคือต้องทำฐานของลอการิทึมเท่ากันก่อนคับ ขอนี้ผมจะทำให้เป็นฐาน 2 นะครับผม เริ่มเลยครับ
\begin{array}{lcl}2log_{2}(x-2y)+log_{\frac{1}{2}}x+log_{\frac{1}{2}}y&=&0\\log_{2}(x-2y)^{2}+log_{2^{-1}}x+log_{2^{-1}}y&=&0\\log_{2}(x-2y)^{2}-log_{2}x-log_{2}y&=&0\\log_{2}\frac{(x-2y)^{2}}{x\cdot y}&=&0\\\frac{(x-2y)^{2}}{x\cdot y}&=&2^{0}\\\frac{(x-2y)^{2}}{x\cdot y}&=&1\\(x-2y)^{2}&=&x\cdot y\\x^{2}-4xy+4y^{2}&=&xy\\x^{2}-5xy+4y^{2}&=&0\\(x-y)(x-4y)&=&0\end{array}
ดังนั้นจะได้
\(x-y=0\) หรือ \(x-4y=0\)
พิจาณา \(x-y=0\) จะได้
\(x=y\)
แต่ถ้าเราลองไปแทนค่า y ด้วย x ดูตรงนี้ \(log_{2}(x-2y)\) จะได้
\(log_{2}(x-2x)=log_{2}-x\) ซึ่ง x เป็นจำนวนจริงบวกดังนั้นหลังล็อกตรงนี้จึงเป็นลบ เนื่องจากโดเมนของลาการิทึมต้องเป็นบวกเท่านั้น ง่ายๆก็คือตัวเลขหลังล็อกต้องเป็นบวกห้ามเป็นลบ ฉะนั้นในกรณี คำตอบ \(x=y\) จึงไม่ใช่
พิจารณา \(x-4y=0\) จะได้
\begin{array}{lcl}x&=&4y\\\frac{x}{y}&=&4\\\left(\frac{x}{y}\right)^{2}&=&16\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}&=&16+1&=&17\end{array}
ตอบ choice 4 ครับ
Pat 1 มี.ค. 52
10. กำหนดให้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงบวกและ \(y\neq 1\)
ถ้า \(log_{y}2x=a\) และ \(2^{y}=b\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{1}{2}(log_{2}b)^{a}\)
- \(2(log_{2}b)^{a}\)
- \(\frac{a}{2}(log_{2}b)\)
- \(2a(log_{2}b)\)
วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าง่ายทีเดียวเลยครับ แค่เปลี่ยนสมการลอการิทึมให้เป็นสมการยกกำลังได้ กาหาคำตอบได้แล้ว เริ่มทำกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}log_{y}2x&=&a \leftrightarrow 2x&=&y^{a}\end{array}
ดังนั้นจึงได้ว่า
\(x=\frac{1}{2}y^{a}\quad\cdots (1)\)
เก็บสมการนี้ไว้ก่อนครับ ต่อไป ก็ไปดูสมการอีกอันที่โจทย์ให้มา
\begin{array}{lcl}2^{y}&=&b\\so\\\log 2^{y}&=&\log b\\y\log 2&=&\log b\\y&=&\frac{\log b}{\log 2}\\y&=&\log_{2}b\end{array}
แทน \(y\) ด้วย \(\log_{2}b\) ในสมการที่ (1) จะได้
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{1}{2}y^{a}\\x&=&\frac{1}{2}(\log_{2}b)^{a}\end{array}
ตอบ ตัวเลือกที่ 1 นั่นเองครับ
Pat 1 (มี.ค.58)
33. กำหนดให้ \(A\) เป็นเซตคำตอบของสมการ \(\log_{m}\sqrt{4x^{2}+4x+1}+\log_{n}(6x^{2}+11x+4)=4\) เมื่อ \(m=\sqrt{3x+4}\) และ \(n=2x+1\) และให้ \(B=\{8x^{2}|x\in A\}\) ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต \(B\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครเดาใจคนออกข้อสอบออก ก็ไม่ยากครับ ผมแนะนำว่าถ้าเห็นสมการกำลังสองให้พยายามลองแยกตัวประกอบดูก่อนเลยครับ ซึ่งจากข้อนี้เราก็ลองแยกดูเลยครับ
\(4x^{2}+4x+1=(2x+1)(2x+1)\)
\(6x^{2}+11x+4=(2x+1)(3x+4)\)
และจากตรงนี้
\(m=\sqrt{3x+4}\) จะได้ \(m^{2}=3x+4\)
เห็นไหมละต้องแยกได้พอถึงตรงนี้ ก็น่าจะเดาใจคนออกสอบได้แล้วว่าควรทำอย่างไรต่อ ข้อสอบออกแบบคล้ายกันทุกปี มุกเดิมๆครับ เริ่มทำต่อเลยครับ
\begin{array}{lcl}\log_{m}\sqrt{4x^{2}+4x+1}+\log_{n}(6x^{2}+11x+4)&=&4\\\log_{m}\sqrt{(2x+1)^{2}}+\log_{n}[(3x+4)(2x+1)]&=&4\\\log_{m}(2x+1)+\log_{n}(3x+4)+\log_{n}(2x+1)&=&4\\จาก\\n=2x+1,m^{2}=3x+4\\so\\\log_{m}n+\log_{n}m^{2}+\log_{n}n&=&4\\\log_{m}n+2\log_{n}m+1&=&4\\log_{m}n+2\log_{n}m&=&3\\\log_{m}n+\frac{2}{\log_{m}n}&=&3\\ให้ A=\log_{m}n\\จะได้\\A+\frac{2}{A}&=&3\\A^{2}+2&=&3A\\A^{2}-3A+2&=&0\\(A-2)(A-1)&=&0\end{array}
จะได้
\(A-2=0\) หรือ \(A-1=0\)
พิจารณา
\begin{array}{lcl}A-2&=&0\\A=2\\\log_{m}n&=&2\\n&=&m^{2}\\2x+1&=&(\sqrt{3x+4})^{2}\\2x+1&=&3x+4\\x&=&-3\end{array}
พิจารณา
\begin{array}{lcl}A-1&=&0\\A=1\\\log_{m}n&=&1\\n&=&m\\2x+1&=&\sqrt{3x+4}\\(2x+1)^{2}&=&3x+4\\4x^{2}+4x+1&=&3x+4\\4x^{2}+x-3&=&0\\(4x-3)(x+1)&=&0\\so\\x=\frac{3}{4},-1\end{array}
ตอบนี้เราได้ค่า
\(x=-3,-1,\frac{3}{4}\) อย่าพึ่งรีบร้อนตอบนะครับเพราะเราต้องเช็คดีๆนะครับ
อย่าลืมนะว่า \(m\) กับ \(n\) นั้นเป็นฐานของล็อกซึ่งฐานของล็อกนั้นต้อง มากกว่าศูนย์และต้องไม่เท่ากับหนึ่ง นั่นก็คือ
\(m,n>0\quad ,\quad m,n\neq 1\) ลองเช็คดูจะเห็นว่า
เมื่อ \(x=-3\)
\(n=2x+1=2(-3)+1=-5\) นั่นคือ \(x=-3\) ใช้ไม่ได้คับ
เมื่อ \(x=-1\)
\(n=2x+1=2(-1)+1=-1\) นั่น่คือ \(x=-1\) ใช้ไม่ได้คับ
ที่ใช้ได้ก็คือ \(x=\frac{3}{4}\) คับ ลองเช็คดู
นั่นคือ
\(B=\{8x^{2}\}\)
\(B=\{8(\frac{3}{4})^{2}\}\)
\(B=\{\frac{9}{2}\}\)
เนื่องจากเซต \(B\) มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ดังนั้นผลบวกของสมาชิกในเซต \(B\) คือ \(\frac{9}{2}=4.5\)
Pat 1 พ.ย. 57
5. กำหนดให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงบวกที่มากกว่า 1 และสอดคล้องกับ \(\log_{a}4+\log_{b}4=9\log_{ab}2\)
ค่ามากสุดของ \(\log_{a}(ab^{5})+\log_{b}(\frac{a^{2}}{\sqrt{b}})\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 13.5
- 11.5
- 9
- 7
วิธีทำ โจทย์ให้หาค่ามากสุดของอันนี้ \(\log_{a}(ab^{5})+\log_{b}(\frac{a^{2}}{\sqrt{b}})\) เราก็ลองเอาอันนี้มากระจายดูก่อนเผื่ออะไรจะดีขึ้นครับจะได้
\begin{array}{lcl}\log_{a}(ab^{5})+\log_{b}(\frac{a^{2}}{\sqrt{b}})&=&\log_{a}a+\log_{a}b^{5}+\log_{b}a^{2}-\frac{1}{2}\log_{b}b\\&=&1+5\log_{a}b+2\log_{b}a-\frac{1}{2}\end{array}
จะเห็นว่าเขาให้เราหาค่ามากสุดของไอ้นี่นั่นเองครับ \(1+5\log_{a}b+2\log_{b}a-\frac{1}{2}\) ดังนั้นถ้าเราหาค่าของ \(\log_{a}b\) หรือ \(\log_{b}a\) ได้ เราก็จะหาค่ามากสุดได้ครับ ดังนั้นเราก็ต้องหา \(\log_{a}b\) , \(\log_{b}a\) ให้ได้คับ ก็หาได้จากสมการนี้ครับ \(\log_{a}4+\log_{b}4=9\log_{ab}2\) เริ่มหากันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\log_{a}4+\log_{b}4&=&9\log_{ab}2\\2\log_{a}2+2\log_{b}2&=&9\log_{ab}2\\2\log_{a}2+2\log_{b}2&=&9\log_{ab}2\\ คูณ \log_{2}ab เข้าทั้งสองข้าง\\\log_{2}ab[2\log_{a}2+2\log_{b}2]&=&9\log_{ab}2\cdot \log_{2}ab\\(\log_{2}a+\log_{2}b)(\frac{2}{\log_{2}a}+\frac{2}{\log_{2}b})&=&9\\2+2+2\log_{a}b+2\log_{b}a&=&9\\2\log_{a}b+\frac{2}{\log_{a}b}&=&5\\กำหนด A=\log_{a}b\\จะได้\\2A+\frac{2}{A}&=&5\\นำ A คูณเข้าทั้งสองข้าง\\2A^{2}+2&=&5A\\2A^{2}-5A+2&=&0\\(2A-1)(A-2)&=&0\end{array}
นั่นคือได้ \(A=\frac{1}{2},A=2\)
พิจารณา \(A=\frac{1}{2}\) จะได้
\begin{array}{lcl}A=\frac{1}{2}\\\log_{a}b&=&\frac{1}{2}\end{array}
พิจารณา \(A=2\) จะได้
\begin{array}{lcl}A&=&2\\\log_{a}b&=&2\end{array}
หลังที่ทำมาอย่างยาวนาน ตอนนี้เราได้ว่า
\(\log_{a}b=\frac{1}{2},2\) เราก็นำค่าที่เราได้นี้ไปแทนใน
\(1+5\log_{a}b+2\log_{b}a-\frac{1}{2}\) เพื่อหาค่าสูงสุดออกมาครับ
เมื่อแทน \(\log_{a}b=\frac{1}{2}\) จะได้
\(1+5(\frac{1}{2})+2(2)-\frac{1}{2}=7\)
เมื่อแทน \(\log_{a}b=2\) จะได้
\(1+5(2)+2(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}=11.5\)
ดังนั้น ค่ามากที่สุดคือ \(11.5\)
สนับสนุนเว็บไซต์