1. ถ้า \(cos\theta-sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}\) แล้วค่าของ \(sin2\theta\) เท่ากับเท่าใด (pat 1 มี.ค 52/11)

วิธีทำ  โจทย์ให้หาค่านี้คับ \(sin2\theta\)  ซึ่งเป็นมุมสองเท่าถ้าใครจำสูตรของมุมสองเท่าได้สบายเลยครับข้อนี้ซึ่งถ้าเราจำสูตรได้จะได้ว่า

\[sin2\theta=2sin\theta cos\theta\]

ดังนั้นข้อนี้ก็คือให้เราหาค่าของ \(2sin\theta cos\theta\) นั่นเองครับ 

เริ่มจากสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ  \(cos\theta-sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}\)  แล้วทำไงต่อ ถ้าเจออย่างนี้ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างดูเลยคับจะได้

\begin{array}{lcl}(cos\theta-sin\theta)^{2}&=&(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2}\\cos^{2}\theta-2sin\theta cos\theta+sin^{2}\theta&=&\frac{5}{9}\\ cos^{2}\theta+sin^{2}\theta-2sin\theta cos\theta&=&\frac{9}{5}\\-2sin\theta cos\theta&=&\frac{9}{5}-1\\-2sin\theta cos\theta&=&-\frac{4}{9}\\2sin\theta cos\theta&=&\frac{4}{9}\end{array}

อย่าลืมเอกลักษณ์ตรีโกรมิตินะคับว่า  \(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\)

ดังนั้นข้อนี้ก็เลยตอบ \(\frac{4}{9}\)  นั่นเอง


2. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เท่ากับ \(60^{\circ}\) , \(BC=\sqrt{6}\) และ \(AC=1\)  ค่าของ \(cos(2B)\) เท่ากับเท่าใด (pat 1 มี.ค.52/12)

วิธีทำ  ยังไงข้อนี้ก็ต้องวาดรูปดูก่อนครับ เป็นสามเหลี่ยมใดๆที่มีมุม A,B,C ดังนี้

จากรูปสามเหลี่ยมที่เขาให้มา ข้อนี้รู้เลยว่าต้องใช้กฎของไซน์หาคำตอบ ใครที่ยังไม่รู้ว่ากฎของไซน์ เป็นอย่างไรก็ไปอ่านตามลิงก่อน จากรูปและกฎของไซน์เราก็จะได้ว่า

\(\frac{sinA}{\sqrt{6}}=\frac{sinB}{1}\)  ต่อไปก็แก้สมการเพื่อหาค่าของ \(sinB\) ออกมาก็จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{sinA}{\sqrt{6}}&=&\frac{sinB}{1}\\\frac{sin 60^{\circ}}{\sqrt{6}}&=&\frac{sinB}{1}\\sinB&=&\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{array}

เก็บค่าของ \(sinB\) เอาไว้ก่อนครับ ต่อไปเราก็ไปดูว่าโจทย์ให้เราหาอะไร  โจทย์ให้เราหาค่าของ \(cos2B\) ซึ่งเป็นมุมสองเท่าอีกแล้ว จำเป็นต้องจำสูตรสูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ได้นะครับ ซึ่งมุมสองเท่าของฟังก์ชันคอสก็จะมีหลายสูตรเลือกมาใช้ให้ถูกแล้วกันก็จะมีดังนี้

\begin{array}{lcl}cos2B&=&cos^{2}B-sin^{2}B\\&=&2cos^{2}B-1\\&=&1-2sin^{2}B\end{array}

ดังนั้นจากสิ่งที่เรามีอยู่คือ \(sinB=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)  เราต้องใช้สูตรนี้นั่นเอง

\begin{array}{lcl}cos2B&=&1-2sin^{2}B\\&=&1-2(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{2}\\&=&1-2(\frac{1}{8})\\&=&1-\frac{2}{8}\\&=&\frac{3}{4}\end{array}


3. ให้ \(-1\leq x\leq 1\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(arccosx-arcsinx=\frac{\pi}{2552}\)  แล้วค่าของ \(sin\frac{\pi}{2552}\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(2x\)
  2. \(1-2x^{2}\)
  3. \(2x^{2}-1\)
  4. \(-2x\)

วิธีทำ    จาก \(arccos x-arcsin x=\frac{\pi}{2552}\)  เราจะ take ฟังก์ชันไซน์เข้าไปทั้งสองข้างนะ จะได้

\(sin(arccos x- arcsin x)=sin(\frac{\pi}{2552})\)

และเพื่อความง่ายผมจะแทนค่าด้วยตัวแปรดังต่อไปนี้ คือ

ให้

\(arccos x=A\rightarrow cosA=x\)

\(arcsin x=B\rightarrow sinB=x\)

เราจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}sin(A-B)&=&sin(\frac{\pi}{2552})\\sinAcosB-cosAsinB&=&sin\frac{\pi}{2552}\\(\sqrt{1^{2}-x^{2}})(\sqrt{1^{2}-x^{2}})-(x)(x)&=&sin(\frac{\pi}{2552})\\sin(\frac{\pi}{2552})&=&1^{2}-x^{2}-x^{2}\\sin(\frac{\pi}{2552})&=&1-2x^{2}\end{array}


4. ค่าของ \(\left(\frac{sin30^{\circ}}{sin10^{\circ}}-\frac{cos30^{\circ}}{cos10^{\circ}}\right)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Pat1 ก.ค.52/11)

  1. -1
  2. 1
  3. 2
  4. -2

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องคิดไรมากสิ่งที่ทำได้คือ การคูณไขว้ ดังนั้นจับคูณไขว้ก่อนเลยคับจะได้

\[\frac{sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\]

จากที่เราคูณไขว้กันข้างบน ถ้ามองดูดีๆ เราจะเห็นว่ามันเข้ากับสูตรนี้ใช่ไหม

\(sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB\) ดังนั้น

\(sin(30^{\circ}-10^{\circ})=sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}\)

และสำหรับตัวส่วนสิ่งที่เราต้องมองให้เห็นคือ สูตรของมุมสองเท่าคือ

\(2sinAcosA=sin2A\) ดังนั้น

\(2sin10^{\circ}cos10^{\circ}=sin2(10^{\circ})=sin20^{\circ}\)

ทำต่อเลยนะอย่างไรก็ทำความเข้าใจ ไม่ได้ก็ถามได้ครับ

\begin{array}{lcl}\frac{sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}&=&\frac{sin(30^{\circ}-10^{\circ})}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{sin20^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{2sin20^{\circ}}{2sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{2sin20^{\circ}}{sin20^{\circ}}\\&=&2\end{array}


5. ถ้า \((sin\theta +cos\theta)^{2}=\frac{3}{2}\) เมื่อ \(0 \leq \theta\leq\frac{\pi}{4}\) แล้ว \(arccos(tan3\theta)\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ  แน่นอนการทำข้อนี้ต้องยกกำลังสองดูก่อนคับ

\begin{array}{lcl}(sin\theta +cos\theta)^{2}&=&\frac{3}{2}\\sin^{2}\theta+2sin\theta cos\theta+cos^{2}\theta&=&\frac{3}{2}\\2sin\theta cos\theta&=&\frac{3}{2}-1\\sin2\theta&=&\frac{1}{2}\end{array}

เนื่องจาก  \(0 \leq \theta\leq\frac{\pi}{4}\)

ดังนั้น   \(0\leq 2\theta\leq\frac{\pi}{2}\) [เอา 2 คูณเข้า]

จากสมการข้างบนเรารู้ว่า \(sin2\theta=\frac{1}{2}\)   และ \(2\theta\) ต้องอยู่ในช่วง \(0\leq 2\theta\leq\frac{\pi}{2}\)

จาก \(sin2(15^{\circ})=\frac{1}{2}\)  ดั้งนั้น \(\theta=15^{\circ}\)

โจทย์ให้เรา หาค่าของ \(arccos(tan3\theta)\) เราก็เอา \(\theta=15^{\circ}\) แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}arccos(tan3\theta )&=&arccos(tan3(15^{\circ}))\\&=&arccos(tan45^{\circ})\\&=&arccos(1)\\&=&0^{\circ}\end{array}

ดูคลิปประกอบครับ