วันนี้ผมจะพาทุกคนทำโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ ซึ่งก่อนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่าที่แสดงถึงการกระจายของข้อมูลครับ ที่ส่วนเบียงเบนมากแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายมาก แต่ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายน้อยครับ ซึ่งสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น สามารถแบ่งได้ดังนี้คือ
1. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นประชากร คือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}
เลือกใช้สูตรไหนก็ได้ครับขึ้นอยู่กับโจทย์
เมื่อ \(\mu\) คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
2. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นกลุ่มตัวอย่าง คือ
\begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}}{n-1}}\end{array}
เมื่อ \(\bar{x}\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง
มาดูโจทย์กันเลยครับ
1.ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8 จำนวน ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดเท่ากับ 48 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลมีค่าเท่ากับ 3 แล้วผลรวมของกำลังสองของข้อมูลมีค่าเท่าใด (360)
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ถามตรงๆเลยครับไม่ยาก ก็คือถามหา \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\) ดังนั้นควรใช้สูตรนี้ครับ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}
เนื่องจากผลรวมข้อข้อมูลเท่ากับ 48 ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะหาได้คือ \(\mu=\frac{48}{8}=6\) แทนค่าทั้งหมดลงไปในสูตรด้านบนจะได้
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-6^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-36\\\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}&=&45\\\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}&=&360\end{array}
ข้อนี้ตอบ 360
2.นักเรียน 2 คนสอบได้คะแนนเฉลี่ยเป็น 60 คะแนน มีพิสัยเป็น 10 คะแนนแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนทั้ง 2 คนมีค่าเท่าใด (5)
วิธีทำ ข้อนี้ค่อยๆทำตามที่โจทย์บอกมาครับ ให้คะแนนสอบนักเรียนสองคนเรียงจากน้อยไปหามากเป็น a,b จากโจทย์จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\60&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&120\quad \cdots (1)\end{array}
พิสัยมีค่าเป็น 10 คะแนนดังนั้นจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}b-a&=&10 \cdots (2)\end{array}
นำ \( (2)+(1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2b&=&130\\b&=&65\end{array}
ดังนั้นจะได้ \(a=55\) จึงว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนนักเรียนสองคนนี้คือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{N}}\\\sigma&=&\sqrt{\frac{(65-60)^{2}+(55-60)^{2}}{2}}\\\sigma&=&5\end{array}
3. นักเรียน 2 คนสอบวิชาสถิติ มีคะแนนเฉลี่ยเป็น 75 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็น 10 แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนทั้งสองมีค่าเท่าใด (10)
วิธีทำ ข้อนี้ก็ทำตามที่โจทย์บอกมาเลยครับ ให้ a,b เป็นคะแนนสอบนักเรียนที่เรียงจากน้อยไปมากจะได้
\begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\75&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&150\end{array}
ดังนั้น \(b=150-a\)
จากโจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 10 จากสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคือ
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}|x_{i}-\mu|}{N}\\จะได้\\10&=&\frac{|a-75|+|b-75|}{2}\\10&=&\frac{|a-75|+|150-a-75|}{2}\\|a-75|+|150-a-75|&=&20\\-(a-75)+150-a-75&=&20\\-2a+150&=&20\\-2a&=&-130\\a&=&65\end{array}
ดังนั้น
\(b=85\)
เมื่อหา ค่าของ \(a,b\) ได้แล้วก็สามารถหาส่วนเบี่ยงเบนได้ครับจะได้
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{(a-75)^{2}+(b-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{\frac{(65-75)^{2}+(85-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{100}\\&=&10\end{array}
4.ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามาก ดังนี้ a,3,5,7,b ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ\(2\sqrt{10}\) แล้วค่าของ 2a+b เท่ากับเท่าใด (ข้อ 40 Pat 1 มี.ค. 57)
วิธีทำ ข้อนี้ทำตามที่โจทย์บอกเลยครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับ 7 นั่นคือ
\begin{array}{lcl}\frac{a+3+5+7+b}{5}&=&7\\a+b+15&=&35\\a+b&=&20\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\(b=20-a\)
และโจทย์บอกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาคือเท่า \(2\sqrt{10}\) ดังนั้นจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\\2\sqrt{10}&=&\sqrt{\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}}\\40&=&\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}\\200&=&(a-7)^{2}+16+4+(20-a-7)^{2}\\200-20&=&(a-7)^{2}+(13-a)^{2}\\180&=&a^{2}-14a+49+169-26a+a^{2}\\180&=&2a^{2}-40a+218\\90&=&a^{2}-20a+109\\0&=&a^{2}-20a+19\\0&=&(a-1)(a-19)\\so\\a=1,a=19\end{array}
แต่ต้องใช้ \(a=1\) นะครับเพราะว่า \(a\) ต้องน้อยกว่า 3 นะ ดูที่โจทย์เขาเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากคือ a,3,5,7,b
นั่นคือ \(a=1\) จะได้ \(b=20-a=20-1=19\)
นั่นคือ ค่าของ \(2a+b=2(1)+19=21\) นั่นเองครับ ไม่ยากเท่าไรนะ
5.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนน ความแปรปรวน(ประชากร) เท่ากับ 600 ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน ความแปรปรวนของข้อมูลชุดใหม่เท่ากับเท่าใด
(ข้อ 42 Pat1 มี.ค.53)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครคิดไม่ออกก็ค่อยๆดูเฉลยครับ ผมจะหาจำนวนคนที่เข้าสอบหรือก็คือหา N ก่อนนะครับ เริ่มเลย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนนนั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบ}{N}&=&72\\ผลรวมของคะแนนสอบ&=&72N\end{array}
ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน นั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน}{N+1}=70\\ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน&=&70(N+1)\end{array}
คนที่มาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำคะแนนสอบได้ 60 คะแนน นั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}70(N+1)-72N&=&60\\70N+70-72N&=&60\\-2N&=&-10\\N&=&5\end{array}
นั่นก็คือมีคนเข้าสอบทั้งหมด 5 คนนั่นเองครับ
และโจทย์บอกอีกว่าตอนสอบไปครั้งแรกความแปรปรวนเท่ากับ 600 นั่นคือ
\begin{array}{lcl}600&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{5}-72^{2}\\600+72^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=5}x_{i}^{2}}{5}\\5784\times 5&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&28920\end{array}
เก็บไว้ก่อนครับ ไปดูต่อ ต่อไปโจทย์บอกว่ามีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนและให้หาความแปรปรวนหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนครับจะได้ความแปรปรวนหาได้ดังนี้คือ
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\\&=&\frac{28920+(60)^{2}}{6}-70^{2}\\&=&520\end{array}
นั่นคือหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำให้ความแปรปรวนมีค่าเป็น 520
6.ถ้าความยาวรัศมีของวงกลม 10 วง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 3 และมีความแปรปรวนเท่ากับ 5 แล้วผลรวมของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้มีค่าเท่าใด (Pat1 ก.ค.52 ข้อ 40)
- \(90\pi\)
- \(95\pi\)
- \(140\pi\)
- \(340\pi\)
วิธีทำ ข้อนีักำหนดให้ วงกลมแต่ละวงมีรัศมียาวเท่ากับ \(r_{i}\) ดงนั้นจะได้ว่าพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงคือ
\begin{array}{lcl}\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi r_{3}^{2}+...+\pi r_{i}^{2}+...+\pi r_{10}^{2}&=&\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+...r_{i}^{2}+...+r_{10}^{2})\\&=&\pi\displaystyle\sum_{i=1}^{10} r_{i}^{2}\quad (1)\end{array}
เก็บสมการ \((1)\)ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่าความแปรปรวนของรัศมีวงกลมนี้เท่ากับ 5 นั่นคือ จะได้
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-\mu^{2}\\5&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-3^{2}\\5+9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}&=&140\end{array}
เอาค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ \(1\) จึงได้ว่าสมวงกลม 10 วงนี้มีพื้นที่เท่ากับ
\(140\pi\) ตารางหน่วย นั่นเองครับ
7. กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{11}\) เป็นข้อมูล 11 จำนวนซึ่งเรียงค่าจากน้อยไปมาก ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 5.2 โดยที่ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=42.8\) แล้ว \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (A-NET มี.ค.52 ข้อ 24)
- 1. 100
- 2. 114.28
- 3. 142.28
- 4. 157.20
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากแต่ต้องออกแรกเขียนเยอะหน่อยครับ ข้อนี้จากโจทย์จะได้ว่า มัธยฐานคือ \(x_{6}\) นั่นเอง ดังนั้นจะได้ว่า \(\bar{x}=x_{6}\) ทำต่อเลยครับเริ่มจากสิ่งที่โจทย์บอกนั่นแหละครับ
\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{11}x_{i}}{11}&=&x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}\\42.8+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}&=&11x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8 \quad\cdots (1)\end{array}
เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่า \(M.D.=5.2\) นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{x}|}{n}\\5.2&=&\frac{|x_{1}-x_{6}|+|x_{2}-x_{6}|+\cdots +|x_{1}-x_{11}|}{11}\\5.2\times 11&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+(x_{6}-x_{6})+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+0+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+5x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}-5x_{6}\\57.2&=&-42.8+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}\\\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&100\quad \cdots (2)\end{array}
จากสมการ \((1)\) คือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+100&=&11x_{6}-42.8\\10x_{6}&=&142.8\\x_{6}&=&14.28\end{array}
เริ่มหาคำตอบกันครับ โจทย์บอกให้หาค่า \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\)
จากสมการที่ \((1)\) และค่าของ \(x_{6}\) ที่เราหาไว้แล้วเราก็จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\&=&11(14.28)-42.8\\&=&114.28\end{array}
8. ลูกเต๋า 3 ลูก มีความยาวของด้านแต่ละลูกแตกต่างกัน ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร และทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความยาวของด้านของลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกมีค่าเท่าใด
วิธีทำ ให้ลูกเต๋าทั้ง 3 ลูก มีความยาวด้านเท่ากับ a,b และ c ตามลำดับ
โจทย์บอกว่า ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร นั่นคือ \[a+b+c=6\quad\cdots (1)\]
โจทย์บอกอีกว่า ทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร ตรงนี้ถ้าใครเคยเห็นลูกเต๋า จะเห็นว่าลูกเต๋ามีทั้งหมด 6 หน้า และเราให้ลูกเต๋าลูกแรกมีความยาวด้านเท่ากับ \(a\) ดั้งนั้นเราสามารถหาพื้นที่หน้าลูกเต่าได้คือ
เอาด้าน คูณ ด้าน นั่นก็คือ \(a\times a\) แต่ลูกเต๋ามันมี 6 หน้าดังนั้นพื้นที่ของลูกเต่าทั้งลูกคือ \(6a^{2}\) และอีกสองลูกที่เหลือก็ทำเหมือนกันก็จะมีพื้นที่เป็น \(6b^{2}\) และ \(6c^{2}\) ตามลำดับ นั่นคือมีพื้นที่รวมกัน
\begin{array}{lcl}6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}&=&84\\6(a^{2}+b^{2}+c^{2})&=&84\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&\frac{84}{6}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&14 \quad \cdots (2)\end{array}
จากสมการที่สองเราสามารถเขียนใหม่ได้นะก็คือ \[\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}=14\]
ดังนั้นจาก สมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราสามรถหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้แล้วครับ โดยหาจากสูตรนี้ครับ
\[\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\]
จากสูตรนะครับ จะเห็นว่า \(\mu\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรในที่นี้ก็คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวด้านของลูกเต๋านั้นเองครับจะได้
\[\mu=\frac{a+b+c}{3}=\frac{6}{3}=2\]
เอาไปแทนค่าในสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเลยครับ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{14}{3}-2^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{14}{3}-4}\\&=&\sqrt{\frac{14-12}{3}}\\&=&\sqrt{\frac{2}{3}}\quad\underline{Ans}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์